P.130の問題番号「4.6.1」 に対する解答

(a) $I/I_c$が$1$より少しだけ大きいとき、$I_c \sin \phi(t)$は、
最初$0$から$I_c$近くまで上がり、そのまま$2 \pi / \sqrt{(I/I_c)^2-1}$程度の時間そこにとどまった後、一旦$-I_c$まで下がり再び$0$に戻る。
$I/I_c \gg 1$のとき、$I_c \sin \phi(t)$は周期$2 \pi / \sqrt{(I/I_c)^2-1}$で位相ドリフトを起こす。

(b) $I/I_c$が$1$より少しだけ大きいとき、瞬間電圧$V(t)$は、
最初$RI$であった電圧が$0$近くまで下がり、そのまま$2 \pi / \sqrt{(I/I_c)^2-1}$程度の時間そこにとどまった後、一旦$R(I+I_c)$まで上がり再び$RI$に戻る。
$I/I_c \gg 1$のとき、$V(t)$は周期$2 \pi / \sqrt{(I/I_c)^2-1}$で位相ドリフトを起こす。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-02 04:01:44

P.129の問題番号「4.5.2」 に対する解答

$f(\phi)$の最大値を$M$、そのときの位相差を$\phi_M$、$f(\phi)$の最小値を$m$、そのときの位相差を$\phi_m$とおく。
(b) 引き込み領域は$m \leq \mu \leq M$すなわち$\omega + m A \leq \Omega \leq \omega + MA$となる。
(c) 位相ロック時の位相差は、$\mu = f(\phi^*)$を満たす$\phi^*$となる。ただし、
$\phi_m < \phi_M$のとき、$\phi_m \leq \phi^* \leq \phi_M$となり、
$\phi_m > \phi_M$のとき、$-\pi < \phi^* \leq \phi_M, \ \phi_m \leq \phi^* \leq \pi$となる。
(d) 位相ドリフトの周期$T_{\rm{drift}}$は
\[ T_{\rm{drift}} = \frac{1}{A} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{d \phi}{\mu - f(\phi)} \]となる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-29 05:28:04

P.128の問題番号「4.4.4」 に対する解答

(a) 方程式$b\dot{\theta} + mgL \sin \theta = \Gamma - k \theta$は円周上の各点に一意的に速度ベクトルを割り当てることができないので、円周上に矛盾なく定義されるベクトル場を与えない。
(b) $\tau = \frac{mgL}{b}t, \ \gamma = \frac{\Gamma}{mgL}, \ K = \frac{k}{mgL}$とおくと、
\[ \theta' = \gamma - K \theta - \sin \theta \]となる。
(c) 長時間経つと、$\gamma - K \theta - \sin \theta = 0$を満たす適当な安定固定点に落ち着く。
(d) $f(\theta) = \gamma - K \theta$と$g(\theta) = \sin \theta$の交点を考えると、$K$が十分小さいとき、無数の固定点が現われ、その後、$K$が大きくなるにつれて、たくさんのサドルノード分岐がおこり、固定点の対消滅がおこる。$K$が十分大きな値になると、安定固定点が1つだけ残る。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-28 11:43:19

P.128の問題番号「4.3.10」 に対する解答

$x=r^a u$, $t = r^b \tau $とおくと、$\dot{x} = r + x^{2n}$は\[ r^{a-b} \frac{du}{d \tau} = r + r^{2na} u^{2n} \]となる。この方程式のすべての項が$r$について同じオーダーだとすると、$a,b$は$a-b=1, \ 2na = 1$を満たすので、
\[ a = \frac{1}{2}, \ b = \frac{1}{2n}-1 \]が得られる。従ってスケーリング則は
\[ T_{\rm{bottleneck}} \approx \int dt = r^{\frac{1}{2n}-1} \int d \tau = r^{\frac{1}{2n}-1} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d \tau}{d u} d u = r^{\frac{1}{2n}-1} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d u}{1+u^{2n}} \]となる。

