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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.7」 に対する解答へのコメント

レート方程式
\[ \dot{n}_1 = G_1 N n_1 - k_1 n_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 \alpha_1 n_1^2 - G_1 \alpha_2 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = G_2 N n_2 - k_2 n_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 \alpha_1 n_1 n_2 - G_2 \alpha_2 n_2^2 \]まず、$\alpha_1 n_1 \to n_1, \ \ \alpha_2 n_2 \to n_2$と置き換えてもその性質は変わらない。
\[ \dot{n}_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 n_1^2 - G_1 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 n_1 n_2 - G_2 n_2^2 \]
(a) この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 -2G_1 n_1 - G_1 n_2 & -G_1 n_1 \\ -G_2 n_2 & G_2 N_0 -k_2 - G_2 n_1 -2 G_2 n_2 \end{pmatrix} \]で、固定点$(0,0)$に対するヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 & 0 \\ 0 & G_2 N_0 -k_2 \end{pmatrix} \]となる。したがって、
i) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、不安定ノード。
ii) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、サドル点。
iii) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、サドル点。
iv) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、安定ノード。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-24 10:39:26

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.7」 に対する解答へのコメント

レート方程式
\[ \dot{n}_1 = G_1 N n_1 - k_1 n_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 \alpha_1 n_1^2 - G_1 \alpha_2 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = G_2 N n_2 - k_2 n_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 \alpha_1 n_1 n_2 - G_2 \alpha_2 n_2^2 \]まず、$\alpha_1 n_1 \to n_1, \ \ \alpha_2 n_2 \to n_2$と置き換えてもその性質は変わらない。
\[ \dot{n}_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 n_1^2 - G_1 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 n_1 n_2 - G_2 n_2^2 \]
(a) この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 -2G_1 n_1 - G_1 n_2 & -G_1 n_1 \\ -G_2 n_2 & G_2 N_0 -k_2 - G_2 n_1 -2 G_2 n_2 \end{pmatrix} \]で、固定点$(0,0)$に対するヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 & 0 \\ 0 & G_2 N_0 -k_2 \end{pmatrix} \]となる。したがって、
i) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、不安定ノード。
ii) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、サドル点。
iii) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、サドル点。
iv) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、安定ノード。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-24 10:36:59

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.7」 に対する解答

レート方程式
\[ \dot{n}_1 = G_1 N n_1 - k_1 n_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 \alpha_1 n_1^2 - G_1 \alpha_2 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = G_2 N n_2 - k_2 n_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 \alpha_1 n_1 n_2 - G_2 \alpha_2 n_2^2 \]まず、$\alpha_1 n_1 \to n_1, \ \ \alpha_2 n_2 \to n_2$と置き換えてもその性質は変わらない。
\[ \dot{n}_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 n_1^2 - G_1 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 n_1 n_2 - G_2 n_2^2 \]
(a) この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 -2G_1 n_1 - G_1 n_2 & -G_1 n_1 \\ -G_2 n_2 & G_2 N_0 -k_2 - G_2 n_1 -2 G_2 n_2 \end{pmatrix} \]で、固定点$(0,0)$に対するヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 & 0 \\ 0 & G_2 N_0 -k_2 \end{pmatrix} \]となる。したがって、
i) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、不安定ノード。
ii) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、サドル点。
iii) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、サドル点。
iv) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、安定ノード。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-24 10:30:51

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.6」 に対する解答へのコメント

$ \dot{N_1} = r_1 N_1(1-N_1/K_1) -b_1 N_1 N_2, \ \ \dot{N_2} = r_2 N_2(1-N_2/K_2) -b_2 N_1 N_2 $
(a) $N_1, \ N_2, \ t$を
\[ N_1 = \frac{r_1}{b_2} x, \ \ N_2 = \frac{r_1}{b_1} y, \ \ t = \frac{1}{r_1} \tau \]とリスケールすると、
\[ x' = x (1-x/k_1-y), \ \ y' = y ( \rho - x -y/k_2 ) \]となる。ここで、$\rho = r_2/r_1, \ \ k_1 = b_2 K_1/r_1, \ \ k_1 = b_1 K_2/r_2$とおいた。
したがって、無次元量は３つ必要となる。

