ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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漁業の修正モデル
\[ \dot{N} = rN \left( 1- \frac{N}{K} \right) - H \frac{N}{A+N} \](a) １日の天候や漁の場所の影響など？
(b) $x=N/K, \ \tau = rt, \ h=H/rK, \ a=A/K$とおくと、
\[ \frac{dx}{d \tau} = x(1-x) - h \frac{x}{a+x} \]となる。
(c) まず、方程式
\[ x(1-x) - h \frac{x}{a+x} = 0 \]の解（候補）は
\[ x = 0, \frac{1-a \pm \sqrt{(1+a)^2 - 4h}}{2} \]となる。従って
(1) $h > (1+a)^2/4$のとき、1つの安定固定点$0$をもつ。
(2) $h = (1+a)^2/4$のとき、1つの安定固定点$0$、1つの半安定固定点$1-a$をもつ。
(3-1) $a < h < (1+a)^2/4$かつ$0<a<1$のとき、2つの安定固定点$0, \ (1-a + \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$、1つの不安定固定点$ (1-a - \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$をもつ。
(3-2) $a < h < (1+a)^2/4$かつ$a>1$のとき、2つの安定固定点$0, \ (1-a - \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$、1つの不安定固定点$ (1-a + \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$をもつ。
(4) $h=a$のとき、1つの安定固定点$1-a$、1つの半安定固定点$0$をもつ。
(5) $h<a$のとき、2つの安定固定点$ (1-a \pm \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$、1つの不安定固定点$0$をもつ。
(d) (c)の場合分けにおいて、(3)から(5)への変化を見ると、$x=0$でトランスクリティカル分岐を起こしていることがわかる。
(e) (c)の場合分けにおいて、(1)から(3-1)への変化に対応する。即ち、$a_c=1$でサドルノード分岐が起こる。
(f) (c)の場合分けにおいて、(1)→(3-1)→(5)→(3-1)→(1)の変化を考える。まず、(1)の領域で安定固定点$x^*=0$であったものは、(3-1)の領域でもそのまま安定固定点として残るが、(5)の領域で$x^*=0$は不安定固定点となり、別の安定固定点$x^* = (1-a + \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$に移動する。その後、(3-1)の領域に戻っても$x^* = (1-a + \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$が安定固定点としてそのまま残り、(1)の領域に入ると$x^*=0$にふたたび移動する。即ち、これはヒステリシスを生じていることを示す。

解答者：goodbook 解答日時：2020-06-06 06:57:47

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