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	P.211の問題番号「6.7.4」に対する解答方程式$\ddot{\theta}+\sin \theta = 0$ (a) 方程式の両辺に$\dot{\theta}$をかけて整理すると、エネルギーとして \[ E = \frac{1}{2} \dot{\theta}^2 - \cos \theta \]が得られる。振り子が振幅$\alpha$で振れている場合、振れ幅が最大のところで、$\dot{\theta} = 0, \ \ \theta = \alpha$となるので、エネルギー保存則から \[ -\cos \alpha = \frac{1}{2} \dot{\theta}^2 - \cos \theta \]すなわち\[ \dot{\theta}^2 = 2 ( \cos \theta - \cos \alpha ) \ \ \ \ (1) \]が得られる。振り子の周期は振り子が$\theta = 0$から$\theta =\alpha$まで動く時間の4倍となるので、$(1)$式を用いると、 \[ T(\alpha)= 4 \int_0^{\alpha} \frac{d \theta}{ [ 2 ( \cos \theta - \cos \alpha ) ]^{\frac{1}{2}} } \]を得る。 (b) 半角公式$ \cos \theta = 1 - 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} $を使うと、 \[ T(\alpha)= 4 \int_0^{\alpha} \frac{d \theta}{ [ 4 ( \sin^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2} ) ]^{\frac{1}{2}} } \]を得る。 (c) 変数変換$ \sin \frac{1}{2} \alpha \sin \phi = \sin \frac{1}{2} \theta $を考えると、 \[ d \theta = \frac{2 \sin \frac{1}{2} \alpha \cos \phi}{\cos \frac{\theta}{2} } d \phi \]であるので、 \[ T(\alpha) = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \phi}{ \cos \frac{\theta}{2} } \]となる。さらに、 \[ \cos \frac{\theta}{2} = \left( 1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \phi \right)^{\frac{1}{2}} \]となるので、 \[ T(\alpha) = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \phi}{ \left( 1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \phi \right)^{\frac{1}{2}} } = 4 K \left( \sin^2 \frac{\alpha}{2} \right) \]が得られる。 (d) 楕円積分を二項級数で展開すると、 \[ T(\alpha) = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 + \frac{1}{2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \phi + \mathcal{O}(\alpha^4) \right) d \phi \]となる。ここで、 \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \phi d \phi = \frac{\pi}{4} \]となるので、 \[ T(\alpha) = 2 \pi \left[ 1 + \frac{1}{16} \alpha^2 + \mathcal{O}(\alpha^4) \right] \]が得られる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-28 06:48:45
	P.211の問題番号「6.7.3」に対する解答方程式$\ddot{\theta} + (1+a \cos \theta) \dot{\theta} + \sin \theta = 0$ 相平面において対応する系は $\dot{\theta} = v, \ \ \dot{v}= - \sin \theta - (1+a \cos \theta) v$ となる。この系の固定点は$( n \pi, 0)$。またヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -(-1)^n & -(1+(-1)^n a ) \end{pmatrix} \]となる。 $n$が奇数のとき、$\tau = -(1-a), \ \ \Delta = -1 <0$となるので、$( n \pi, 0)$はサドル点となる。 \[ \lambda = \frac{-(1-a)+\sqrt{(1-a)^2+4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -(1-a)+\sqrt{(1-a)^2+4} \end{pmatrix}, \\ \lambda = \frac{-(1-a)-\sqrt{(1-a)^2+4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -(1-a)-\sqrt{(1-a)^2+4} \end{pmatrix} \] $n$が偶数のとき、$\tau = -(1+a), \ \ \Delta = 1 > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (a+3)(a-1)$となる。 i) $0<a<1$のとき、$( n \pi, 0)$は安定スパイラルとなる。 ii) $a=1$のとき、$( n \pi, 0)$は縮退した安定ノードとなる。 iii) $a>1$のとき、$( n \pi, 0)$は安定ノードとなる。 \[ \lambda = \frac{-(1+a)+\sqrt{(1+a)^2-4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -(1+a)+\sqrt{(1+a)^2-4} \end{pmatrix}, \\ \lambda = \frac{-(1+a)-\sqrt{(1+a)^2-4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -(1+a)-\sqrt{(1+a)^2-4} \end{pmatrix} \] これらの相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-27 16:21:12