(b) ヌルクラインを描くことで、4つの定性的に異なる相図があることがわかる。
i) $k_1 < \rho, \ \ k_2 \rho < 1$のとき
この系の固定点は$(0,0), \ \ (k_1,0), \ \ (0,k_2 \rho), \ \ ( k_1(1 - k_2 \rho)/(1-k_1 k_2), k_2(\rho-k_1)/(1-k_1 k_2)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 1-2x/k_1 - y & -x \\ -y & \rho - x - 2y/k_2 \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1+\rho > 0, \ \ \Delta = \rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (1-\rho)^2 \geq 0$となるので、不安定ノードまたは不安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (k_1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & -k_1 \\ 0 & \rho - k_1 \end{pmatrix} \] $\tau = \rho-k_1-1, \ \ \Delta = k_1-\rho < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho-k_1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} k_1 \\ k_1-\rho-1 \end{pmatrix} \]
\[ (0,k_2 \rho) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1-k_2 \rho & 0 \\ -k_2 \rho & -\rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1-k_2 \rho-\rho, \ \ \Delta = - \rho (1-k_2 \rho ) < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = 1 - k_2 \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} \rho + 1 \\ -k_2 \rho \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-21 05:29:21

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.6」 に対する解答へのコメント

$ \dot{N_1} = r_1 N_1(1-N_1/K_1) -b_1 N_1 N_2, \ \ \dot{N_2} = r_2 N_2(1-N_2/K_2) -b_2 N_1 N_2 $
(a) $N_1, \ N_2, \ t$を
\[ N_1 = \frac{r_1}{b_2} x, \ \ N_2 = \frac{r_1}{b_1} y, \ \ t = \frac{1}{r_1} \tau \]とリスケールすると、
\[ x' = x (1-x/k_1-y), \ \ y' = y ( \rho - x -y/k_2 ) \]となる。ここで、$\rho = r_2/r_1, \ \ k_1 = b_2 K_1/r_1, \ \ k_1 = b_1 K_2/r_2$とおいた。
したがって、無次元量は３つ必要となる。

(b) ヌルクラインを描くことで、4つの定性的に異なる相図があることがわかる。
i) $k_1 < \rho, \ \ k_2 \rho < 1$のとき
この系の固定点は$(0,0), \ \ (k_1,0), \ \ (0,k_2 \rho), \ \ ( k_1(1 - k_2 \rho)/(1-k_1 k_2), k_2(\rho-k_1)/(1-k_1 k_2)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 1-2x/k_1 - y & -x \\ -y & \rho - x - 2y/k_2 \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1+\rho > 0, \ \ \Delta = \rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (1-\rho)^2 \geq 0$となるので、不安定ノードまたは不安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (k_1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & -k_1 \\ 0 & \rho - k_1 \end{pmatrix} \] $\tau = \rho-k_1-1, \ \ \Delta = k_1-\rho < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho-k_1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} k_1 \\ k_1-\rho-1 \end{pmatrix} \]
\[ (0,k_2 \rho) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1-k_2 \rho & 0 \\ -k_2 \rho & -\rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1-k_2 \rho-\rho, \ \ \Delta = - \rho (1-k_2 \rho ) < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = 1 - k_2 \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} \rho + 1 \\ -k_2 \rho \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-21 05:23:45

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.6」 に対する解答へのコメント

$ \dot{N_1} = r_1 N_1(1-N_1/K_1) -b_1 N_1 N_2, \ \ \dot{N_2} = r_2 N_2(1-N_2/K_2) -b_2 N_1 N_2 $
(a) $N_1, \ N_2, \ t$を
\[ N_1 = \frac{r_1}{b_2} x, \ \ N_2 = \frac{r_1}{b_1} y, \ \ t = \frac{1}{r_1} \tau \]とリスケールすると、
\[ x' = x (1-x/k_1-y), \ \ y' = y ( \rho - x -y/k_2 ) \]となる。ここで、$\rho = r_2/r_1, \ \ k_1 = b_2 K_1/r_1, \ \ k_1 = b_1 K_2/r_2$とおいた。
したがって、無次元量は３つ必要となる。

(b) ヌルクラインを描くことで、4つの定性的に異なる相図があることがわかる。
i) $k_1 < \rho, \ \ k_2 \rho < 1$のとき
この系の固定点は$(0,0), \ \ (k_1,0), \ \ (0,k_2 \rho), \ \ ( k_1(1 - k_2 \rho)/(1-k_1 k_2), k_2(\rho-k_1)/(1-k_1 k_2)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 1-2x/k_1 - y & -x \\ -y & \rho - x - 2y/k_2 \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1+\rho > 0, \ \ \Delta = \rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (1-\rho)^2 \geq 0$となるので、不安定ノードまたは不安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (k_1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & -k_1 \\ 0 & \rho - k_1 \end{pmatrix} \] $\tau = \rho-k_1-1, \ \ \Delta = k_1-\rho < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho-k_1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} k_1 \\ k_1-\rho-1 \end{pmatrix} \]
\[ (0,k_2 \rho) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1-k_2 \rho & 0 \\ -k_2 \rho & -\rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1-k_2 \rho-\rho, \ \ \Delta = - \rho (1-k_2 \rho ) < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = 1 - k_2 \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} \rho + 1 \\ -k_2 \rho \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-21 05:20:19

