ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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漁業のモデル
\[ \dot{N} = rN \left( 1- \frac{N}{K} \right) - H \](a) $N=Kx, \ t=T \tau$とおくと、
\[ \frac{dx}{d \tau} = rTx(1-x) - \frac{T}{K}H \]
となるので、$T=1/r, \ h=H/rK$とおけば
\[ \frac{dx}{d \tau} = x(1-x) - h \]が得られる。
(b) $x(1-x)-h=0$の解は
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4h}}{2} \]である。従って
i) $h>1/4$のとき、固定点なし。
ii) $h<1/4$のとき、$x = (1 + \sqrt{1-4h})/2$で安定固定点、$x = (1 - \sqrt{1-4h})/2$で不安定固定点をもつ。
(c) $h_c=1/4$でサドルノード分岐
(d) $h<h_c$のとき、十分時間が経つと
\[ x = \frac{1 + \sqrt{1-4h}}{2} \ 即ち \ N=Kx=\frac{K + \sqrt{K^2-4KH/r}}{2}\]に近づいていく。これは、漁がおこなわれることで、本来の環境収容力よりも小さな個体数に近づいていくことを示す。$h>h_c$のとき、乱獲により魚が枯渇する。

解答者：goodbook 解答日時：2020-06-06 06:19:59

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