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	P.208の問題番号「6.5.17」に対する解答系$mr \ddot{\phi} = -b \dot{\phi} -mg \sin \phi + mr \omega^2 \sin \phi \cos \phi$ $b=0$のとき、方程式の両辺に$\dot{\phi}$をかけて整理すると、 \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} m r \dot{\phi}^2 \right) = \frac{d}{dt} \left( mg \cos \phi - \frac{1}{4} m r \omega^2 \cos 2 \phi \right) \]となるので、保存量は \[ C = \frac{1}{2} m r \dot{\phi}^2 - mg \cos \phi + \frac{1}{4} m r \omega^2 \cos 2 \phi \]となる。この式の両辺に$r$をかけて整理すると、 \[ \begin{align} E &= rC - \frac{1}{4} m r^2 \omega^2 \\ &= \frac{1}{2} m r^2 \dot{\phi}^2 + \frac{1}{2} m r^2 \omega^2 \sin^2 \phi - mgr \cos \phi - m r^2 \omega^2 \cos 2 \phi \end{align} \]となる。この式の最初の2項はビーズの運動エネルギー、第3項は重力によるポテンシャルエネルギーとなる。第4項は、回転している輪が静止して見える座標系を考えたときに遠心力があたかも重力のように常にビーズにかかっている力とみなすことができるので、遠心力によるポテンシャルエネルギーと考えることができる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-21 05:21:48
	P.208の問題番号「6.5.16」に対する解答系$mr \ddot{\phi} = -b \dot{\phi} -mg \sin \phi + mr \omega^2 \sin \phi \cos \phi$ $b=0$で$\omega$が十分大きいとき、$\gamma = r \omega^2/g \gg 1$となり、演習問題6.5.15(b)で求めたように、 \[ \cos \phi^* = \gamma^{-1} \ll 1, \ \ 0< \phi^* < \pi \]すなわち、$\phi^* \approx \pi/2$として、$\pm \phi^$にセンターとなる安定な固定点の対称なペアをもつ。 $\phi^ \approx \pi/2$の周りで系の方程式は近似的に$\ddot{\phi} = - \omega^2 \phi$となり、この方程式の解は \[ \phi(t) = A \sin ( \omega t + \alpha ) \]（ここで$A, \ \alpha$は定数）となる。したがって、固定点まわりの小さな振動の振動数は近似的に$\omega$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-18 05:25:47
	P.208の問題番号「6.5.15」に対する解答へのコメント系$mr \ddot{\phi} = -b \dot{\phi} -mg \sin \phi + mr \omega^2 \sin \phi \cos \phi$ (a) $b=0$のとき、両辺を$mr \omega^2$で割ると、 \[ \frac{d^2 \phi}{d(\omega t )^2} = -\frac{g}{r \omega^2} \sin \phi + \sin \phi \cos \phi \]となる。$\tau = \omega t, \ \ \gamma = r \omega^2 / g$とおくと、 \[ \phi'' = \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) \]が得られる。 (b) $\phi' = \theta$とおくと、方程式は $ \phi' = \theta, \ \ \theta' = \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) $ とベクトル化できる。 i) $\gamma < 1$のとき、固定点は$(0,0), \ \ (\pi, 0 )$となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \cos 2 \phi - \gamma^{-1} \cos \phi & 0 \end{pmatrix} \]以下、固定点ごとに分類。 \[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - \gamma^{-1} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = \gamma^{-1}-1>0$となるので、センターと予想される。 \[ (\pi,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 + \gamma^{-1} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -(1+\gamma^{-1})<0$となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = \sqrt{1+\gamma^{-1}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{1+\gamma^{-1}} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -\sqrt{1+\gamma^{-1}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{1+\gamma^{-1}} \end{pmatrix} \]このときの相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-17 05:59:33
