ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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(a) $h = \tanh^{-1}m - Jnm$の解。この式を変形すると、
\[ \tanh \frac{h+Jnm}{T} = m \]となる。以下、$h>0$とする。
i) $h > Jn$のとき、１つの安定固定点$m^*$をもつ。その固定点は温度$T$が高いとき、$m^*=0$付近に存在し、温度が下がるにつれて$m^*=1$に近づいていく。
ii) $h < Jn$のとき、$T=T_c$でサドルノード分岐が生じる。このサドルノード分岐が起こる点は、
\[ \tanh \frac{h+Jnm^*}{T_c} = m^* \\
\frac{d}{dm} \left[ \tanh \frac{h+Jnm^*}{T_c} \right] = \frac{Jn}{T_c} \cosh^2 \frac{h+Jnm^*}{T_c} = 1
\]を満たす。（これを解析的に解くことは難しい）。
従って、$T>T_c$では、$m^* > 0$の領域に$m^*=0$に近い1つの安定固定点をもち、$T<T_c$ではサドルノード分岐が生じ、$m^* < 0$の領域にも1つの安定固定点と1つの不安定固定点が生じる。$T\to0$に近づくと、$m^* > 0$の領域の1つの安定固定点は1に近づき、一方、$m^* < 0$の領域の1つの安定固定点は$-1$、もう1つの不安定固定点は$-h/Jn$に近づく。
(b) $h=0$のとき、$T_c = Jn$となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-06-03 04:24:44

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