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	P.254の問題番号「7.2.15」に対する解答系$\dot{x}=x(2-x-y), \ \ \dot{y} = y(4x-x^2-3)$ (a) この系は$(0,0), \ \ (2,0), \ \ (1,1), \ \ (3.-1)$の4つの固定点をもつ。以下、固定点ごとに分類。 \[ (0, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}, \ \ \tau = -1, \ \ \Delta = -6 \]となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = 2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -3 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] \[ (2, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \ \ \tau = -1, \ \ \Delta = -2 \]となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = -2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \] \[ (1, 1) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = -1 \ \ \Delta = 2, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = -7 \]となるので、安定スパイラルとなる。 \[ (3, -1) \ : \ A = \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = -3 \ \ \Delta = 6, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = -15 \]となるので、安定スパイラルとなる。 (b) 相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-28 05:27:05
	P.254の問題番号「7.2.14」に対する解答系$\dot{x}=x^2-y-1, \ \ \dot{y} = y(x-2)$ (a) この系は$(1,0), \ \ (-1,0), \ \ (2,3)$の3つの固定点をもつ。以下、固定点ごとに分類。 \[ (1, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 1, \ \ \Delta = -2 \]となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = 2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \] \[ (-1, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}, \ \ \tau = -5 \ \ \Delta = 6, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 1 \]となるので、安定ノードとなる。 \[ \lambda = -2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -3 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] \[ (2, 3) \ : \ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 4 \ \ \Delta = 3, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 4 \]となるので、不安定ノードとなる。 \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = 3 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] (b) (a)で得た3つの固定点のペアから得られる3本の直線はいずれもこの系の軌道を表すことに注意する。一方、定理6.8.2より相平面における任意の閉軌道は固定点をそれらの指数の総和が$+1$となるように囲まれるので、閉軌道の候補として、・固定点$(1,0)$のみを囲む閉軌道・固定点$(-1,0)$のみを囲む閉軌道・3つの固定点すべてを囲む閉軌道が考えられる。しかし、これらの閉軌道はいずれも3本の直線軌道の少なくとも2本と交わる。これは軌道同士が交わらないという条件に反する。したがって、この系に周期軌道は存在しない。 (c) 相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-27 06:40:12
	P.254の問題番号「7.2.13」に対する解答競合モデル$\dot{N}_1 = r_1 N_1(1-N_1/K_1) -b_1 N_1 N_2, \ \ \dot{N}_2 = r_2 N_2(1-N_2/K_2) -b_2 N_1 N_2$ $g = (N_1N_2)^{-1}$とすると、 \[ \frac{\partial }{\partial N_1} (g \dot{N}_1) + \frac{\partial }{\partial N_2} (g \dot{N}_2) = - \frac{r_1}{K_1N_2} - \frac{r_2}{K_2N_1} \]となる。領域$N_1,N_2>0$は単連結である、関数$g$および$\dot{N}_1, \ \dot{N}_2$は滑らかさについての条件を満たしているので、デュラックの判定法により第１象限に周期軌道をもたない。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-24 08:33:03
	P.254の問題番号「7.2.12」に対する解答系$\dot{x}=-x+2y^3-2y^4, \ \ \dot{y}=-x-y+xy$は周期解をもたない。証明）まず、この系の固定点は$(0,0)$のみである。次に、$V=x^m+ay^n$とおくと、 \[ \begin{align} \dot{V} &= m x^{m-1} \dot{x} + na y^{n-1} \dot{y} \\ &= m x^{m-1} (-x+2y^3-2y^4) + na y^{n-1} (-x-y+xy) \\ &= -mx^m -nay^n + 2mx^{m-1}y^3 -naxy^{n-1} -2mx^{m-1}y^4 +naxy^n \end{align} \]となる。$V$が正定値であるためには$m, \ n$は偶数、$a>0$でなければならない。これを考慮すると、$\dot{V}<0$が成り立つためには、 \[ 2mx^{m-1}y^3 -naxy^{n-1}=0, \ \ -2mx^{m-1}y^4 +naxy^n = 0 \]であることが期待される。これらのことから、$m=2, \ \ n=4, \ \ a=1$が得られ、 \[ V= x^2 + y^4, \ \ \dot{V} = -2x^2 -4y^4 \]となる。したがって、$V>0$かつ$\dot{V}<0$がすべての$(x,y) \neq (0,0)$に対して成り立つ。ゆえに、$V=x^2+y^4$はリアプノフ関数であり、この系は周期解をもたない。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-24 07:00:34