	P.208の問題番号「6.5.15」に対する解答系$mr \ddot{\phi} = -b \dot{\phi} -mg \sin \phi + mr \omega^2 \sin \phi \cos \phi$ (a) $b=0$のとき、両辺を$mr \omega^2$で割ると、 \[ \frac{d^2 \phi}{d(\omega t )^2} = -\frac{g}{r \omega^2} \sin \phi + \sin \phi \cos \phi \]となる。$\tau = \omega t, \ \ \gamma = r \omega^2 / g$とおくと、 \[ \phi'' = \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) \]が得られる。 (b) $\phi' = \theta$とおくと、方程式は $ \phi' = \theta, \ \ \theta' = \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) $ とベクトル化できる。 i) $\gamma < 1$のとき、固定点は$(0,0), \ \ (\pi, 0 )$となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \cos 2 \phi - \gamma^{-1} \cos \phi & 0 \end{pmatrix} \]以下、固定点ごとに分類。 \[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - \gamma^{-1} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = \gamma^{-1}-1>0$となるので、センターと予想される。 \[ (\pi,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 + \gamma^{-1} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -(1+\gamma^{-1})<0$となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = \sqrt{1+\gamma^{-1}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{1+\gamma^{-1}} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -\sqrt{1+\gamma^{-1}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{1+\gamma^{-1}} \end{pmatrix} \]このときの相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-17 05:56:03
	P.207の問題番号「6.5.14」に対する解答へのコメント系$\dot{v} = - \sin \theta - D v^2, \ \ v \dot{\theta} = - \cos \theta + v^2$ (a) $E= v^3 - 3 v \cos \theta$とおくと、$D=0$のとき、 \[ \begin{align} \frac{d E}{dt} &= \frac{\partial E}{\partial v} \dot{v} + \frac{\partial E}{\partial \theta} \dot{\theta} \\ &= (3 v^2 - 3 \cos \theta)( - \sin \theta ) + 3 v \sin \theta \frac{1}{v} ( - \cos \theta + v^2 ) \\ &= -3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) + 3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) \\ &= 0 \end{align} \]となる。したがって、$v^3 - 3 v \cos \theta$は保存量となる。 $D=0$のとき、この系の固定点は$(1, 2 \pi n)$($n$は整数）となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 2>0$となるので、センターと予想される。この系の相図およびグライダーの飛行経路は添付図のようになる。特徴として、保存量$v^3 - 3v \cos \theta$が$0$となる軌道を境にして飛行経路が変化する。 i) $v^3 - 3v \cos \theta < 0$のとき、相図上の軌道は閉じている。このとき、グライダの飛行経路は上下動はだんだん激しくさせながらも、少しずつ前に進んでいく。 ii) $v^3 - 3v \cos \theta > 0$のとき、相図上の軌道は$\theta$方向に周期的なものになる。このとき、グライダの飛行経路は初期位置を中心にスパイラル軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-15 08:35:28
	P.207の問題番号「6.5.14」に対する解答へのコメント系$\dot{v} = - \sin \theta - D v^2, \ \ v \dot{\theta} = - \cos \theta + v^2$ (a) $E= v^3 - 3 v \cos \theta$とおくと、$D=0$のとき、 \[ \begin{align} \frac{d E}{dt} &= \frac{\partial E}{\partial v} \dot{v} + \frac{\partial E}{\partial \theta} \dot{\theta} \\ &= (3 v^2 - 3 \cos \theta)( - \sin \theta ) + 3 v \sin \theta \frac{1}{v} ( - \cos \theta + v^2 ) \\ &= -3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) + 3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) \\ &= 0 \end{align} \]となる。したがって、$v^3 - 3 v \cos \theta$は保存量となる。 $D=0$のとき、この系の固定点は$(1, 2 \pi n)$($n$は整数）となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 2>0$となるので、センターと予想される。この系の相図およびグライダーの飛行経路は添付図のようになる。特徴として、保存量$v^3 - 3v \cos \theta$が$0$となる軌道を境にして飛行経路が変化する。 i) $v^3 - 3v \cos \theta < 0$のとき、相図上の軌道は閉じている。このとき、グライダの飛行経路は上下動はだんだん激しくさせながらも、少しずつ前に進んでいく。 ii) $v^3 - 3v \cos \theta > 0$のとき、相図上の軌道は$\theta$方向に周期的なものになる。このとき、グライダの飛行経路は初期位置を中心にスパイラル軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-15 08:32:48
