ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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(a)(3.5.3）式（p.74)を$\varepsilon = m^2gr/b^2$で書き直すと、
\[ \varepsilon \left( \frac{b}{mgT} \right)^2 \frac{d^2 \phi}{d \tau^2} = - \left( \frac{b}{mgT} \right) \frac{d \phi}{d \tau} + f(\phi) \tag{1}\]となる。ここで関心があるのは、左辺と右辺が同程度のオーダーで寄与するパラメーター領域であるので、\[ \varepsilon \left( \frac{b}{mgT} \right)^2 \approx \frac{b}{mgT} \ \]という条件が成り立つ。このとき、特徴的な時間スケール$T_{\mathrm{fast}}$は、\[ T_{\mathrm{fast}} = \frac{b}{mg} \varepsilon \tag{2} \]となる。また、(2)式に$\varepsilon = m^2gr/b^2$を代入すると、\[ T_{\mathrm{fast}} = \frac{mr}{b}　\]が得られる。
(b) (1)式を$T_{\mathrm{fast}}$で書き直すと、
\[ \left( \frac{b}{mgT_{\mathrm{fast}}} \right) \frac{d^2 \phi}{d \tau^2} = - \left( \frac{b}{mgT_{\mathrm{fast}}} \right) \frac{d \phi}{d \tau} + f(\phi) \]となる。ここで、$T_{\mathrm{fast}}$が十分小さいとすると、$f(\phi)$が無視可能である。
(c) (2)式より$T_{\mathrm{slow}} = b/mg$とすると、
\[ \varepsilon = \frac{T_{\mathrm{fast}}}{T_{\mathrm{slow}}} \]となる。従って、$\varepsilon \ll 1$ならば、$T_{\mathrm{fast}} \ll T_{\mathrm{slow}}$となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-05-21 06:46:48

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