ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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$\dot{x} = rx - \sin x $
(a) $x = 2n \pi$で安定固定点、$x = \pi + 2n \pi$で不安定固定点
(b) $x^* = 0$で不安定固定点を持つ
(c) $r=1$のとき、 $x^* = 0$で亜臨界ピッチフォーク分岐が起こる。
　　$r$が$1$より小さくなっていくとサドルノード分岐が次々に現れる。
(d) $0 < r \ll 1$のとき
サドルノード分岐が生じる点では
\[ rx - \sin x = 0 \tag{1} \]となる。また、傾きが$0$になっていることから、
\[ r - \cos x = 0 \tag{2} \]となっている。
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$より
\[ x = \frac{\sqrt{1 - r^2}}{r} \tag{3} \]一方、$rx$と$\sin x$のグラフを描くと、$r$が十分小さいならば、
$\epsilon_n$を十分小さい値として、
\[ x = 2 \pi n + \frac{\pi}{2} - \epsilon_n \tag{4} \]と考えることができる。
(2)に(4)を代入すると、
\[ r = \sin \epsilon_n \approx \epsilon_n + \mathcal{O}(\epsilon_n^3) \]となるので、
\[ x \approx 2 \pi n + \frac{\pi}{2} - r + \mathcal{O}( r^3 ) \tag{5} \]となる。(3)(5)より
\[ 1-r^2 = r^2 \left( 2 \pi n + \frac{\pi}{2} - r + \mathcal{O}( r^3 ) \right)^2
\approx \left( 2 \pi n + \frac{\pi}{2} \right)^2 r^2 + \mathcal{O}( r^3 ) \]となるので、
\[ r = \sqrt{\frac{1}{1+ \left( 2 \pi n + \frac{\pi}{2} \right)^2 } } \]となる。
(e) サドルノード分岐で$x=0$から遠い固定点から順に消滅していき、最後は$x=0$が安定固定点として残る。
(d) 省略

解答者：goodbook 解答日時：2020-05-16 14:14:27

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