ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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(a) (3.7.8)式、(3.7.9)式はそれぞれ
\[ r=\frac{2x^3}{(1+x^2)^2} , \ \ k=\frac{2x^3}{x^2-1} \]これらの式のふるまいを調べるために、$r,k$の$x$での美文を求めると
\[ \frac{dr}{dx}=\frac{-2x^2(x^2-3)}{(1+x^2)^3} , \ \ \frac{dk}{dx}=\frac{2x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2} \]となる。したがって、$r(x)$は$x\to1$で$r\to1/2$となり、その後、$x=\sqrt{3}$で極大値$3\sqrt{3}/8$をとり、$x\to \infty$で$r=0$に近づいていく。一方、$k(x)$は$x\to1$で$k\to \infty$となり、その後$x=\sqrt{3}$で極小値$3\sqrt{3}$をとり、$x\to \infty$でふたたび、$k=2x$に近づいていく形で$\infty$に発散していく。
(b) 図3.7.5のカプス点は$r$が最大値、$k$が最小値となる点なので、
\[ x=\sqrt{3}, \ \ r=\frac{3\sqrt{3}}{8}, \ \ k=3\sqrt{3} \]

解答者：goodbook 解答日時：2020-06-04 05:18:17

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