ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

解答の続き
(c) 方程式$\tau \dot{A} = h+ \varepsilon A - g A^3 - k A^5$の分岐は$-h$と$\varepsilon A - g A^3 - k A^5 $が接するところで生じるので、
\[ \frac{d}{dA} [ \varepsilon A - g A^3 - k A^5 ] = \varepsilon - 3 g A^2 - 5 k A^4 = 0 \tag{1} \]となる点を求めると、
\[ A^2 = \frac{-3g \pm \sqrt{9 g^2 + 20 k \varepsilon}}{10k} \]が得られる。ここで、
\[ A_1 = \sqrt{ \frac{-3g + \sqrt{9 g^2 + 20 k \varepsilon}}{10k} }, \ \ A_2 = \sqrt{ \frac{-3g - \sqrt{9 g^2 + 20 k \varepsilon}}{10k} } \]とおく。また、極値を\[ f(A,\varepsilon) = \varepsilon A - g A^3 - k A^5 = \frac{2}{5} A (2 \varepsilon - g A^2 ) \]とおく。このとき、$\varepsilon A - g A^3 - k A^5$の極値は以下のように分類される。
1-1) $g>0, \varepsilon \geq 0$のとき、$A=\pm A_1$で極値をとる。
1-2) $g>0, \varepsilon < 0$のとき、極値なし。
2-1) $g=0, \varepsilon \geq 0$のとき、$A=\pm A_1$で極値をとる。
2-2) $g=0, \varepsilon < 0$のとき、極値なし。
3-1) $g<0, \varepsilon \geq 0$のとき、$A=\pm A_1$で極値をとる。
3-2) $g<0, -9g^2/20k < \varepsilon < 0$のとき、$A=\pm A_1, \pm A_2$で極値をとる。
3-3) $g<0, \varepsilon < -9g^2/20k$のとき、極値なし。

(1-1)(1-2)(2-1)(2-2)については、$A=-A_1$で極小値
\[ f(-A_1,\varepsilon) = - \frac{2}{5}\sqrt{ \frac{-3g + \sqrt{9 g^2 + 20 k \varepsilon}}{10k} } \left( 2 \varepsilon - g \frac{-3g + \sqrt{9 g^2 + 20 k \varepsilon}}{10k} \right) \]であるので、$\varepsilon \geq 0$に対して、常に$f(-A_1,\varepsilon) \leq 0$で単調減少であるので、$-h = f(-A_1,\varepsilon^*)$を満たす$\varepsilon^*$を分岐点として、サドルノード分岐を生じる。
次に(3-1)(3-2)(3-3)を考える。このとき、$\varepsilon A - g A^3 - k A^5$の特徴として、
①　$\varepsilon = -9g^2/20k$のとき、$A_1$と$A_2$は一致する。すなわち、$A=A_1=A_2$で極値かつ変曲点をもつ。
②　$-9g^2/20k < \varepsilon < 0$で、4つの極値をもつ。
③　$\varepsilon = -g^2/4k$のとき、$f(A_1,\varepsilon)=0$で極大値をとる。
④　$\varepsilon = -g^2/5k$のとき、$f(-A_1,\varepsilon)=f(A_2,\varepsilon)$となる。
これら①～④の特徴を踏まえ、また$h>0$で十分小さい値であると考えると、分岐図は以下のようになる。まず、$\varepsilon < -g^2/4k$で$A=0$の付近に安定固定点があり、$\varepsilon$が増えていくと、$\varepsilon = -g^2/4k$の辺りで$A=A_1$においてサドルノード分岐が生じる。それから、$-g^2/4k < \varepsilon < -g^2/5k$の間で、$A=-A_1$においてサドルノード分岐が生じる。その後、$\varepsilon = 0$の付近で、$A=A_1$におけるサドルノード分岐で生じた不安定固定点と$A=0$の付近にあった安定固定点が$A=A_2$で消滅する。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-06-01 05:42:16

ちなみに、(c)にあった『Aittaら（1985, Fig.2）』は下記のアドレスから取得できるようです。それにしても、実験結果と理論がこんなに一致しているとは素晴らしい！
https://www.researchgate.net/publication/13257222_Tricritical_Phenomena_in_Rotating_Couette-Taylor_Flow

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-06-01 06:02:11