	P.207の問題番号「6.5.14」に対する解答へのコメント系$\dot{v} = - \sin \theta - D v^2, \ \ v \dot{\theta} = - \cos \theta + v^2$ (a) $E= v^3 - 3 v \cos \theta$とおくと、$D=0$のとき、 \[ \begin{align} \frac{d E}{dt} &= \frac{\partial E}{\partial v} \dot{v} + \frac{\partial E}{\partial \theta} \dot{\theta} \\ &= (3 v^2 - 3 \cos \theta)( - \sin \theta ) + 3 v \sin \theta \frac{1}{v} ( - \cos \theta + v^2 ) \\ &= -3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) + 3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) \\ &= 0 \end{align} \]となる。したがって、$v^3 - 3 v \cos \theta$は保存量となる。 $D=0$のとき、この系の固定点は$(1, 2 \pi n)$($n$は整数）となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 2>0$となるので、センターと予想される。この系の相図およびグライダーの飛行経路は添付図のようになる。特徴として、保存量$v^3 - 3v \cos \theta$が$0$となる軌道を境にして飛行経路が変化する。 i) $v^3 - 3v \cos \theta < 0$のとき、相図上の軌道は閉じている。このとき、グライダの飛行経路は上下動はだんだん激しくさせながらも、少しずつ前に進んでいく。 ii) $v^3 - 3v \cos \theta > 0$のとき、相図上の軌道は$\theta$方向に周期的なものになる。このとき、グライダの飛行経路は初期位置を中心にスパイラル軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-15 08:28:25
	P.207の問題番号「6.5.14」に対する解答へのコメント系$\dot{v} = - \sin \theta - D v^2, \ \ v \dot{\theta} = - \cos \theta + v^2$ (a) $E= v^3 - 3 v \cos \theta$とおくと、$D=0$のとき、 \[ \begin{align} \frac{d E}{dt} &= \frac{\partial E}{\partial v} \dot{v} + \frac{\partial E}{\partial \theta} \dot{\theta} \\ &= (3 v^2 - 3 \cos \theta)( - \sin \theta ) + 3 v \sin \theta \frac{1}{v} ( - \cos \theta + v^2 ) \\ &= -3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) + 3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) \\ &= 0 \end{align} \]となる。したがって、$v^3 - 3 v \cos \theta$は保存量となる。 $D=0$のとき、この系の固定点は$(1, 2 \pi n)$($n$は整数）となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 2>0$となるので、センターと予想される。この系の相図およびグライダーの飛行経路は添付図のようになる。特徴として、保存量$v^3 - 3v \cos \theta$が$0$となる軌道を境にして飛行経路が変化する。 i) $v^3 - 3v \cos \theta < 0$のとき、相図上の軌道は閉じている。このとき、グライダの飛行経路は上下動はだんだん激しくさせながらも、少しずつ前に進んでいく。 ii) $v^3 - 3v \cos \theta > 0$のとき、相図上の軌道は$\theta$方向に周期的なものになる。このとき、グライダの飛行経路は初期位置を中心にスパイラル軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-14 11:35:37
	P.207の問題番号「6.5.14」に対する解答へのコメント系$\dot{v} = - \sin \theta - D v^2, \ \ v \dot{\theta} = - \cos \theta + v^2$ (a) $E= v^3 - 3 v \cos \theta$とおくと、$D=0$のとき、 \[ \begin{align} \frac{d E}{dt} &= \frac{\partial E}{\partial v} \dot{v} + \frac{\partial E}{\partial \theta} \dot{\theta} \\ &= (3 v^2 - 3 \cos \theta)( - \sin \theta ) + 3 v \sin \theta \frac{1}{v} ( - \cos \theta + v^2 ) \\ &= -3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) + 3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) \\ &= 0 \end{align} \]となる。したがって、$v^3 - 3 v \cos \theta$は保存量となる。 $D=0$のとき、この系の固定点は$(1, 2 \pi n)$($n$は整数）となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 2>0$となるので、センターと予想される。この系の相図およびグライダーの飛行経路は添付図のようになる。特徴として、保存量$v^3 - 3v \cos \theta$が$0$となる軌道を境にして飛行経路が変化する。 i) $v^3 - 3v \cos \theta < 0$のとき、相図上の軌道は閉じている。このとき、グライダの飛行経路は上下動はだんだん激しくさせながらも、少しずつ前に進んでいく。 ii) $v^3 - 3v \cos \theta > 0$のとき、相図上の軌道は$\theta$方向に周期的なものになる。このとき、グライダの飛行経路は初期位置を中心にスパイラル軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-14 11:33:34