	P.254の問題番号「7.2.11」に対する解答 \[ V = ax^2 +2bxy +cy^2 = a \left( x + \frac{b}{a}y \right)^2 + \frac{ac-b^2}{a} y^2 \]と変形できるので、$V$が正定値となるためには$a>0$かつ$ac-b^2>0$であることと同値であることがわかる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 17:31:33
	P.254の問題番号「7.2.10」に対する解答系$\dot{x}=y-x^3, \ \ \dot{y} = -x - y^3$ まず、この系の固定点は$(0,0)$のみである。次に、$V=ax^2+by^2$とすると、 \[ \dot{V} = 2a x \dot{x} + 2b y \dot{y} = 2ax(y-x^3)+2b(-x-y^3)=2(a-b)xy -2ax^4-2by^4 \]が成り立つ。もし、$a=b=1$と選ぶと、$xy$項はなくなり$\dot{V}=-2x^4-2y^4$となる。したがって、$V>0$かつ$\dot{V}<0$がすべての$(x,y) \neq (0,0)$に対して成り立つ。ゆえに、$V=x^2+y^2$はリアプノフ関数であり、閉軌道は存在しない。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 17:20:26
	P.254の問題番号「7.2.9」に対する解答へのコメント (a) $\dot{x} = y+x^2 y, \ \ \dot{y}=-x + 2xy $ \[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 1+x^2, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = -1+2y \]となるので、この系は勾配系ではない。 (b) $\dot{x} = 2x, \ \ \dot{y} = 8y $ \[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 0, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = 0 \]となるので、この系は勾配系となり、ポテンシャル関数は \[V(x,y) = -x^2-4y^2 \]となる。この系の固定点は$(0,0)$。ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}, \ \ \tau=10, \ \ \Delta = 16, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 36 \]となるので、不安定ノードとなる。このときの相図と等ポテンシャル曲線は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 13:02:48
	P.254の問題番号「7.2.9」に対する解答 (a) $\dot{x} = y+x^2 y, \ \ \dot{y}=-x + 2xy $ \[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 1+x^2, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = -1+2y \]となるので、この系は勾配系ではない。 (b) $\dot{x} = 2x, \ \ \dot{y} = 8y $ \[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 0, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = 0 \]となるので、この系は勾配系となり、ポテンシャル関数は \[V(x,y) = -x^2-4y^2 \]となる。この系の固定点は$(0,0)$。ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}, \ \ \tau=10, \ \ \Delta = 16, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 36 \]となるので、不安定ノードとなる。このときの相図と等ポテンシャル曲線は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 13:01:21
	P.254の問題番号「7.2.8」に対する解答勾配系の軌道は常に等ポテンシャル曲線に直交する。証明）等ポテンシャル曲線上の任意の点$(x,y)$とその点での接線ベクトルを$(u,v)$とする。このとき、十分小さな$\varepsilon$に対して、 \[ V(x,y) = V(x+\varepsilon u, y+\varepsilon v) \]と置くことができる。右辺を展開すると、 \[ V(x+\varepsilon u, y+\varepsilon v) = V(x,y) + \varepsilon \frac{ \partial V(x,y) }{\partial x} u + \varepsilon \frac{ \partial V(x,y) }{\partial y} v \]となる。したがって、 \[ \frac{ \partial V(x,y) }{\partial x} u + \frac{ \partial V(x,y) }{\partial y} v = 0 \]が得られる。ここで、 \[ \dot{x} = - \frac{ \partial V(x,y) }{\partial x}, \ \ \dot{y} = - \frac{ \partial V(x,y) }{\partial y} \]であることを考慮すると、 \[ \dot{x} u + \dot{y} v = 0 \]となる。これは勾配系の軌道が等ポテンシャル曲線に直交することを示している。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 10:41:17
	P.253の問題番号「7.2.7」に対する解答系$\dot{x}=y+2xy, \ \ \dot{y} = x+x^2-y^2$ (a) $f(x,y) = y+2xy, \ \ g(x,y) = x+x^2-y^2$とおくと、 \[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 1+2x, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = 1+2x \]となるので、$\partial f / \partial y = \partial g / \partial x$が成り立つ。 (b) まず、 \[ -\frac{\partial V(x,y)}{\partial x} = y +2xy \]より \[ V(x,y) = -x y -x^2 y +C(y) \]となる。ここで$C(y)$は$y$の関数である。これを、 \[ -\frac{\partial V(x,y)}{\partial y} = x + x^2 - y^2 \]に代入すると、 \[ \frac{d C(y)}{d y} = y^2 \]が得られ、定数項を省略すると、$C(y)=y^3/3$となる。したがって、 \[ V(x,y) = -x y -x^2 y +\frac{1}{3} y^3 \]となる。 (c) この系の固定点は$(0,0), \ \ (-1,0)$。以下、固定点ごとに分類。 \[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau=0, \ \ \Delta = -1 \]となるので、サドル点である。 \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \] \[ (-1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau=0, \ \ \Delta = -1 \]となるので、サドル点である。 \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 09:28:26

