ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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(a)この系の運動方程式は
\[ m \ddot{x} + mg \sin \theta - k (\sqrt{a^2+x^2} - L_0) \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2} } = 0 \]となる。従って、釣り合いの位置では、
\[ mg \sin \theta = kx \left( 1 - \frac{L_0}{\sqrt{a^2+x^2}} \right) \tag{1} \]が成り立つ。
(b) $h$と$R$をそれぞれ
\[ x = au, \ \ h = \frac{mg \sin \theta}{ak}, \ \ R=\frac{L_0}{a} \]とおくと、(1)式は
\[ 1 - \frac{h}{u} = \frac{R}{\sqrt{1 + u^2}} \tag{2} \]で表示される。
(c)
i) $R < 1$のとき、1つの固定点
ii) $1 < R < (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$のとき、1つの固定点
iii) $R = (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$のとき、2つの固定点
iv) $R > (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$のとき、3つの固定点
(d) $u$が十分小さいとすると、(2)式の右辺は
\[ 1 - \frac{h}{u} = \frac{r+1}{\sqrt{1 + u^2}} = (r+1) \left( 1 - \frac{1}{2}u^2 + \mathcal{O}(u^4) \right) \]従って\[ h + ru - \frac{r+1}{2}u^3 + \mathcal{O}(u^5) = 0 \]と変形できるので、さらに$r$も十分小さいとすると、
\[ h + ru - \frac{1}{2}u^3 \approx 0 \]が得られる。
(e) サドルノード分岐が起こる$u$の値は
\[ \frac{d}{du} \left[ h + ru - \frac{1}{2}u^3 \right] = 0 \]を満たすので、
\[ u = - \sqrt{\frac{2r}{3}} \]が得られる。ここで、
\[ u = - \sqrt{\frac{2r}{3}} + v \]とおき、$v$が十分小さいとすると、
\[ h + ru - \frac{1}{2}u^3 \approx h - \frac{2r}{3}\sqrt{\frac{2r}{3}}+ \frac{3}{2}\sqrt{\frac{2r}{3}}v^2 \]となり、サドルノード分岐の近似式が得られる。
(f) 分岐曲線は$1-\frac{h}{u}$と$\frac{R}{\sqrt{1+u^2}}$が接するところに現れる。従って、
\[ 1-\frac{h}{u} = \frac{R}{\sqrt{1+u^2}} \\
\frac{h}{u^2} = - \frac{Ru}{(1+u^2)^{\frac{3}{2}}} \]を満たす。これらの方程式から\[ h(u) = -u^3, \ \ R(u) = (1 + u^2)^{\frac{3}{2}} \tag{3} \]が得られる。
(g) (3)式から
\[ r = (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} - 1 \]が得られる。従って、
i) $ r < (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} - 1 $のとき、1つの固定点
ii) $ r = (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} - 1 $のとき、2つの固定点
iii) $ r > (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} - 1 $のとき、3つの固定点
(h)
i) $L_0 < a$のとき、ばねがビーズを引っ張る力と重力の$x$方向が釣り合う点が安定固定点となる。
ii) $L_0 > a$のとき、$\theta$が小さいときはビーズが下に下がり、ばねがビーズを引っ張る力と重力の$x$方向が釣り合う点が安定固定点となるが、$\theta$が大きくなると、新たに$x<0$の領域で固定点が2点現れる。それらはそれぞれ$x=0$の付近と$x = -\sqrt{L_0^2 - a^2}$の付近に現れ、前者はビーズを押す力と重力がちょうど鉛直方向に向いている場合で不安定固定点、後者はばねがビーズを押す力と重力の$x$方向が釣り合う点で安定固定点となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-05-28 05:39:40

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