	P.207の問題番号「6.5.14」に対する解答系$\dot{v} = - \sin \theta - D v^2, \ \ v \dot{\theta} = - \cos \theta + v^2$ (a) $E= v^3 - 3 v \cos \theta$とおくと、$D=0$のとき、 \[ \begin{align} \frac{d E}{dt} &= \frac{\partial E}{\partial v} \dot{v} + \frac{\partial E}{\partial \theta} \dot{\theta} \\ &= (3 v^2 - 3 \cos \theta)( - \sin \theta ) + 3 v \sin \theta \frac{1}{v} ( - \cos \theta + v^2 ) \\ &= -3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) + 3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) \\ &= 0 \end{align} \]となる。したがって、$v^3 - 3 v \cos \theta$は保存量となる。 $D=0$のとき、この系の固定点は$(1, 2 \pi n)$($n$は整数）となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 2>0$となるので、センターと予想される。この系の相図およびグライダーの飛行経路は添付図のようになる。特徴として、保存量$v^3 - 3v \cos \theta$が$0$となる軌道を境にして飛行経路が変化する。 i) $v^3 - 3v \cos \theta < 0$のとき、相図上の軌道は閉じている。このとき、グライダの飛行経路は上下動はだんだん激しくさせながらも、少しずつ前に進んでいく。 ii) $v^3 - 3v \cos \theta > 0$のとき、相図上の軌道は$\theta$方向に周期的なものになる。このとき、グライダの飛行経路は初期位置を中心にスパイラル軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-14 11:28:59

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2022年7月に紹介された本(詳細)

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(2022-04-01 04:34:01)

2022年2月に紹介された本(詳細)

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2021年11月に紹介された本(詳細)

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	P.208の問題番号「6.5.17」に対する解答系$mr \ddot{\phi} = -b \dot{\phi} -mg \sin \phi + mr \omega^2 \sin \phi \cos \phi$ $b=0$のとき、方程式の両辺に$\dot{\phi}$をかけて整理すると、 \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} m r \dot{\phi}^2 \right) = \frac{d}{dt} \left( mg \cos \phi - \frac{1}{4} m r \omega^2 \cos 2 \phi \right) \]となるので、保存量は \[ C = \frac{1}{2} m r \dot{\phi}^2 - mg \cos \phi + \frac{1}{4} m r \omega^2 \cos 2 \phi \]となる。この式の両辺に$r$をかけて整理すると、 \[ \begin{align} E &= rC - \frac{1}{4} m r^2 \omega^2 \\ &= \frac{1}{2} m r^2 \dot{\phi}^2 + \frac{1}{2} m r^2 \omega^2 \sin^2 \phi - mgr \cos \phi - m r^2 \omega^2 \cos 2 \phi \end{align} \]となる。この式の最初の2項はビーズの運動エネルギー、第3項は重力によるポテンシャルエネルギーとなる。第4項は、回転している輪が静止して見える座標系を考えたときに遠心力があたかも重力のように常にビーズにかかっている力とみなすことができるので、遠心力によるポテンシャルエネルギーと考えることができる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-21 05:21:48
	P.208の問題番号「6.5.16」に対する解答系$mr \ddot{\phi} = -b \dot{\phi} -mg \sin \phi + mr \omega^2 \sin \phi \cos \phi$ $b=0$で$\omega$が十分大きいとき、$\gamma = r \omega^2/g \gg 1$となり、演習問題6.5.15(b)で求めたように、 \[ \cos \phi^* = \gamma^{-1} \ll 1, \ \ 0< \phi^* < \pi \]すなわち、$\phi^* \approx \pi/2$として、$\pm \phi^$にセンターとなる安定な固定点の対称なペアをもつ。 $\phi^ \approx \pi/2$の周りで系の方程式は近似的に$\ddot{\phi} = - \omega^2 \phi$となり、この方程式の解は \[ \phi(t) = A \sin ( \omega t + \alpha ) \]（ここで$A, \ \alpha$は定数）となる。したがって、固定点まわりの小さな振動の振動数は近似的に$\omega$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-18 05:25:47
