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	P.201の問題番号「6.3.4」に対する解答へのコメント $ \dot{x} = y+x-x^3, \ \ \dot{y} = -y$ この系の固定点は$(0,0), \ \ (\pm 1,0)$。固定点$(0,0)$の近傍では、$x=u, \ \ y = v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 0, \ \ \Delta = -1$となるので、サドル点である。また、このときの固有値と固有ベクトルは \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \]となる。一方、固定点$(\pm 1,0)$の近傍では、$x=\pm 1 + u, \ \ y = v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = -3, \ \ \Delta = 2, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 1$となるので、安定ノードである。このときの固有値と固有ベクトルは \[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \lambda = -2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-20 08:38:28
	P.201の問題番号「6.3.4」に対する解答 $ \dot{x} = y+x-x^3, \ \ \dot{y} = -y$ この系の固定点は$(0,0), \ \ (\pm 1,0)$。固定点$(0,0)$の近傍では、$x=u, \ \ y = v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 0, \ \ \Delta = -1$となるので、サドル点である。また、このときの固有値と固有ベクトルは \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \]となる。一方、固定点$(\pm 1,0)$の近傍では、$x=\pm 1 + u, \ \ y = v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = -3, \ \ \Delta = 2, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 1$となるので、安定ノードである。このときの固有値と固有ベクトルは \[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \lambda = -2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-20 08:29:24
	P.201の問題番号「6.3.3」に対する解答 $ \dot{x} = 1+y-e^{-x}, \ \ \dot{y} = x^3-y$ この系の固定点は$(0,0)$。固定点$(0,0)$の近傍では、$x=u, \ \ y = v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 0, \ \ \Delta = -1$となるので、サドル点である。また、このときの固有値と固有ベクトルは \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-19 08:32:35
	P.201の問題番号「6.3.2」に対する解答 $ \dot{x} = \sin y, \ \ \dot{y} = x - x^3$ この系の固定点は$(0,n \pi), \ \ (-1, n \pi), \ \ (-1, n \pi)$となる。ここで、$n$は整数。固定点$(0,n \pi)$の近傍では、$x=u, \ \ y = n \pi+v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & (-1)^n \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 0, \ \ \Delta = (-1)^{n+1}$となる。したがって、 $n$が偶数のときサドル点、$n$が奇数のときセンターとなる。また、$n$が偶数のとき、固有値と固有ベクトルは \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]となる。一方、固定点$(\pm 1,n \pi)$の近傍では、$x=\pm 1+u, \ \ y = n \pi+v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & (-1)^n \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 0, \ \ \Delta = 2(-1)^n$となる。したがって、 $n$が偶数のときセンター、$n$が奇数のときサドル点となる。また、$n$が奇数のとき、固有値と固有ベクトルは \[ \lambda = \sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{2} \end{pmatrix} \\ \lambda = \sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-18 05:22:56
	P.201の問題番号「6.3.1」に対する解答 $ \dot{x} = x-y, \ \ \dot{y} = x^2 - 4$ この系の固定点は$(2,2), \ \ (-2,-2)$となる。固定点$(2,2)$の近傍では、$x=2+u, \ \ y = 2+v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 1, \ \ \Delta = 4, \ \ \tau^2-4\Delta = -15$となるので、不安定スパイラルとなる。一方、固定点$(-2,-2)$の近傍では、$x=-2+u, \ \ y = -2+v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 1, \ \ \Delta = -4$となるので、サドル点となる。また、このときの固有値と固有ベクトルは \[ \lambda = \frac{1+\sqrt{17}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1-\sqrt{17} \end{pmatrix} \\ \lambda = \frac{1-\sqrt{17}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1+\sqrt{17} \end{pmatrix} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-17 06:24:57