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.6」 に対する解答へのコメント

$ \dot{N_1} = r_1 N_1(1-N_1/K_1) -b_1 N_1 N_2, \ \ \dot{N_2} = r_2 N_2(1-N_2/K_2) -b_2 N_1 N_2 $
(a) $N_1, \ N_2, \ t$を
\[ N_1 = \frac{r_1}{b_2} x, \ \ N_2 = \frac{r_1}{b_1} y, \ \ t = \frac{1}{r_1} \tau \]とリスケールすると、
\[ x' = x (1-x/k_1-y), \ \ y' = y ( \rho - x -y/k_2 ) \]となる。ここで、$\rho = r_2/r_1, \ \ k_1 = b_2 K_1/r_1, \ \ k_1 = b_1 K_2/r_2$とおいた。
したがって、無次元量は３つ必要となる。

(b) ヌルクラインを描くことで、4つの定性的に異なる相図があることがわかる。
i) $k_1 < \rho, \ \ k_2 \rho < 1$のとき
この系の固定点は$(0,0), \ \ (k_1,0), \ \ (0,k_2 \rho), \ \ ( k_1(1 - k_2 \rho)/(1-k_1 k_2), k_2(\rho-k_1)/(1-k_1 k_2)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 1-2x/k_1 - y & -x \\ -y & \rho - x - 2y/k_2 \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1+\rho > 0, \ \ \Delta = \rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (1-\rho)^2 \geq 0$となるので、不安定ノードまたは不安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (k_1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & -k_1 \\ 0 & \rho - k_1 \end{pmatrix} \] $\tau = \rho-k_1-1, \ \ \Delta = k_1-\rho < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho-k_1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} k_1 \\ k_1-\rho-1 \end{pmatrix} \]
\[ (0,k_2 \rho) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1-k_2 \rho & 0 \\ -k_2 \rho & -\rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1-k_2 \rho-\rho, \ \ \Delta = - \rho (1-k_2 \rho ) < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = 1 - k_2 \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} \rho + 1 \\ -k_2 \rho \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-21 05:17:51

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.6」 に対する解答へのコメント

$ \dot{N_1} = r_1 N_1(1-N_1/K_1) -b_1 N_1 N_2, \ \ \dot{N_2} = r_2 N_2(1-N_2/K_2) -b_2 N_1 N_2 $
(a) $N_1, \ N_2, \ t$を
\[ N_1 = \frac{r_1}{b_2} x, \ \ N_2 = \frac{r_1}{b_1} y, \ \ t = \frac{1}{r_1} \tau \]とリスケールすると、
\[ x' = x (1-x/k_1-y), \ \ y' = y ( \rho - x -y/k_2 ) \]となる。ここで、$\rho = r_2/r_1, \ \ k_1 = b_2 K_1/r_1, \ \ k_1 = b_1 K_2/r_2$とおいた。
したがって、無次元量は３つ必要となる。

(b) ヌルクラインを描くことで、4つの定性的に異なる相図があることがわかる。
i) $k_1 < \rho, \ \ k_2 \rho < 1$のとき
この系の固定点は$(0,0), \ \ (k_1,0), \ \ (0,k_2 \rho), \ \ ( k_1(1 - k_2 \rho)/(1-k_1 k_2), k_2(\rho-k_1)/(1-k_1 k_2)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 1-2x/k_1 - y & -x \\ -y & \rho - x - 2y/k_2 \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1+\rho > 0, \ \ \Delta = \rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (1-\rho)^2 \geq 0$となるので、不安定ノードまたは不安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (k_1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & -k_1 \\ 0 & \rho - k_1 \end{pmatrix} \] $\tau = \rho-k_1-1, \ \ \Delta = k_1-\rho < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho-k_1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} k_1 \\ k_1-\rho-1 \end{pmatrix} \]
\[ (0,k_2 \rho) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1-k_2 \rho & 0 \\ -k_2 \rho & -\rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1-k_2 \rho-\rho, \ \ \Delta = - \rho (1-k_2 \rho ) < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = 1 - k_2 \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} \rho + 1 \\ -k_2 \rho \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-21 05:14:47