	P.208の問題番号「6.5.15」に対する解答へのコメント系$mr \ddot{\phi} = -b \dot{\phi} -mg \sin \phi + mr \omega^2 \sin \phi \cos \phi$ (a) $b=0$のとき、両辺を$mr \omega^2$で割ると、 \[ \frac{d^2 \phi}{d(\omega t )^2} = -\frac{g}{r \omega^2} \sin \phi + \sin \phi \cos \phi \]となる。$\tau = \omega t, \ \ \gamma = r \omega^2 / g$とおくと、 \[ \phi'' = \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) \]が得られる。 (b) $\phi' = \theta$とおくと、方程式は $ \phi' = \theta, \ \ \theta' = \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) $ とベクトル化できる。 i) $\gamma < 1$のとき、固定点は$(0,0), \ \ (\pi, 0 )$となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \cos 2 \phi - \gamma^{-1} \cos \phi & 0 \end{pmatrix} \]以下、固定点ごとに分類。 \[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - \gamma^{-1} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = \gamma^{-1}-1>0$となるので、センターと予想される。 \[ (\pi,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 + \gamma^{-1} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -(1+\gamma^{-1})<0$となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = \sqrt{1+\gamma^{-1}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{1+\gamma^{-1}} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -\sqrt{1+\gamma^{-1}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{1+\gamma^{-1}} \end{pmatrix} \]このときの相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-17 05:59:33
	P.208の問題番号「6.5.15」に対する解答系$mr \ddot{\phi} = -b \dot{\phi} -mg \sin \phi + mr \omega^2 \sin \phi \cos \phi$ (a) $b=0$のとき、両辺を$mr \omega^2$で割ると、 \[ \frac{d^2 \phi}{d(\omega t )^2} = -\frac{g}{r \omega^2} \sin \phi + \sin \phi \cos \phi \]となる。$\tau = \omega t, \ \ \gamma = r \omega^2 / g$とおくと、 \[ \phi'' = \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) \]が得られる。 (b) $\phi' = \theta$とおくと、方程式は $ \phi' = \theta, \ \ \theta' = \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) $ とベクトル化できる。 i) $\gamma < 1$のとき、固定点は$(0,0), \ \ (\pi, 0 )$となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \cos 2 \phi - \gamma^{-1} \cos \phi & 0 \end{pmatrix} \]以下、固定点ごとに分類。 \[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - \gamma^{-1} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = \gamma^{-1}-1>0$となるので、センターと予想される。 \[ (\pi,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 + \gamma^{-1} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -(1+\gamma^{-1})<0$となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = \sqrt{1+\gamma^{-1}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{1+\gamma^{-1}} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -\sqrt{1+\gamma^{-1}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{1+\gamma^{-1}} \end{pmatrix} \]このときの相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-17 05:56:03