	P.211の問題番号「6.7.2」に対する解答方程式$\ddot{\theta} + \sin \theta = \gamma$ (a) 相平面において対応する系は $\dot{\theta} = v, \ \ \dot{v}= \gamma - \sin \theta$。この系のヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - \cos \theta & 0 \end{pmatrix} \]となる。 i) $0<\gamma<1$のとき、固定点は$( \theta^* + 2m \pi, 0), \ \ ((2n+1) \pi - \theta^, 0)$。ここで、$\sin \theta^ = \gamma, \ \ 0<\theta^<\frac{\pi}{2}$で、$m,n$は任意の整数とする。以下、固定点ごとに分類。 \[ (\theta^+2m\pi, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\sqrt{1-\gamma^2} & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 0, \ \ \Delta = \sqrt{1-\gamma^2}>0 \]となり、センターと予想される。 \[ ((2n+1)\pi-\theta^, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \sqrt{1-\gamma^2} & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 0, \ \ \Delta = -\sqrt{1-\gamma^2}<0 \]となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = (1 - \gamma^2)^\frac{1}{4} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ (1 - \gamma^2)^\frac{1}{4} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -(1 - \gamma^2)^\frac{1}{4} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -(1 - \gamma^2)^\frac{1}{4} \end{pmatrix} \] ii) $\gamma=1$のとき、固定点は$( \pi/2+ 2m \pi, 0)$となる。ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]となり、孤立していない固定点と予想される。 iii) $\gamma >1$のとき、固定点はなし。 (b) 添付図参照。 (c) 方程式の両辺に$\dot{\theta}$をかけて整理すると、 \[ E = \frac{1}{2} \dot{\theta}^2 - \cos \theta - \gamma \theta \] となる保存量をもつ。また、この系は$t \to -t, \ \ v \to -v$の変換のもとで不変であるので、可逆である。 (d) 添付図参照。 (e) $0<\gamma<1$のとき、方程式を固定点$( \theta^ + 2m \pi, 0)$周りで展開し、近似すると、 \[ \ddot{\theta} + \sqrt{1-\gamma^2} \theta = 0 \]となる。したがって、相図中のセンター周りの小さな振動の近似的な振動数は$(1 - \gamma^2)^\frac{1}{4}$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-27 14:00:18
	P.211の問題番号「6.7.1」に対する解答系$\ddot{\theta} + b \dot{\theta} + \sin \theta = 0$ 相平面において対応する系は $\dot{\theta} = v, \ \ \dot{v} = - \sin \theta - bv$ この系の固定点は$(2m \pi, 0), \ \ ((2n+1)\pi, 0)$。ここで$m,n$は任意の整数である。また、この系のヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - \cos \theta & -b \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。 \[ ((2n+1)\pi, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -b \end{pmatrix}, \ \ \tau = -b<0, \ \ \Delta = -1<0 \]となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = \frac{-b+\sqrt{b^2+4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -b+\sqrt{b^2+4} \end{pmatrix}, \\ \lambda = \frac{-b-\sqrt{b^2+4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -b-\sqrt{b^2+4} \end{pmatrix} \] \[ (2m\pi, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -b \end{pmatrix}, \ \ \tau = -b<0, \ \ \Delta = 1>0, \ \ \tau^2-4 \Delta = b^2 -4 \]となる。したがって、 i) $0<b<2$のとき、$(2m\pi, 0)$は安定スパイラルとなる。 ii) $b=2$のとき、$(2m\pi, 0)$は縮退した安定ノードと予想される。 iii) $b>2$のとき、$(2m\pi, 0)$は安定ノードとなる。 \[ \lambda = \frac{-b+\sqrt{b^2-4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -b+\sqrt{b^2-4} \end{pmatrix}, \\ \lambda = \frac{-b-\sqrt{b^2-4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -b-\sqrt{b^2-4} \end{pmatrix} \] これらの相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-26 09:36:21
	P.210の問題番号「6.6.11」に対する解答へのコメント系$\dot{\theta} = \cot \phi \cos \theta, \ \ \dot{\phi} = ( \cos^2 \phi + A \sin^2 \phi ) \sin \theta$ (a) 変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$のもとで $\dot{\theta} \to \dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to -\dot{\phi}, \ \ \cos \theta \to \cos \theta, \ \ \sin \theta \to -\sin \theta$ となるので、系はこの変換に対して不変である。また、変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$のもとで $\dot{\theta} \to -\dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to \dot{\phi}, \ \ \cot \phi \to -\cot \phi, \ \ \cos^2 \phi \to \cos^2 \phi, \ \ \sin^2 \phi \to \sin^2 \phi$ となるので、系はこの変換に対しても不変である。従って、この系は変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$と変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$の2通りの意味で可逆である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-23 05:30:35
