P.157の問題番号「5.2.5」 に対する解答

系$\dot{x}= 3x-4y, \ \ \dot{y} = x-y$
この系を$\dot{\boldsymbol{x}} = A \boldsymbol{x}$の形で書くと
\[ A = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \]となる。このとき、特性方程式は
\[ \mathrm{det} (A-\lambda I) = \mathrm{det} \begin{pmatrix} 3-\lambda & -4 \\ 1 & -1 - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 -2 \lambda +1 = 0 \]となる。行列$A$の固有値は
\[ \lambda = 1 \]となる。固有値$\lambda =1$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ v_1 - 2 v_2 = 0 \]より、
\[ \boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。

行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は
$\tau = 2, \ \ \Delta = 1, \ \ \tau^2 -4 \Delta = 0$となるので、固定点は不安定な縮退したノードである。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-20 04:54:23

P.157の問題番号「5.2.4」 に対する解答

系$\dot{x}= 5x+10y, \ \ \dot{y} = -x-y$
この系を$\dot{\boldsymbol{x}} = A \boldsymbol{x}$の形で書くと
\[ A = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \]となる。このとき、特性方程式は
\[ \mathrm{det} (A-\lambda I) = \mathrm{det} \begin{pmatrix} 5-\lambda & 10 \\ -1 & -1 - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 - 4 \lambda + 5 = 0 \]となる。行列$A$の固有値は
\[ \lambda_1 = 2+i, \ \ \lambda_2 = 2 - i \]となる。固有値$\lambda_1 =2+i$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} 3-i & 10 \\ -1 & -3-i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ v_1+ (3+i) v_2 = 0 \]より
\[ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} -3-i \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。一方、固有値$\lambda_2 = 2-i$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} 3+i & 10 \\ -1 & -3+i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ v_1 + (3-i)v_2 = 0 \]より、
\[ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} -3+i \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。従って、一般解は
\[ \begin{eqnarray}
\boldsymbol{x}(t) &=& c_1 e^{(2+i)t} \begin{pmatrix} -3-i \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{(2-i)t} \begin{pmatrix} -3+i \\ 1 \end{pmatrix} \\
&=& e^{2t} ( C_1 \cos t - C_2 \sin t ) \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} + e^{2t} ( C_1 \sin t + C_2 \cos t ) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\
&=& C e^{2t} \cos (t+\alpha) \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} + C e^{2t} \sin (t+\alpha) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{eqnarray} \]となる。ここで、$C_1 = c_1+c_2, \ \ C_2=-i(c_1 - c_2), \ \ C= \sqrt{C_1^2 + C_2^2}, \ \ \cos \alpha = C_1/C, \ \ \sin \alpha =C_2/ C$とおいた。
最後に、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は
$\tau = 4, \ \ \Delta = 5, \ \ \tau^2 -4 \Delta = -4$となるので、固定点は不安定スパイラルである。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-19 17:14:09

P.157の問題番号「5.2.2」 に対する解答

系$\dot{x}= x-y, \ \ \dot{y} = x+y$
(a) この系を$\dot{\boldsymbol{x}} = A \boldsymbol{x}$の形で書くと
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]となる。また、特性多項式は
\[ \mathrm{det} (A-\lambda I) = \mathrm{det} \begin{pmatrix} 1-\lambda & -1 \\ 1 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 -2 \lambda +2 = 0 \]となる。従って、行列$A$の固有値は
\[ \lambda_1 = 1+i, \ \ \lambda_2 = 1-i \]となる。固有値$\lambda_1 =1+i$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} -i & -1 \\ 1 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ v_1- i v_2 = 0 \]であるので、
\[ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。一方、固有値$\lambda_2 =1-i$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} i & -1 \\ 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ v_1 + i v_2 = 0 \]であるので、
\[ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。

(b) 一般解は
\[ \begin{eqnarray}
\boldsymbol{x}(t) &=& c_1 e^{(1+i)t} \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{(1-i)t} \begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} \\
&=& c_1 e^t ( \cos t + i \sin t ) \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^t ( \cos t - i \sin t ) \begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix} i(c_1-c_2) e^t \cos t - (c_1 + c_2) e^t \sin t \\ (c_1 + c_2) e^t \cos t + i (c_1 - c_2) e^t \sin t \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix} C_1 e^t \cos t - C_2 e^t \sin t \\ C_2 e^t \cos t + C_1 e^t \sin t \end{pmatrix}
\end{eqnarray} \]となる。ここで、$C_1 = i(c_1 - c_2), \ \ C_2=c_1+c_2$とおいた。

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投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-15 05:16:10

P.156の問題番号「5.1.13」 に対する解答

サドル点はある方向から見ると、谷の底になっているが、別の方向からみると山の頂上になっている。この形がちょうど馬の鞍（サドル）と同じ形をしているため。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-12 11:14:15

P.156の問題番号「5.1.11」 に対する解答へのコメント

(a) $\dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -4 x$
この系の軌道は楕円$x^2 + \frac{y^2}{4} = C$となる。
従って、任意の$\varepsilon > 0$に対して$\delta = \varepsilon/2$とると、
$\sqrt{ x^2(0) + y^2(0)} < \delta$ならば$\sqrt{ x^2(t) + y^2(t)} < \varepsilon$となるので、
この系はリアプノフ安定となる。

(d) $\dot{x} = 0, \ \ \dot{y} = -y$
この系の解は$x= x_0, \ \ y = y_0 e^{-t}$である。
従って、任意の$\varepsilon > 0$に対して$\delta = \varepsilon$ととると、
$\sqrt{ x^2(0) + y^2(0)} < \delta$ならば$\sqrt{ x^2(t) + y^2(t)} < \varepsilon$となるので、
この系はリアプノフ安定となる。

(e) $\dot{x} = -x, \ \ \dot{y} = -5y$
この系の解は、$x= x_0 e^{-t}, \ \ y= y_0 e^{-5t}$である。
従って、任意の$(x(0), y(0)) = (x_0, y_0)$に対して
$\lim_{t \to \infty} (x(t), y(t)) = (0,0)$となるので吸引的であり、
また、任意の$\varepsilon > 0$に対して$\delta = \varepsilon/2$とると、
$\sqrt{ x^2(0) + y^2(0)} < \delta$ならば$\sqrt{ x^2(t) + y^2(t)} < \varepsilon$となるので、
この系はリアプノフ安定でもある。つまり、この系は漸近安定である。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-12 11:01:31