	P.207の問題番号「6.5.14」に対する解答へのコメント系$\dot{v} = - \sin \theta - D v^2, \ \ v \dot{\theta} = - \cos \theta + v^2$ (a) $E= v^3 - 3 v \cos \theta$とおくと、$D=0$のとき、 \[ \begin{align} \frac{d E}{dt} &= \frac{\partial E}{\partial v} \dot{v} + \frac{\partial E}{\partial \theta} \dot{\theta} \\ &= (3 v^2 - 3 \cos \theta)( - \sin \theta ) + 3 v \sin \theta \frac{1}{v} ( - \cos \theta + v^2 ) \\ &= -3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) + 3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) \\ &= 0 \end{align} \]となる。したがって、$v^3 - 3 v \cos \theta$は保存量となる。 $D=0$のとき、この系の固定点は$(1, 2 \pi n)$($n$は整数）となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 2>0$となるので、センターと予想される。この系の相図およびグライダーの飛行経路は添付図のようになる。特徴として、保存量$v^3 - 3v \cos \theta$が$0$となる軌道を境にして飛行経路が変化する。 i) $v^3 - 3v \cos \theta < 0$のとき、相図上の軌道は閉じている。このとき、グライダの飛行経路は上下動はだんだん激しくさせながらも、少しずつ前に進んでいく。 ii) $v^3 - 3v \cos \theta > 0$のとき、相図上の軌道は$\theta$方向に周期的なものになる。このとき、グライダの飛行経路は初期位置を中心にスパイラル軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-15 08:35:28
	P.207の問題番号「6.5.14」に対する解答へのコメント系$\dot{v} = - \sin \theta - D v^2, \ \ v \dot{\theta} = - \cos \theta + v^2$ (a) $E= v^3 - 3 v \cos \theta$とおくと、$D=0$のとき、 \[ \begin{align} \frac{d E}{dt} &= \frac{\partial E}{\partial v} \dot{v} + \frac{\partial E}{\partial \theta} \dot{\theta} \\ &= (3 v^2 - 3 \cos \theta)( - \sin \theta ) + 3 v \sin \theta \frac{1}{v} ( - \cos \theta + v^2 ) \\ &= -3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) + 3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) \\ &= 0 \end{align} \]となる。したがって、$v^3 - 3 v \cos \theta$は保存量となる。 $D=0$のとき、この系の固定点は$(1, 2 \pi n)$($n$は整数）となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 2>0$となるので、センターと予想される。この系の相図およびグライダーの飛行経路は添付図のようになる。特徴として、保存量$v^3 - 3v \cos \theta$が$0$となる軌道を境にして飛行経路が変化する。 i) $v^3 - 3v \cos \theta < 0$のとき、相図上の軌道は閉じている。このとき、グライダの飛行経路は上下動はだんだん激しくさせながらも、少しずつ前に進んでいく。 ii) $v^3 - 3v \cos \theta > 0$のとき、相図上の軌道は$\theta$方向に周期的なものになる。このとき、グライダの飛行経路は初期位置を中心にスパイラル軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-15 08:32:48
	P.207の問題番号「6.5.14」に対する解答へのコメント系$\dot{v} = - \sin \theta - D v^2, \ \ v \dot{\theta} = - \cos \theta + v^2$ (a) $E= v^3 - 3 v \cos \theta$とおくと、$D=0$のとき、 \[ \begin{align} \frac{d E}{dt} &= \frac{\partial E}{\partial v} \dot{v} + \frac{\partial E}{\partial \theta} \dot{\theta} \\ &= (3 v^2 - 3 \cos \theta)( - \sin \theta ) + 3 v \sin \theta \frac{1}{v} ( - \cos \theta + v^2 ) \\ &= -3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) + 3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) \\ &= 0 \end{align} \]となる。したがって、$v^3 - 3 v \cos \theta$は保存量となる。 $D=0$のとき、この系の固定点は$(1, 2 \pi n)$($n$は整数）となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 2>0$となるので、センターと予想される。この系の相図およびグライダーの飛行経路は添付図のようになる。特徴として、保存量$v^3 - 3v \cos \theta$が$0$となる軌道を境にして飛行経路が変化する。 i) $v^3 - 3v \cos \theta < 0$のとき、相図上の軌道は閉じている。このとき、グライダの飛行経路は上下動はだんだん激しくさせながらも、少しずつ前に進んでいく。 ii) $v^3 - 3v \cos \theta > 0$のとき、相図上の軌道は$\theta$方向に周期的なものになる。このとき、グライダの飛行経路は初期位置を中心にスパイラル軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-15 08:28:25
