ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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疫病のモデル
\[ \dot{x} = -kxy, \ \dot{y} = kxy - ly, \ \dot{z} = ly \](a) 上記式を足し合わせると$\dot{x} + \dot{y} + \dot{z} = 0$となるので、$x + y + z = N$となる。
(b) $\dot{x} = -kxy$と$\dot{z} = ly$より、
\[ \dot{x} = -kx \frac{\dot{z}}{l} \to \frac{\dot{x}}{x} + \frac{k}{l} \dot{z} =0 \to \frac{d}{dt} \left( \ln x + \frac{k}{l} z \right) = 0 \]となる。従って、$x(0) = x_0, \ z(0) = 0$とすると、
\[ x = x_0 \exp (-kz/l) \tag{1} \]となる。
(c) $x+y+z=N$と(1)式を$\dot{z}=ly$に代入すると、
\[ \dot{z} = l( N-z-x_0 \exp (-kz/l) ) \]が得られる。
(d) $z=lu/k$, $t=T \tau$とおくと、
\[ \frac{du}{d \tau} = kTN - lTu - kTx_0 \exp (-u) \]となり、さらに$T = 1/kx_0, \ a = N/x_0, b = l/kx_0$とおくと、
\[ \frac{du}{d \tau} = a - bu - \exp (-u) \]となる。
(e) $x_0 \leq N$であるので、$a = N/x_0 \geq 1$。また、$k, \ l$は正の定数であるので、$b=l/kx_0 > 0$となる。
(f) i) $a=1, \ b > 1$のとき、安定固定点$u^*=0$、不安定固定点$u^*<0$をもつ。
ii) $a=1, \ b < 1$のとき、安定固定点$u^*>0$、不安定固定点$u^*=0$をもつ。
iii) $a>1$のとき、安定固定点$u^*>0$、不安定固定点$u^*<0$をもつ。
(g) $\dot{u}(t)$が最大になるのは、
\[ \frac{d}{d u} [ a - bu - \exp (-u) ] = 0 \]のとき、すなわち$u = - \ln b$のとき。また、
\[ \dot{z} = \frac{l}{k} \dot{u}, \ y = \frac{1}{l} \dot{z} = \frac{1}{k}\dot{u} \]であるので、$\dot{u}(t)$が最大になるとき、$\dot{z}, y$も最大となる。
(h) $b<1$のとき、$\dot{u}(t)$は安定固定点$u^*>0$をもつ。また、$\dot{u}(t)$は$a - bu - \exp (-u)$に従って変化するので、$0<u<u^*$では$\dot{u}(t) > 0$で、$t_{\rm{peak}}$で最大値$a-b(1-\ln b)$をとる。従って、$\dot{u}(t)$は$t=0$で増加しており、ある時点$t_{\rm{peak}}$で最大、その後$\dot{u}(t)$は減少し、$u=u^*$となったところで、$\dot{u}=0$となる。
(i) $b>1$のとき、$\dot{u}(t)$が最大になるのは、$u = - \ln b < 0$のときとなるが、$u \geq 0$であり、また、$\dot{u}(t)$は$0<u<u^*$で単調減少するので、$u=0$のとき最大、すなわち$t_{\rm{peak}}=0$となる。
(j) $b=1$のとき、$l=kx_0$が成り立つ。このとき、$y(0)=y_0$とおくと、
\[ \dot{x}(0) = -kx_0 y_0, \ \dot{y}(0) = (kx_0 - l)y_0 = 0, \ \dot{z}(0) = l y_0 \]となる。この場合、罹病する率と死亡する率は同程度となり、罹病した人の数はほとんど変わらず、一定の数$y_0$にほぼ保たれる。
(k) エイズの伝染は、性行為による感染、血液を介した感染、母子感染などがある。この疫病モデルをエイズの伝染に適用するためには、性行為による感染や母子感染のような人と人が接触するだけでなく、血液を介する感染のような人以外の感染経路も考慮する必要がある。従って、血液を介する感染により罹病する率を$m$とすると、モデルの改善として、
\[ \dot{x} = -kxy -mx, \ \dot{y} = kxy +mx - ly, \ \dot{z} = ly \]が考えられる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-06-11 05:02:09

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