ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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$ \varepsilon \ddot{x} + \dot{x} + x = 0 \ \ \ \ (x(0)=1, \dot{x} = 0)$

(a) i)$ \varepsilon < 1/4$のとき
\[ x(t) = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{1-4 \varepsilon}} \right) e^{\frac{-1+\sqrt{1-4 \varepsilon}}{2 \varepsilon} t} + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{1-4 \varepsilon}} \right) e^{\frac{-1-\sqrt{1-4 \varepsilon}}{2 \varepsilon} t} \] ii)$ \varepsilon = 1/4$のとき
\[ x(t) = (2t+1) e^{-2t} \] iii)$ \varepsilon > 1/4$のとき
\[ x(t) = \left( \frac{1}{\sqrt{4 \varepsilon - 1}} \sin \frac{\sqrt{4 \varepsilon - 1}}{2 \varepsilon} t + \cos \frac{\sqrt{4 \varepsilon - 1}}{2 \varepsilon} t \right) e^{-\frac{t}{2 \varepsilon}} \](b) $\varepsilon \ll 1$のとき
\[ x(t) = (1+\varepsilon) e^{-t} - \varepsilon e^{-\frac{t}{\varepsilon}+t} \]したがって、$\mathcal{O}(\varepsilon)$の時間スケールと$\mathcal{O}(1)$の時間スケールがある。
(c)省略
(d)$\dot{x}+x=0 \ \ (x(0) = 1)$の解は$x(t) = e^{-t}$となる。したがって、時間スケールが$\mathcal{O}(1)$の場合、特異極限で置き換えることは妥当。
(e)力学的な系の例として問題3.5.4で$h=0$とすると
\[ m \ddot{x} + b \dot{x} + k(x-L_0) = 0 \]ここで、$x-L_0$を改めて$x$とおくと（物理的にはばねの自然長の位置を$0$とする）
\[ m \ddot{x} + b \dot{x} + kx = 0 \]これを無次元化すると、$\varepsilon=mk/b^2$として
\[ \varepsilon \ddot{x} + \dot{x} + x = 0 \]に帰着する。

次に、電気回路系であれば、電源電圧が一定のRLC回路。コンデンサの電荷を$q(t)$とすると、
\[ L \frac{d^2 q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q(t) = V \]の方程式が得られる。ここで、$q(t)-CV$を$q(t)$とおき、無次元化すると、$\varepsilon = L/R^2C$として、
\[ \varepsilon \ddot{q} + \dot{q} + q = 0 \]に帰着する。
これは、コイルのインダクタンス$L$が十分小さいとき、または抵抗器の電気抵抗$R$やコンデンサの静電容量$C$が十分大きいとき、$\varepsilon \ll 1$と見なせる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-05-23 04:42:38

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