ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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生化学的スイッチ
\[ \dot{g} = k_1 s_0 - k_2 g + \frac{k_3 g^2}{k_4^2 + g^2} \](a) $g=k_4 x$、$t = T \tau$とおくと、
\[ \frac{dx}{d \tau} = \frac{k_1}{k_4} T s_0 - k_2 Tx + \frac{k_3T}{k_4} \frac{x^2}{1+x^2} \]となる。さらに$T=k_4/k_3$、$s = k_1s_0/k_3$、$r=k_2k_4/k_3$とおくと
\[ \frac{dx}{d \tau} = s - rx + \frac{x^2}{1+x^2} \]が得られる。
(b) $s=0$のとき、$-rx + x^2/(1+x^2) = 0$より
\[ x = 0, \ \frac{1 \pm \sqrt{1-4 r^2}}{2r} \]が得られる。従って、２つの正の値の固定点を持つためには$1-4r^2 > 0$となるので、$r_c = 1/2$となる。
(c) 関数$f_1(x) = s-rx$、$f_2(x) = -x^2/(1+x^2)$とおいて、$f_1(x)$と$f_2(x)$を描くことにより解析する。特に$f_2(x)$が$(1/\sqrt{3}, -3\sqrt{3}/8)$で変曲点を持つことに注意する。
i) $r < r_c$のとき、$s=0$では、$x= 0, \ (1+\sqrt{1-4r^2})/2r$に安定固定点、$x= (1-\sqrt{1-4r^2})/2r$に不安定固定点がある。$s$がゆっくり大きくなってくると、安定固定点$0$はすこしずつ大きくなり、一方、不安定固定点$(1-\sqrt{1-4r^2})/2r$は少しずつ小さくなってきて、ある$s=s^*$でサドルノード分岐を起こして両者は消滅する。したがって、最初$x^*=0$の安定固定点は$s>s^*$のところで$(1+\sqrt{1-4r^2})/2r$が大きくなった値を持つ安定固定点に移る。その後、$s$をゆっくり小さくしていっても、$s=0$では安定固定点$(1+\sqrt{1-4r^2})/2r$に留まる。
ii) $r_c < r < 3\sqrt{3}/8$のとき、$s=0$で安定固定点$0$をもつ。$s$がゆっくり大きくなると、ある$s=s_1^*$でサドルノード分岐が生じ、不安定固定点と安定固定点が生じる。さらに$s$が大きくなると、$s=s_2^*$でサドルノード分岐が生じ$0$にあった安定固定点と$s=s_1^*$で生じた不安定固定点が対消滅する。従って、最初$x^*=0$にあった固定点は$s_1^*$で生じた安定固定点に移る。その後、$s$をゆっくり小さくしていくと、$s>s_1^*$までは安定固定点に留まるが、$s<s_1^*$で再び$x^*=0$に戻る。
iii) $r > 3\sqrt{3}/8$のとき、$s=0$で$x^*=0$だったものが、$s$がおおきくなるにつれて$x^*>0$の値に単調に大きくなっていく。その後、$s$が小さくなるにつれて単調に小さくなっていき、$s=0$で再び$x^*=0$に戻る。
(d) 分岐は$f_1(x^*) = f_2(x^*)$と$f'_1(x^*) = f'_2(x^*)$の2式を満たすときにおこるので、これらをパラメトリックに表すと、
\[ r= \frac{2x}{(1+x^2)^2}, \ s= \frac{x^2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} \]が得られる。これらのパラメトリックな方程式から
$(0,0)$と$(3 \sqrt{3}/8,1/8)$を結ぶ曲線上と
$(1/2,0)$と$(3 \sqrt{3}/8,1/8)$を結ぶ曲線上でサドルノード分岐が起こることがわかる。
(e) $(0,0)$と$(3 \sqrt{3}/8,1/8)$を結ぶ曲線と
$(1/2,0)$と$(3 \sqrt{3}/8,1/8)$を結ぶ曲線及び
$(0,0)$と$(1/2,0)$を結ぶ直線で囲まれた領域で固定点が3つ生じる。この領域の外側では固定点は１つ。

解答者：goodbook 解答日時：2020-06-07 07:33:26

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