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	P.254の問題番号「7.2.15」に対する解答系$\dot{x}=x(2-x-y), \ \ \dot{y} = y(4x-x^2-3)$ (a) この系は$(0,0), \ \ (2,0), \ \ (1,1), \ \ (3.-1)$の4つの固定点をもつ。以下、固定点ごとに分類。 \[ (0, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}, \ \ \tau = -1, \ \ \Delta = -6 \]となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = 2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -3 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] \[ (2, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \ \ \tau = -1, \ \ \Delta = -2 \]となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = -2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \] \[ (1, 1) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = -1 \ \ \Delta = 2, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = -7 \]となるので、安定スパイラルとなる。 \[ (3, -1) \ : \ A = \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = -3 \ \ \Delta = 6, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = -15 \]となるので、安定スパイラルとなる。 (b) 相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-28 05:27:05
	P.254の問題番号「7.2.14」に対する解答系$\dot{x}=x^2-y-1, \ \ \dot{y} = y(x-2)$ (a) この系は$(1,0), \ \ (-1,0), \ \ (2,3)$の3つの固定点をもつ。以下、固定点ごとに分類。 \[ (1, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 1, \ \ \Delta = -2 \]となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = 2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \] \[ (-1, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}, \ \ \tau = -5 \ \ \Delta = 6, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 1 \]となるので、安定ノードとなる。 \[ \lambda = -2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -3 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] \[ (2, 3) \ : \ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 4 \ \ \Delta = 3, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 4 \]となるので、不安定ノードとなる。 \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = 3 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] (b) (a)で得た3つの固定点のペアから得られる3本の直線はいずれもこの系の軌道を表すことに注意する。一方、定理6.8.2より相平面における任意の閉軌道は固定点をそれらの指数の総和が$+1$となるように囲まれるので、閉軌道の候補として、・固定点$(1,0)$のみを囲む閉軌道・固定点$(-1,0)$のみを囲む閉軌道・3つの固定点すべてを囲む閉軌道が考えられる。しかし、これらの閉軌道はいずれも3本の直線軌道の少なくとも2本と交わる。これは軌道同士が交わらないという条件に反する。したがって、この系に周期軌道は存在しない。 (c) 相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-27 06:40:12
	P.254の問題番号「7.2.13」に対する解答競合モデル$\dot{N}_1 = r_1 N_1(1-N_1/K_1) -b_1 N_1 N_2, \ \ \dot{N}_2 = r_2 N_2(1-N_2/K_2) -b_2 N_1 N_2$ $g = (N_1N_2)^{-1}$とすると、 \[ \frac{\partial }{\partial N_1} (g \dot{N}_1) + \frac{\partial }{\partial N_2} (g \dot{N}_2) = - \frac{r_1}{K_1N_2} - \frac{r_2}{K_2N_1} \]となる。領域$N_1,N_2>0$は単連結である、関数$g$および$\dot{N}_1, \ \dot{N}_2$は滑らかさについての条件を満たしているので、デュラックの判定法により第１象限に周期軌道をもたない。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-24 08:33:03
	P.254の問題番号「7.2.12」に対する解答系$\dot{x}=-x+2y^3-2y^4, \ \ \dot{y}=-x-y+xy$は周期解をもたない。証明）まず、この系の固定点は$(0,0)$のみである。次に、$V=x^m+ay^n$とおくと、 \[ \begin{align} \dot{V} &= m x^{m-1} \dot{x} + na y^{n-1} \dot{y} \\ &= m x^{m-1} (-x+2y^3-2y^4) + na y^{n-1} (-x-y+xy) \\ &= -mx^m -nay^n + 2mx^{m-1}y^3 -naxy^{n-1} -2mx^{m-1}y^4 +naxy^n \end{align} \]となる。$V$が正定値であるためには$m, \ n$は偶数、$a>0$でなければならない。これを考慮すると、$\dot{V}<0$が成り立つためには、 \[ 2mx^{m-1}y^3 -naxy^{n-1}=0, \ \ -2mx^{m-1}y^4 +naxy^n = 0 \]であることが期待される。これらのことから、$m=2, \ \ n=4, \ \ a=1$が得られ、 \[ V= x^2 + y^4, \ \ \dot{V} = -2x^2 -4y^4 \]となる。したがって、$V>0$かつ$\dot{V}<0$がすべての$(x,y) \neq (0,0)$に対して成り立つ。ゆえに、$V=x^2+y^4$はリアプノフ関数であり、この系は周期解をもたない。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-24 07:00:34