	P.210の問題番号「6.6.11」に対する解答へのコメント系$\dot{\theta} = \cot \phi \cos \theta, \ \ \dot{\phi} = ( \cos^2 \phi + A \sin^2 \phi ) \sin \theta$ (a) 変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$のもとで $\dot{\theta} \to \dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to -\dot{\phi}, \ \ \cos \theta \to \cos \theta, \ \ \sin \theta \to -\sin \theta$ となるので、系はこの変換に対して不変である。また、変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$のもとで $\dot{\theta} \to -\dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to \dot{\phi}, \ \ \cot \phi \to -\cot \phi, \ \ \cos^2 \phi \to \cos^2 \phi, \ \ \sin^2 \phi \to \sin^2 \phi$ となるので、系はこの変換に対しても不変である。従って、この系は変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$と変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$の2通りの意味で可逆である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-23 05:29:31
	P.210の問題番号「6.6.11」に対する解答へのコメント系$\dot{\theta} = \cot \phi \cos \theta, \ \ \dot{\phi} = ( \cos^2 \phi + A \sin^2 \phi ) \sin \theta$ (a) 変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$のもとで $\dot{\theta} \to \dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to -\dot{\phi}, \ \ \cos \theta \to \cos \theta, \ \ \sin \theta \to -\sin \theta$ となるので、系はこの変換に対して不変である。また、変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$のもとで $\dot{\theta} \to -\dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to \dot{\phi}, \ \ \cot \phi \to -\cot \phi, \ \ \cos^2 \phi \to \cos^2 \phi, \ \ \sin^2 \phi \to \sin^2 \phi$ となるので、系はこの変換に対しても不変である。従って、この系は変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$と変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$の2通りの意味で可逆である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-23 05:25:51
	P.210の問題番号「6.6.11」に対する解答へのコメント系$\dot{\theta} = \cot \phi \cos \theta, \ \ \dot{\phi} = ( \cos^2 \phi + A \sin^2 \phi ) \sin \theta$ (a) 変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$のもとで $\dot{\theta} \to \dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to -\dot{\phi}, \ \ \cos \theta \to \cos \theta, \ \ \sin \theta \to -\sin \theta$ となるので、系はこの変換に対して不変である。また、変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$のもとで $\dot{\theta} \to -\dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to \dot{\phi}, \ \ \cot \phi \to -\cot \phi, \ \ \cos^2 \phi \to \cos^2 \phi, \ \ \sin^2 \phi \to \sin^2 \phi$ となるので、系はこの変換に対しても不変である。従って、この系は変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$と変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$の2通りの意味で可逆である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-23 05:24:36
	P.210の問題番号「6.6.11」に対する解答系$\dot{\theta} = \cot \phi \cos \theta, \ \ \dot{\phi} = ( \cos^2 \phi + A \sin^2 \phi ) \sin \theta$ (a) 変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$のもとで $\dot{\theta} \to \dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to -\dot{\phi}, \ \ \cos \theta \to \cos \theta, \ \ \sin \theta \to -\sin \theta$ となるので、系はこの変換に対して不変である。また、変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$のもとで $\dot{\theta} \to -\dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to \dot{\phi}, \ \ \cot \phi \to -\cot \phi, \ \ \cos^2 \phi \to \cos^2 \phi, \ \ \sin^2 \phi \to \sin^2 \phi$ となるので、系はこの変換に対しても不変である。従って、この系は変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$と変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$の2通りの意味で可逆である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-23 05:22:16
	P.210の問題番号「6.6.10」に対する解答系$\dot{x} = -y -x^2, \ \ \dot{y}=x$ 原点のヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]で、これは$\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$をもつので、原点は線形なセンターである。さらに、方程式が変換$t \to -t, \ \ x \to -x$のもとで不変なので系は可逆である。定理6.6.1により原点は非線形なセンターである。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-12 12:08:41