	P.201の問題番号「6.2.2」に対する解答 $\dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -x + (1-x^2-y^2)y$ (a) 各右辺が領域$D$で連続であることは明らか。次に各右辺の偏微分を求めると、 \[ \frac{\partial}{\partial x} y = 0, \ \ \frac{\partial}{\partial y} y = 1, \\ \frac{\partial}{\partial x} [-x + (1-x^2-y^2)y ] = -1 -2xy, \\ \frac{\partial}{\partial y} [-x + (1-x^2-y^2)y ] = 1-x^2 - 3y^2 \]となり、領域$D$で連続となるので、この系は$D$の全領域で存在と一意性定理の仮定を満たす。 (b) $x(t) = \sin t, \ \ y(t) = \cos t$とおくと、 $\dot{x}(t) = \cos t$となるので、$\dot{x} = y$を満たす。また、 $\dot{y} = -\sin t$, $ -x + (1-x^2-y^2)y = - \sin t + (1 - \sin^2 t - \cos^2 t ) \cos t = - \sin t$ となるので、$\dot{y} = -x + (1-x^2-y^2)y$を満たす。したがって、$x(t) = \sin t, \ \ y(t) = \cos t$はこの系の厳密解である。 (c) $x(0) = 1/2, y(0) = 0$から出発する解 (b)から$x^2(t)+y^2(t)=1$は解である。存在と一意性の定理より解の軌道は$x^2(t)+y^2(t)=1$に交わることはないので、 $x^2(t)+y^2(t)=1$の内部から始まる軌道は$x^2(t)+y^2(t)<1$に留まる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-16 07:55:12
	P.201の問題番号「6.2.1」に対する解答固定点では流れはないので、異なる軌道が交差しているわけではない。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-15 05:36:17
	P.201の問題番号「6.1.14」に対する解答 (a) $\dot{x} = x + e^{-y}, \dot{y} = -y$ $(x,y)$が$(-1,0)$に近いと仮定して $u=x+1, \ \ y=a_1u + a_2 u + \mathcal{O}(u^3)$とおくと、 \[ \frac{dy}{du} = a_1 + 2a_2 u + \mathcal{O}(u^2) \]となる。一方、 \[ \frac{dy}{du} = \frac{\dot{y}}{\dot{u}} = \frac{-y}{u-1+e^{-y}} = - \frac{a_1}{1-a_1} - \frac{a_1}{1-a_1} \left( \frac{a_2}{a_1} + \frac{a_2-a_1^2/2}{1-a_1} \right) u + \mathcal{O}(u^2) \]となる。したがって、 \[ a_1 = - \frac{a_1}{1-a_1}, \ \ 2a_2 = - \frac{a_1}{1-a_1} \left( \frac{a_2}{a_1} + \frac{a_2-a_1^2/2}{1-a_1} \right) \]より、 \[ a_1 = 2, \ \ a_2 = \frac{4}{3} \]が得られる。 (b) 解析的な結果との比較ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-14 05:12:31
	P.201の問題番号「6.1.13」に対する解答ちょうど３つの閉軌道と１つの固定点をもつ相図例えば、$\dot{x} = -y + x(1-x^2-y^2)(4-x^2-y^2)(9-x^2-y^2), \ \ \dot{y} = x$ ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-12 05:37:02
	P.201の問題番号「6.1.12」に対する解答へのコメント (a)2つのサドルを結ぶ1本の軌道がある場合例えば、$\dot{x} = 1 - x^2, \ \ \dot{y} = xy $ ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-11 04:58:00

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	P.201の問題番号「6.3.4」に対する解答へのコメント $ \dot{x} = y+x-x^3, \ \ \dot{y} = -y$ この系の固定点は$(0,0), \ \ (\pm 1,0)$。固定点$(0,0)$の近傍では、$x=u, \ \ y = v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 0, \ \ \Delta = -1$となるので、サドル点である。また、このときの固有値と固有ベクトルは \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \]となる。一方、固定点$(\pm 1,0)$の近傍では、$x=\pm 1 + u, \ \ y = v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = -3, \ \ \Delta = 2, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 1$となるので、安定ノードである。このときの固有値と固有ベクトルは \[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \lambda = -2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-20 08:38:28
	P.201の問題番号「6.3.4」に対する解答 $ \dot{x} = y+x-x^3, \ \ \dot{y} = -y$ この系の固定点は$(0,0), \ \ (\pm 1,0)$。固定点$(0,0)$の近傍では、$x=u, \ \ y = v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 0, \ \ \Delta = -1$となるので、サドル点である。また、このときの固有値と固有ベクトルは \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \]となる。一方、固定点$(\pm 1,0)$の近傍では、$x=\pm 1 + u, \ \ y = v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = -3, \ \ \Delta = 2, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 1$となるので、安定ノードである。このときの固有値と固有ベクトルは \[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \lambda = -2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-20 08:29:24
	P.201の問題番号「6.3.3」に対する解答 $ \dot{x} = 1+y-e^{-x}, \ \ \dot{y} = x^3-y$ この系の固定点は$(0,0)$。固定点$(0,0)$の近傍では、$x=u, \ \ y = v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 0, \ \ \Delta = -1$となるので、サドル点である。また、このときの固有値と固有ベクトルは \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-19 08:32:35