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.6」 に対する解答

$ \dot{N_1} = r_1 N_1(1-N_1/K_1) -b_1 N_1 N_2, \ \ \dot{N_2} = r_2 N_2(1-N_2/K_2) -b_2 N_1 N_2 $
(a) $N_1, \ N_2, \ t$を
\[ N_1 = \frac{r_1}{b_2} x, \ \ N_2 = \frac{r_1}{b_1} y, \ \ t = \frac{1}{r_1} \tau \]とリスケールすると、
\[ x' = x (1-x/k_1-y), \ \ y' = y ( \rho - x -y/k_2 ) \]となる。ここで、$\rho = r_2/r_1, \ \ k_1 = b_2 K_1/r_1, \ \ k_1 = b_1 K_2/r_2$とおいた。
したがって、無次元量は３つ必要となる。

(b) ヌルクラインを描くことで、4つの定性的に異なる相図があることがわかる。
i) $k_1 < \rho, \ \ k_2 \rho < 1$のとき
この系の固定点は$(0,0), \ \ (k_1,0), \ \ (0,k_2 \rho), \ \ ( k_1(1 - k_2 \rho)/(1-k_1 k_2), k_2(\rho-k_1)/(1-k_1 k_2)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 1-2x/k_1 - y & -x \\ -y & \rho - x - 2y/k_2 \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1+\rho > 0, \ \ \Delta = \rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (1-\rho)^2 \geq 0$となるので、不安定ノードまたは不安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (k_1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & -k_1 \\ 0 & \rho - k_1 \end{pmatrix} \] $\tau = \rho-k_1-1, \ \ \Delta = k_1-\rho < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho-k_1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} k_1 \\ k_1-\rho-1 \end{pmatrix} \]
\[ (0,k_2 \rho) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1-k_2 \rho & 0 \\ -k_2 \rho & -\rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1-k_2 \rho-\rho, \ \ \Delta = - \rho (1-k_2 \rho ) < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = 1 - k_2 \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} \rho + 1 \\ -k_2 \rho \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-21 05:04:46

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.5」 に対する解答へのコメント

$ \dot{N_1} = r_1 N_1(1-N_1/K_1) -b_1 N_1 N_2, \ \ \dot{N_2} = r_2 N_2 -b_2 N_1 N_2 $
$N_1, \ N_2, \ t$を
\[ N_1 = \frac{r_1}{b_2} x, \ \ N_2 = \frac{r_1}{b_1} y, \ \ t = \frac{1}{r_1} \tau \]とリスケールすると、
\[ x' = x (1-x/k_1-y), \ \ y' = y ( \rho - x ) \]となる。ここで、$\rho = r_2/r_1, \ \ k_1 = b_2 K_1/r_1$とおいた。

i) $k_1 > \rho$のとき
この系の固定点は$(0,0), \ \ (\rho,1-\rho/k_1), \ \ (k_1,0)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 1-2x/k_1 - y & -x \\ -y & \rho - x \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1+\rho > 0, \ \ \Delta = \rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (1-\rho)^2 \geq 0$となるので、不安定ノードまたは不安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (\rho,1-\rho/k_1) \ : \ A = \begin{pmatrix} -\rho/k_1 & -\rho \\ -1+\rho/k_1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = -\rho/k_1, \ \ \Delta = -(k_1-\rho) \rho /k_1 < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \frac{-\rho+\sqrt{\rho^2+4 \rho k_1 (k_1-\rho)}}{2k_1} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} -2 k_1 \rho \\ \rho+\sqrt{\rho^2+4 \rho k_1 (k_1-\rho)} \end{pmatrix}, \\
\lambda = \frac{-\rho-\sqrt{\rho^2+4 \rho k_1 (k_1-\rho)}}{2k_1} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} \rho+\sqrt{\rho^2+4 \rho k_1 (k_1-\rho)} \\ 2(k_1 - \rho) \end{pmatrix} \]
\[ (k_1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & -k_1 \\ 0 & \rho - k_1 \end{pmatrix} \] $\tau = -(k_1-\rho)-1 < 0, \ \ \Delta = k_1-\rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (k_1-\rho-1)^2 \geq 0$となるので、安定ノードまたは安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -(k_1-\rho) \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} k_1 \\ k_1-\rho-1 \end{pmatrix} \]この系の相図は添付図のようになる。この場合、長時間経過すると、$(k_1,0)$の吸引領域では、種1は環境収容力$K_1$に近づき、種2はゼロに近づく。吸引領域以外では種2が増え続け、種1は減少していく。

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投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-17 05:43:59

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