次に、\[ c= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d u}{1+u^{2n}}\]を計算する。まず、$ \omega_m = \exp [i(\frac{m}{n} + \frac{1}{2n})\pi]$とおくと、
\[1+u^{2n} = (u - \omega_0)(u - \omega_1)(u - \omega_2)\cdots(u - \omega_{2n-1}) \]となる。積分経路を複素平面上で$(-R,R)$と$Re^{i \theta} \ (0 \leq \theta \leq \pi)$とすると、留数は$\omega_0, \omega_1, \cdots , \omega_{n-1}$となるので、留数定理より
\[ c = \sum_{m=0}^{n-1} \frac{2 \pi i}{(\omega_m - \omega_0)(\omega_m - \omega_1)\cdots(\omega_m - \omega_{m-1})(\omega_m - \omega_{m+1})\cdots(\omega_m - \omega_{2n-1})} \]となる。ここで$\omega_m = e^{i\frac{m}{n}\pi} \omega_0$となることを考慮すると、
\[ c = \sum_{m=0}^{n-1} e^{-i\frac{m}{n}(2n-1)\pi} \frac{2 \pi i}{(\omega_0 - \omega_1)(\omega_0 - \omega_2)\cdots(\omega_0 - \omega_{2n-1})} \\
= \frac{1-e^{i \pi}}{1-e^{i \frac{\pi}{n}}} \frac{2\pi i}{\omega_0^{2n-1}} \frac{1}{ (1 - e^{i\frac{1}{n} \pi})(1 - e^{i\frac{2}{n} \pi})\cdots(1 - e^{i\frac{2n-1}{n} \pi})} \\ = \frac{2 \pi}{\sin \frac{\pi}{2n}} \frac{1}{ (1 - e^{i\frac{1}{n} \pi})(1 - e^{i\frac{2}{n} \pi})\cdots(1 - e^{i\frac{2n-1}{n} \pi})} \]となる。
次に、$u^{2n}-1$は
\[u^{2n}-1 = (u-1)(u+1)(u^{2(n-1)} + u^{2(n-2)} + \cdots + 1 ) \\
= (u-1)(u - e^{i\frac{1}{n} \pi})(u - e^{i\frac{2}{n} \pi})\cdots(u - e^{i\frac{2n-1}{n} \pi}) \]となるので、
\[ (u - e^{i\frac{1}{n} \pi})(u - e^{i\frac{2}{n} \pi})\cdots(u - e^{i\frac{2n-1}{n} \pi}) = (u+1)(u^{2(n-1)} + u^{2(n-2)} + \cdots + 1 ) \]この式に$u=1$を代入すると、
\[ (1 - e^{i\frac{1}{n} \pi})(1 - e^{i\frac{2}{n} \pi})\cdots(1 - e^{i\frac{2n-1}{n} \pi}) = 2n \]が得られる。従って、
\[ c = \frac{\pi}{n \sin \frac{\pi}{2n}} \]となる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-26 05:47:50

P.128の問題番号「4.3.8」 に対する解答

\[ \dot{\theta} = \frac{\sin 2 \theta}{ 1 + \mu \sin \theta } \]最初、
i) $\mu < -1$のとき、$\theta = -\pi/2, \sin^{-1}(-1/\mu), \pi-\sin^{-1}(-1/\mu)$に安定固定点、$\theta = 0, \pi/2, \pi$に不安定固定点をもつ。
$\mu = -1$のとき、$\theta= \pi/2$で超臨界ピッチフォーク分岐を起こし、
ii) $-1 < \mu < 1$のとき、$\theta = -\pi/2, \pi/2$に安定固定点、$\theta = 0, \pi$に不安定固定点をもつ。
次に、$\mu=1$のとき、$\theta=-\pi/2$で亜臨界ピッチフォーク分岐が起こり、
iii) $ \mu > 1 $のとき、$\theta = \sin^{-1}(-1/\mu), -\pi-\sin^{-1}(-1/\mu), \pi/2$に安定固定点、$\theta = -\pi/2, 0, \pi$に不安定固定点をもつ。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-23 06:49:24