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	P.211の問題番号「6.7.4」に対する解答方程式$\ddot{\theta}+\sin \theta = 0$ (a) 方程式の両辺に$\dot{\theta}$をかけて整理すると、エネルギーとして \[ E = \frac{1}{2} \dot{\theta}^2 - \cos \theta \]が得られる。振り子が振幅$\alpha$で振れている場合、振れ幅が最大のところで、$\dot{\theta} = 0, \ \ \theta = \alpha$となるので、エネルギー保存則から \[ -\cos \alpha = \frac{1}{2} \dot{\theta}^2 - \cos \theta \]すなわち\[ \dot{\theta}^2 = 2 ( \cos \theta - \cos \alpha ) \ \ \ \ (1) \]が得られる。振り子の周期は振り子が$\theta = 0$から$\theta =\alpha$まで動く時間の4倍となるので、$(1)$式を用いると、 \[ T(\alpha)= 4 \int_0^{\alpha} \frac{d \theta}{ [ 2 ( \cos \theta - \cos \alpha ) ]^{\frac{1}{2}} } \]を得る。 (b) 半角公式$ \cos \theta = 1 - 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} $を使うと、 \[ T(\alpha)= 4 \int_0^{\alpha} \frac{d \theta}{ [ 4 ( \sin^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2} ) ]^{\frac{1}{2}} } \]を得る。 (c) 変数変換$ \sin \frac{1}{2} \alpha \sin \phi = \sin \frac{1}{2} \theta $を考えると、 \[ d \theta = \frac{2 \sin \frac{1}{2} \alpha \cos \phi}{\cos \frac{\theta}{2} } d \phi \]であるので、 \[ T(\alpha) = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \phi}{ \cos \frac{\theta}{2} } \]となる。さらに、 \[ \cos \frac{\theta}{2} = \left( 1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \phi \right)^{\frac{1}{2}} \]となるので、 \[ T(\alpha) = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \phi}{ \left( 1 - \sin^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \phi \right)^{\frac{1}{2}} } = 4 K \left( \sin^2 \frac{\alpha}{2} \right) \]が得られる。 (d) 楕円積分を二項級数で展開すると、 \[ T(\alpha) = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 + \frac{1}{2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} \sin^2 \phi + \mathcal{O}(\alpha^4) \right) d \phi \]となる。ここで、 \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \phi d \phi = \frac{\pi}{4} \]となるので、 \[ T(\alpha) = 2 \pi \left[ 1 + \frac{1}{16} \alpha^2 + \mathcal{O}(\alpha^4) \right] \]が得られる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-28 06:48:45
	P.211の問題番号「6.7.3」に対する解答方程式$\ddot{\theta} + (1+a \cos \theta) \dot{\theta} + \sin \theta = 0$ 相平面において対応する系は $\dot{\theta} = v, \ \ \dot{v}= - \sin \theta - (1+a \cos \theta) v$ となる。この系の固定点は$( n \pi, 0)$。またヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -(-1)^n & -(1+(-1)^n a ) \end{pmatrix} \]となる。 $n$が奇数のとき、$\tau = -(1-a), \ \ \Delta = -1 <0$となるので、$( n \pi, 0)$はサドル点となる。 \[ \lambda = \frac{-(1-a)+\sqrt{(1-a)^2+4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -(1-a)+\sqrt{(1-a)^2+4} \end{pmatrix}, \\ \lambda = \frac{-(1-a)-\sqrt{(1-a)^2+4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -(1-a)-\sqrt{(1-a)^2+4} \end{pmatrix} \] $n$が偶数のとき、$\tau = -(1+a), \ \ \Delta = 1 > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (a+3)(a-1)$となる。 i) $0<a<1$のとき、$( n \pi, 0)$は安定スパイラルとなる。 ii) $a=1$のとき、$( n \pi, 0)$は縮退した安定ノードとなる。 iii) $a>1$のとき、$( n \pi, 0)$は安定ノードとなる。 \[ \lambda = \frac{-(1+a)+\sqrt{(1+a)^2-4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -(1+a)+\sqrt{(1+a)^2-4} \end{pmatrix}, \\ \lambda = \frac{-(1+a)-\sqrt{(1+a)^2-4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -(1+a)-\sqrt{(1+a)^2-4} \end{pmatrix} \] これらの相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-27 16:21:12