	P.254の問題番号「7.2.11」に対する解答 \[ V = ax^2 +2bxy +cy^2 = a \left( x + \frac{b}{a}y \right)^2 + \frac{ac-b^2}{a} y^2 \]と変形できるので、$V$が正定値となるためには$a>0$かつ$ac-b^2>0$であることと同値であることがわかる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 17:31:33
	P.254の問題番号「7.2.10」に対する解答系$\dot{x}=y-x^3, \ \ \dot{y} = -x - y^3$ まず、この系の固定点は$(0,0)$のみである。次に、$V=ax^2+by^2$とすると、 \[ \dot{V} = 2a x \dot{x} + 2b y \dot{y} = 2ax(y-x^3)+2b(-x-y^3)=2(a-b)xy -2ax^4-2by^4 \]が成り立つ。もし、$a=b=1$と選ぶと、$xy$項はなくなり$\dot{V}=-2x^4-2y^4$となる。したがって、$V>0$かつ$\dot{V}<0$がすべての$(x,y) \neq (0,0)$に対して成り立つ。ゆえに、$V=x^2+y^2$はリアプノフ関数であり、閉軌道は存在しない。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 17:20:26
	P.254の問題番号「7.2.9」に対する解答へのコメント (a) $\dot{x} = y+x^2 y, \ \ \dot{y}=-x + 2xy $ \[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 1+x^2, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = -1+2y \]となるので、この系は勾配系ではない。 (b) $\dot{x} = 2x, \ \ \dot{y} = 8y $ \[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 0, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = 0 \]となるので、この系は勾配系となり、ポテンシャル関数は \[V(x,y) = -x^2-4y^2 \]となる。この系の固定点は$(0,0)$。ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}, \ \ \tau=10, \ \ \Delta = 16, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 36 \]となるので、不安定ノードとなる。このときの相図と等ポテンシャル曲線は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 13:02:48
	P.254の問題番号「7.2.9」に対する解答 (a) $\dot{x} = y+x^2 y, \ \ \dot{y}=-x + 2xy $ \[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 1+x^2, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = -1+2y \]となるので、この系は勾配系ではない。 (b) $\dot{x} = 2x, \ \ \dot{y} = 8y $ \[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 0, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = 0 \]となるので、この系は勾配系となり、ポテンシャル関数は \[V(x,y) = -x^2-4y^2 \]となる。この系の固定点は$(0,0)$。ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}, \ \ \tau=10, \ \ \Delta = 16, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 36 \]となるので、不安定ノードとなる。このときの相図と等ポテンシャル曲線は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 13:01:21
	P.254の問題番号「7.2.8」に対する解答勾配系の軌道は常に等ポテンシャル曲線に直交する。証明）等ポテンシャル曲線上の任意の点$(x,y)$とその点での接線ベクトルを$(u,v)$とする。このとき、十分小さな$\varepsilon$に対して、 \[ V(x,y) = V(x+\varepsilon u, y+\varepsilon v) \]と置くことができる。右辺を展開すると、 \[ V(x+\varepsilon u, y+\varepsilon v) = V(x,y) + \varepsilon \frac{ \partial V(x,y) }{\partial x} u + \varepsilon \frac{ \partial V(x,y) }{\partial y} v \]となる。したがって、 \[ \frac{ \partial V(x,y) }{\partial x} u + \frac{ \partial V(x,y) }{\partial y} v = 0 \]が得られる。ここで、 \[ \dot{x} = - \frac{ \partial V(x,y) }{\partial x}, \ \ \dot{y} = - \frac{ \partial V(x,y) }{\partial y} \]であることを考慮すると、 \[ \dot{x} u + \dot{y} v = 0 \]となる。これは勾配系の軌道が等ポテンシャル曲線に直交することを示している。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 10:41:17
	P.253の問題番号「7.2.7」に対する解答系$\dot{x}=y+2xy, \ \ \dot{y} = x+x^2-y^2$ (a) $f(x,y) = y+2xy, \ \ g(x,y) = x+x^2-y^2$とおくと、 \[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 1+2x, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = 1+2x \]となるので、$\partial f / \partial y = \partial g / \partial x$が成り立つ。 (b) まず、 \[ -\frac{\partial V(x,y)}{\partial x} = y +2xy \]より \[ V(x,y) = -x y -x^2 y +C(y) \]となる。ここで$C(y)$は$y$の関数である。これを、 \[ -\frac{\partial V(x,y)}{\partial y} = x + x^2 - y^2 \]に代入すると、 \[ \frac{d C(y)}{d y} = y^2 \]が得られ、定数項を省略すると、$C(y)=y^3/3$となる。したがって、 \[ V(x,y) = -x y -x^2 y +\frac{1}{3} y^3 \]となる。 (c) この系の固定点は$(0,0), \ \ (-1,0)$。以下、固定点ごとに分類。 \[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau=0, \ \ \Delta = -1 \]となるので、サドル点である。 \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \] \[ (-1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau=0, \ \ \Delta = -1 \]となるので、サドル点である。 \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 09:28:26