	P.207の問題番号「6.5.14」に対する解答へのコメント系$\dot{v} = - \sin \theta - D v^2, \ \ v \dot{\theta} = - \cos \theta + v^2$ (a) $E= v^3 - 3 v \cos \theta$とおくと、$D=0$のとき、 \[ \begin{align} \frac{d E}{dt} &= \frac{\partial E}{\partial v} \dot{v} + \frac{\partial E}{\partial \theta} \dot{\theta} \\ &= (3 v^2 - 3 \cos \theta)( - \sin \theta ) + 3 v \sin \theta \frac{1}{v} ( - \cos \theta + v^2 ) \\ &= -3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) + 3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) \\ &= 0 \end{align} \]となる。したがって、$v^3 - 3 v \cos \theta$は保存量となる。 $D=0$のとき、この系の固定点は$(1, 2 \pi n)$($n$は整数）となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 2>0$となるので、センターと予想される。この系の相図およびグライダーの飛行経路は添付図のようになる。特徴として、保存量$v^3 - 3v \cos \theta$が$0$となる軌道を境にして飛行経路が変化する。 i) $v^3 - 3v \cos \theta < 0$のとき、相図上の軌道は閉じている。このとき、グライダの飛行経路は上下動はだんだん激しくさせながらも、少しずつ前に進んでいく。 ii) $v^3 - 3v \cos \theta > 0$のとき、相図上の軌道は$\theta$方向に周期的なものになる。このとき、グライダの飛行経路は初期位置を中心にスパイラル軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-14 11:35:37
	P.207の問題番号「6.5.14」に対する解答へのコメント系$\dot{v} = - \sin \theta - D v^2, \ \ v \dot{\theta} = - \cos \theta + v^2$ (a) $E= v^3 - 3 v \cos \theta$とおくと、$D=0$のとき、 \[ \begin{align} \frac{d E}{dt} &= \frac{\partial E}{\partial v} \dot{v} + \frac{\partial E}{\partial \theta} \dot{\theta} \\ &= (3 v^2 - 3 \cos \theta)( - \sin \theta ) + 3 v \sin \theta \frac{1}{v} ( - \cos \theta + v^2 ) \\ &= -3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) + 3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) \\ &= 0 \end{align} \]となる。したがって、$v^3 - 3 v \cos \theta$は保存量となる。 $D=0$のとき、この系の固定点は$(1, 2 \pi n)$($n$は整数）となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 2>0$となるので、センターと予想される。この系の相図およびグライダーの飛行経路は添付図のようになる。特徴として、保存量$v^3 - 3v \cos \theta$が$0$となる軌道を境にして飛行経路が変化する。 i) $v^3 - 3v \cos \theta < 0$のとき、相図上の軌道は閉じている。このとき、グライダの飛行経路は上下動はだんだん激しくさせながらも、少しずつ前に進んでいく。 ii) $v^3 - 3v \cos \theta > 0$のとき、相図上の軌道は$\theta$方向に周期的なものになる。このとき、グライダの飛行経路は初期位置を中心にスパイラル軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-14 11:33:34
	P.207の問題番号「6.5.14」に対する解答系$\dot{v} = - \sin \theta - D v^2, \ \ v \dot{\theta} = - \cos \theta + v^2$ (a) $E= v^3 - 3 v \cos \theta$とおくと、$D=0$のとき、 \[ \begin{align} \frac{d E}{dt} &= \frac{\partial E}{\partial v} \dot{v} + \frac{\partial E}{\partial \theta} \dot{\theta} \\ &= (3 v^2 - 3 \cos \theta)( - \sin \theta ) + 3 v \sin \theta \frac{1}{v} ( - \cos \theta + v^2 ) \\ &= -3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) + 3 \sin \theta ( -\cos \theta + v^2 ) \\ &= 0 \end{align} \]となる。したがって、$v^3 - 3 v \cos \theta$は保存量となる。 $D=0$のとき、この系の固定点は$(1, 2 \pi n)$($n$は整数）となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 2>0$となるので、センターと予想される。この系の相図およびグライダーの飛行経路は添付図のようになる。特徴として、保存量$v^3 - 3v \cos \theta$が$0$となる軌道を境にして飛行経路が変化する。 i) $v^3 - 3v \cos \theta < 0$のとき、相図上の軌道は閉じている。このとき、グライダの飛行経路は上下動はだんだん激しくさせながらも、少しずつ前に進んでいく。 ii) $v^3 - 3v \cos \theta > 0$のとき、相図上の軌道は$\theta$方向に周期的なものになる。このとき、グライダの飛行経路は初期位置を中心にスパイラル軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-14 11:28:59