	P.211の問題番号「6.7.2」に対する解答方程式$\ddot{\theta} + \sin \theta = \gamma$ (a) 相平面において対応する系は $\dot{\theta} = v, \ \ \dot{v}= \gamma - \sin \theta$。この系のヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - \cos \theta & 0 \end{pmatrix} \]となる。 i) $0<\gamma<1$のとき、固定点は$( \theta^* + 2m \pi, 0), \ \ ((2n+1) \pi - \theta^, 0)$。ここで、$\sin \theta^ = \gamma, \ \ 0<\theta^<\frac{\pi}{2}$で、$m,n$は任意の整数とする。以下、固定点ごとに分類。 \[ (\theta^+2m\pi, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\sqrt{1-\gamma^2} & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 0, \ \ \Delta = \sqrt{1-\gamma^2}>0 \]となり、センターと予想される。 \[ ((2n+1)\pi-\theta^, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \sqrt{1-\gamma^2} & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 0, \ \ \Delta = -\sqrt{1-\gamma^2}<0 \]となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = (1 - \gamma^2)^\frac{1}{4} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ (1 - \gamma^2)^\frac{1}{4} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -(1 - \gamma^2)^\frac{1}{4} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -(1 - \gamma^2)^\frac{1}{4} \end{pmatrix} \] ii) $\gamma=1$のとき、固定点は$( \pi/2+ 2m \pi, 0)$となる。ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]となり、孤立していない固定点と予想される。 iii) $\gamma >1$のとき、固定点はなし。 (b) 添付図参照。 (c) 方程式の両辺に$\dot{\theta}$をかけて整理すると、 \[ E = \frac{1}{2} \dot{\theta}^2 - \cos \theta - \gamma \theta \] となる保存量をもつ。また、この系は$t \to -t, \ \ v \to -v$の変換のもとで不変であるので、可逆である。 (d) 添付図参照。 (e) $0<\gamma<1$のとき、方程式を固定点$( \theta^ + 2m \pi, 0)$周りで展開し、近似すると、 \[ \ddot{\theta} + \sqrt{1-\gamma^2} \theta = 0 \]となる。したがって、相図中のセンター周りの小さな振動の近似的な振動数は$(1 - \gamma^2)^\frac{1}{4}$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-27 14:00:18
	P.211の問題番号「6.7.1」に対する解答系$\ddot{\theta} + b \dot{\theta} + \sin \theta = 0$ 相平面において対応する系は $\dot{\theta} = v, \ \ \dot{v} = - \sin \theta - bv$ この系の固定点は$(2m \pi, 0), \ \ ((2n+1)\pi, 0)$。ここで$m,n$は任意の整数である。また、この系のヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - \cos \theta & -b \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。 \[ ((2n+1)\pi, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -b \end{pmatrix}, \ \ \tau = -b<0, \ \ \Delta = -1<0 \]となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = \frac{-b+\sqrt{b^2+4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -b+\sqrt{b^2+4} \end{pmatrix}, \\ \lambda = \frac{-b-\sqrt{b^2+4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -b-\sqrt{b^2+4} \end{pmatrix} \] \[ (2m\pi, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -b \end{pmatrix}, \ \ \tau = -b<0, \ \ \Delta = 1>0, \ \ \tau^2-4 \Delta = b^2 -4 \]となる。したがって、 i) $0<b<2$のとき、$(2m\pi, 0)$は安定スパイラルとなる。 ii) $b=2$のとき、$(2m\pi, 0)$は縮退した安定ノードと予想される。 iii) $b>2$のとき、$(2m\pi, 0)$は安定ノードとなる。 \[ \lambda = \frac{-b+\sqrt{b^2-4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -b+\sqrt{b^2-4} \end{pmatrix}, \\ \lambda = \frac{-b-\sqrt{b^2-4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -b-\sqrt{b^2-4} \end{pmatrix} \] これらの相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-26 09:36:21
	P.210の問題番号「6.6.11」に対する解答へのコメント系$\dot{\theta} = \cot \phi \cos \theta, \ \ \dot{\phi} = ( \cos^2 \phi + A \sin^2 \phi ) \sin \theta$ (a) 変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$のもとで $\dot{\theta} \to \dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to -\dot{\phi}, \ \ \cos \theta \to \cos \theta, \ \ \sin \theta \to -\sin \theta$ となるので、系はこの変換に対して不変である。また、変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$のもとで $\dot{\theta} \to -\dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to \dot{\phi}, \ \ \cot \phi \to -\cot \phi, \ \ \cos^2 \phi \to \cos^2 \phi, \ \ \sin^2 \phi \to \sin^2 \phi$ となるので、系はこの変換に対しても不変である。従って、この系は変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$と変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$の2通りの意味で可逆である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-23 05:30:35
