ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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$ \frac{d \phi}{d \tau} = f(\phi) = \sin \phi ( \gamma \cos \phi - 1 ) $の$\phi = 0$の近くでのふるまい

まず、$f(\phi)$について5階微分まで求めると
$ f'(\phi) = \gamma \cos 2 \phi - \cos \phi $
$ f^{(2)}(\phi) = - 2 \gamma \sin 2 \phi + \sin \phi $
$ f^{(3)}(\phi) = - 2^2 \gamma \cos 2 \phi + \cos \phi $
$ f^{(4)}(\phi) = 2^3 \gamma \sin 2 \phi - \sin \phi $
$ f^{(5)}(\phi) = 2^4 \gamma \cos 2 \phi - \cos \phi $
となる。従って、
$f'(0) = \gamma - 1 $
$ f^{(2)}(0) = 0 $
$ f^{(3)}(0) = -4\gamma + 1 $
$ f^{(4)}(0) = 0 $
$ f^{(5)}(0) = 16 \gamma - 1 $
となるので、$\phi=0$の近くでは、
\[ \frac{d \phi}{d \tau} = (\gamma - 1) \phi - \frac{4 \gamma - 1}{6} \phi^3 + \mathcal(\phi^5) \]に帰着される。

解答者：goodbook 解答日時：2020-05-19 04:38:36

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