ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

P.126の問題番号「4.1.4」 に対する解答

$\dot{\theta} = \sin^3 \theta$
$f(\theta) = \sin^3 \theta$とおくと、
$f(\theta) = 0$より$\theta^* = 0, \pi$。
ここで、$\delta \theta$を十分小さな正の値とすると、
$f(0+\delta \theta)>0$, $f(0-\delta \theta)<0$, $f(\pi+\delta \theta)<0$, $f(\pi-\delta \theta)>0$が成り立つので、
$\theta^* = \pi$で安定固定点、$\theta^* = 0$で不安定固定点をとる。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-06-14 07:22:49

P.126の問題番号「4.1.6」 に対する解答

$\dot{\theta} = 3 + \cos 2\theta$
$f(\theta) = 3 + \cos 2\theta$とおくと、$f(\theta)$は常に正の値をもつ。
したがって、固定点はなく、常に反時計回りに回り続ける。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-06-14 07:31:14

P.126の問題番号「4.1.8」 に対する解答

(a) $\dot{\theta} = \cos \theta$のポテンシャルは$V(\theta) = - \sin \theta$。
$V(\theta + 2 \pi k) = - \sin ( \theta + 2 \pi k ) = - \sin \theta = V(\theta)$となるので、矛盾なく定義された$V$の値が存在する。
(b) $\dot{\theta} = 1$のポテンシャルは$V(\theta) = - \theta$。
$V(\theta + 2 \pi k) = - \theta - 2 \pi k \neq - \theta = V(\theta)$となるので、矛盾なく定義された$V$の値が存在しない。
(c) $\dot{\theta} = f(\theta)$のポテンシャルを$V(\theta) = - \int^{\theta} f(\theta') d \theta'$とおく。この$V(\theta)$が一価のポテンシャルをもつには、
$V(\theta + 2 \pi k) = V(\theta)$
が成り立つ必要がある。即ち、
$V(\theta + 2 \pi k) - V(\theta) = - \int_0^{2\pi k} f(\theta) d \theta = 0$
が、任意の整数$k$に対して成り立てばよい。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-06-14 07:54:44

P.126の問題番号「4.2.1」 に対する解答

教会の鐘
・直観に基づく議論
周期3秒と周期4秒の鐘なので、その最小公倍数である12秒後が次に一緒に鐘が鳴るタイミングとなる。
・例題4.2.1の手法
鐘がなるタイミングの位相を$\theta_1, theta_2$とおくと、それぞれ
\[\dot{\theta_1} = \omega_1 = \frac{2\pi}{3}, \ \dot{\theta_2} = \omega_2 = \frac{2\pi}{4} \]このとき、位相差$\phi = \theta_1 - \theta_2$を定義すると、次に鐘が同時になるタイミングは$\phi$が$2\pi$だけ増えるときである。従って、$\dot{\phi} = \dot{\theta_1} - \dot{\theta_2} = \omega_1 - \omega_2$より
\[ T = \frac{2 \pi}{\omega_1 - \omega_2} = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right)^{-1} = 12 [\rm{秒}] \]となる。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-06-15 05:45:44

P.127の問題番号「4.2.3」 に対する解答

時計の問題　別のアプローチ
時計の長針は1時間で$2\pi$、短針は1時間で$2 \pi/12$だけ進む。
12時の後、次に時計の針がそろうのは、1時を過ぎたあたり。
したがって、1時から$x$時間進んだときに時計の針がそろうとすると、
\[ \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} x = 2\pi x \]が成り立つので、この方程式を解くと、$x = 1/11$が得られる。つまり、$1 + 1/11 = 12/11$時間後に時計の針がそろう。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-06-16 05:30:10