P.203の問題番号「6.3.13」 に対する解答

系$\dot{x} = -y -x^3, \ \ y=x$
原点$(0,0)$の近傍で$x=u, \ \ y=v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 0, \ \ \Delta = 1$となるので、センターであると予測される。
一方、この系を極座標で表すと、
\[ \dot{r} = - r^3 \cos^4 \theta, \ \ \dot{\theta} = 1 + r^2 \sin \theta \cos^3 \theta \]となる。$\dot{r} \leq 0$、また$r<1$では$\dot{\theta} > 0$となるので、実際には原点で安定スパイラルとなる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-03 06:15:44

P.202の問題番号「6.3.11」 に対する解答

系$\dot{r} = -r, \ \ \dot{\theta}=1/\ln r$
(a) $\dot{r} = -r$の解は$r(t)=r_0 e^{-t}$となる。これを$\dot{\theta}=1/\ln r$に代入すると、
\[ \dot{\theta} = \frac{1}{ \ln r_0 - t } \]となる。したがって、
\[ \theta(t) = \theta_0 + \ln \left| \frac{ \ln r_0 }{ \ln r_0 - t } \right| \]が得られる。

(b) $t \to \infty$で$\theta(t) \to - \infty$となるので、$r(t) \to 0$および$| \theta(t) | \to \infty $となる。
したがって、原点は非線形系における安定なスパイラルである。

(c) $x=r \cos \theta, \ \ y = r \sin \theta $とおくと
\[ \dot{x} = -x-\frac{2y}{\ln (x^2+y^2)}, \ \ \dot{y} = -y+\frac{2x}{\ln (x^2+y^2)} \]となる。

(d) (c)の結果を原点まわりで線形化すると、$x^2+y^2 \to 0$で$\ln (x^2+y^2) \to -\infty$であるので、$\dot{x} = -x, \ \ \dot{y} = -y$となる。よって、原点はこの線形系における安定なスターノードである。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-01 05:00:07

P.202の問題番号「6.3.9」 に対する解答

系$\dot{x} = y^3 - 4x, \ \ \dot{y} = y^3-y-3x$
(a) この系の固定点は$(0,0), \ \ (2,2), \ \ (-2,-2)$。
固定点$(0,0)$の近傍では、$x=u, \ \ y = v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = -5, \ \ \Delta = 4, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 9$となるので、安定ノードである。
また、このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = -4 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。
一方、固定点$(\pm 2,\pm 2)$の近傍では、$x=\pm 2 + u, \ \ y = \pm 2 + v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 12 \\ -3 & 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 7, \ \ \Delta = -8$となるので、サドル点である。
このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = 8 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。

(b) 直線$x=y$上の任意の点$(a,a)$から出発する軌道を考える。ここで
$\dot{x} - \dot{y} = -(x-y)$となるので、$x(t)-y(t) = A e^{-t}$となる。
$t=0$で$(a,a)$であるので、$x(t)=y(t)$が得られる。
したがって、直線$x=y$は不変であることがわかる。

(c) (b)から$x(t)-y(t) = A e^{-t}$であるので、直線$x=y$上以外の点から出発する軌道では、$A \neq 0$となる。
したがって、$t \to \infty$で$|x(t) - y(t)| \to 0$となる。

(d) 添付図

(e) この系はヌルクライン$y^3-y-3x=0$の近傍の領域で、その速度は$(1,0)$方向を向いていて、
その他の領域で速度は$(1,1)$方向を向いている。しがたって、時間を逆行して考えると、
直線$x=y$上にない任意の点から出発する軌道は、ヌルクライン$y^3-y-3x=0$に近づいていくように見える。

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投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-28 05:13:19

P.202の問題番号「6.3.8」 に対する解答へのコメント

(a) 2つの静止した質量$m_1$と$m_2$の物体を結ぶ直線上を動く粒子の質量を$m$、速度を$v$とする。このとき、$x$の位置にある粒子のエネルギーは、
\[ E = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{Gmm_1}{|x|} - \frac{Gmm_2}{|a-x|} \]となる。エネルギー保存則から、$0<x<a$において、
\[ \frac{d}{dt} E = m \dot{x} \left( \ddot{x} + \frac{Gm_1}{x^2} - \frac{Gm_2}{(a-x)^2} \right) = 0 \]となる。ここで$\dot{x} = v$を利用した。
したがって、
\[ \ddot{x} = \frac{Gm_2}{(x-a)^2} - \frac{Gm_1}{x^2} \]が得られる。

(b) $v = \dot{x} $とおくと、この系は、
\[ \dot{x} = v, \ \ \dot{v} = \frac{Gm_2}{(x-a)^2} - \frac{Gm_1}{x^2} \]と表せる。したがって、この系の固定点（釣り合いの位置）は、
\[ (\frac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}}a, 0) \]となる。また、この固定点近傍では、
\[ A = \frac{2G}{a^3} \frac{(\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2})^4}{\sqrt{m_1m_2}} \]とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ A & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 0, \ \ \Delta = -A$となるので、サドル点である。つまり、釣り合いの位置は不安定であるといえる。このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = \sqrt{A} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{A} \end{pmatrix} \\
\lambda = -\sqrt{A} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{A} \end{pmatrix} \]となる。

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投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-24 05:15:11

P.202の問題番号「6.3.6」 に対する解答

$ \dot{x} = xy -1, \ \ \dot{y} = x-y^3$
この系の固定点は$(1,1), \ \ (-1,-1)$。
固定点$(1,1)$の近傍では、$x=1+u, \ \ y = 1+v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = -2, \ \ \Delta = -4$となるので、サドル点である。
また、このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = -1+\sqrt{5} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{5}-2 \end{pmatrix} \\
\lambda = -1-\sqrt{5} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{5}-2 \end{pmatrix} \]となる。
一方、固定点$(-1,-1)$の近傍では、$x=-1 + u, \ \ y = -1+ v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = -4, \ \ \Delta = 4, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 0$となるので、縮退したノードである。
このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = -2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。

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投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-22 09:43:47