	P.201の問題番号「6.3.2」に対する解答 $ \dot{x} = \sin y, \ \ \dot{y} = x - x^3$ この系の固定点は$(0,n \pi), \ \ (-1, n \pi), \ \ (-1, n \pi)$となる。ここで、$n$は整数。固定点$(0,n \pi)$の近傍では、$x=u, \ \ y = n \pi+v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & (-1)^n \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 0, \ \ \Delta = (-1)^{n+1}$となる。したがって、 $n$が偶数のときサドル点、$n$が奇数のときセンターとなる。また、$n$が偶数のとき、固有値と固有ベクトルは \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]となる。一方、固定点$(\pm 1,n \pi)$の近傍では、$x=\pm 1+u, \ \ y = n \pi+v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & (-1)^n \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 0, \ \ \Delta = 2(-1)^n$となる。したがって、 $n$が偶数のときセンター、$n$が奇数のときサドル点となる。また、$n$が奇数のとき、固有値と固有ベクトルは \[ \lambda = \sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{2} \end{pmatrix} \\ \lambda = \sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-18 05:22:56
	P.201の問題番号「6.3.1」に対する解答 $ \dot{x} = x-y, \ \ \dot{y} = x^2 - 4$ この系の固定点は$(2,2), \ \ (-2,-2)$となる。固定点$(2,2)$の近傍では、$x=2+u, \ \ y = 2+v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 1, \ \ \Delta = 4, \ \ \tau^2-4\Delta = -15$となるので、不安定スパイラルとなる。一方、固定点$(-2,-2)$の近傍では、$x=-2+u, \ \ y = -2+v$とおくと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 1, \ \ \Delta = -4$となるので、サドル点となる。また、このときの固有値と固有ベクトルは \[ \lambda = \frac{1+\sqrt{17}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1-\sqrt{17} \end{pmatrix} \\ \lambda = \frac{1-\sqrt{17}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1+\sqrt{17} \end{pmatrix} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-17 06:24:57
	P.201の問題番号「6.2.2」に対する解答 $\dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -x + (1-x^2-y^2)y$ (a) 各右辺が領域$D$で連続であることは明らか。次に各右辺の偏微分を求めると、 \[ \frac{\partial}{\partial x} y = 0, \ \ \frac{\partial}{\partial y} y = 1, \\ \frac{\partial}{\partial x} [-x + (1-x^2-y^2)y ] = -1 -2xy, \\ \frac{\partial}{\partial y} [-x + (1-x^2-y^2)y ] = 1-x^2 - 3y^2 \]となり、領域$D$で連続となるので、この系は$D$の全領域で存在と一意性定理の仮定を満たす。 (b) $x(t) = \sin t, \ \ y(t) = \cos t$とおくと、 $\dot{x}(t) = \cos t$となるので、$\dot{x} = y$を満たす。また、 $\dot{y} = -\sin t$, $ -x + (1-x^2-y^2)y = - \sin t + (1 - \sin^2 t - \cos^2 t ) \cos t = - \sin t$ となるので、$\dot{y} = -x + (1-x^2-y^2)y$を満たす。したがって、$x(t) = \sin t, \ \ y(t) = \cos t$はこの系の厳密解である。 (c) $x(0) = 1/2, y(0) = 0$から出発する解 (b)から$x^2(t)+y^2(t)=1$は解である。存在と一意性の定理より解の軌道は$x^2(t)+y^2(t)=1$に交わることはないので、 $x^2(t)+y^2(t)=1$の内部から始まる軌道は$x^2(t)+y^2(t)<1$に留まる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-16 07:55:12
	P.201の問題番号「6.2.1」に対する解答固定点では流れはないので、異なる軌道が交差しているわけではない。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-15 05:36:17
	P.201の問題番号「6.1.14」に対する解答 (a) $\dot{x} = x + e^{-y}, \dot{y} = -y$ $(x,y)$が$(-1,0)$に近いと仮定して $u=x+1, \ \ y=a_1u + a_2 u + \mathcal{O}(u^3)$とおくと、 \[ \frac{dy}{du} = a_1 + 2a_2 u + \mathcal{O}(u^2) \]となる。一方、 \[ \frac{dy}{du} = \frac{\dot{y}}{\dot{u}} = \frac{-y}{u-1+e^{-y}} = - \frac{a_1}{1-a_1} - \frac{a_1}{1-a_1} \left( \frac{a_2}{a_1} + \frac{a_2-a_1^2/2}{1-a_1} \right) u + \mathcal{O}(u^2) \]となる。したがって、 \[ a_1 = - \frac{a_1}{1-a_1}, \ \ 2a_2 = - \frac{a_1}{1-a_1} \left( \frac{a_2}{a_1} + \frac{a_2-a_1^2/2}{1-a_1} \right) \]より、 \[ a_1 = 2, \ \ a_2 = \frac{4}{3} \]が得られる。 (b) 解析的な結果との比較ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-14 05:12:31
	P.201の問題番号「6.1.13」に対する解答ちょうど３つの閉軌道と１つの固定点をもつ相図例えば、$\dot{x} = -y + x(1-x^2-y^2)(4-x^2-y^2)(9-x^2-y^2), \ \ \dot{y} = x$ ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-12 05:37:02
	P.201の問題番号「6.1.12」に対する解答へのコメント (a)2つのサドルを結ぶ1本の軌道がある場合例えば、$\dot{x} = 1 - x^2, \ \ \dot{y} = xy $ ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-11 04:58:00