	P.210の問題番号「6.6.11」に対する解答へのコメント系$\dot{\theta} = \cot \phi \cos \theta, \ \ \dot{\phi} = ( \cos^2 \phi + A \sin^2 \phi ) \sin \theta$ (a) 変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$のもとで $\dot{\theta} \to \dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to -\dot{\phi}, \ \ \cos \theta \to \cos \theta, \ \ \sin \theta \to -\sin \theta$ となるので、系はこの変換に対して不変である。また、変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$のもとで $\dot{\theta} \to -\dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to \dot{\phi}, \ \ \cot \phi \to -\cot \phi, \ \ \cos^2 \phi \to \cos^2 \phi, \ \ \sin^2 \phi \to \sin^2 \phi$ となるので、系はこの変換に対しても不変である。従って、この系は変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$と変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$の2通りの意味で可逆である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-23 05:29:31
	P.210の問題番号「6.6.11」に対する解答へのコメント系$\dot{\theta} = \cot \phi \cos \theta, \ \ \dot{\phi} = ( \cos^2 \phi + A \sin^2 \phi ) \sin \theta$ (a) 変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$のもとで $\dot{\theta} \to \dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to -\dot{\phi}, \ \ \cos \theta \to \cos \theta, \ \ \sin \theta \to -\sin \theta$ となるので、系はこの変換に対して不変である。また、変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$のもとで $\dot{\theta} \to -\dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to \dot{\phi}, \ \ \cot \phi \to -\cot \phi, \ \ \cos^2 \phi \to \cos^2 \phi, \ \ \sin^2 \phi \to \sin^2 \phi$ となるので、系はこの変換に対しても不変である。従って、この系は変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$と変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$の2通りの意味で可逆である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-23 05:25:51
	P.210の問題番号「6.6.11」に対する解答へのコメント系$\dot{\theta} = \cot \phi \cos \theta, \ \ \dot{\phi} = ( \cos^2 \phi + A \sin^2 \phi ) \sin \theta$ (a) 変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$のもとで $\dot{\theta} \to \dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to -\dot{\phi}, \ \ \cos \theta \to \cos \theta, \ \ \sin \theta \to -\sin \theta$ となるので、系はこの変換に対して不変である。また、変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$のもとで $\dot{\theta} \to -\dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to \dot{\phi}, \ \ \cot \phi \to -\cot \phi, \ \ \cos^2 \phi \to \cos^2 \phi, \ \ \sin^2 \phi \to \sin^2 \phi$ となるので、系はこの変換に対しても不変である。従って、この系は変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$と変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$の2通りの意味で可逆である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-23 05:24:36
	P.210の問題番号「6.6.11」に対する解答系$\dot{\theta} = \cot \phi \cos \theta, \ \ \dot{\phi} = ( \cos^2 \phi + A \sin^2 \phi ) \sin \theta$ (a) 変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$のもとで $\dot{\theta} \to \dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to -\dot{\phi}, \ \ \cos \theta \to \cos \theta, \ \ \sin \theta \to -\sin \theta$ となるので、系はこの変換に対して不変である。また、変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$のもとで $\dot{\theta} \to -\dot{\theta}, \ \ \dot{\phi} \to \dot{\phi}, \ \ \cot \phi \to -\cot \phi, \ \ \cos^2 \phi \to \cos^2 \phi, \ \ \sin^2 \phi \to \sin^2 \phi$ となるので、系はこの変換に対しても不変である。従って、この系は変換$t \to -t, \ \ \theta \to -\theta$と変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$の2通りの意味で可逆である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-23 05:22:16
	P.210の問題番号「6.6.10」に対する解答系$\dot{x} = -y -x^2, \ \ \dot{y}=x$ 原点のヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]で、これは$\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$をもつので、原点は線形なセンターである。さらに、方程式が変換$t \to -t, \ \ x \to -x$のもとで不変なので系は可逆である。定理6.6.1により原点は非線形なセンターである。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-12 12:08:41