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	P.101の問題番号「3.7.4」に対する解答漁業の修正モデル \[ \dot{N} = rN \left( 1- \frac{N}{K} \right) - H \frac{N}{A+N} \](a) １日の天候や漁の場所の影響など？ (b) $x=N/K, \ \tau = rt, \ h=H/rK, \ a=A/K$とおくと、 \[ \frac{dx}{d \tau} = x(1-x) - h \frac{x}{a+x} \]となる。 (c) まず、方程式 \[ x(1-x) - h \frac{x}{a+x} = 0 \]の解（候補）は \[ x = 0, \frac{1-a \pm \sqrt{(1+a)^2 - 4h}}{2} \]となる。従って (1) $h > (1+a)^2/4$のとき、1つの安定固定点$0$をもつ。 (2) $h = (1+a)^2/4$のとき、1つの安定固定点$0$、1つの半安定固定点$1-a$をもつ。 (3-1) $a < h < (1+a)^2/4$かつ$0<a<1$のとき、2つの安定固定点$0, \ (1-a + \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$、1つの不安定固定点$ (1-a - \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$をもつ。 (3-2) $a < h < (1+a)^2/4$かつ$a>1$のとき、2つの安定固定点$0, \ (1-a - \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$、1つの不安定固定点$ (1-a + \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$をもつ。 (4) $h=a$のとき、1つの安定固定点$1-a$、1つの半安定固定点$0$をもつ。 (5) $h<a$のとき、2つの安定固定点$ (1-a \pm \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$、1つの不安定固定点$0$をもつ。 (d) (c)の場合分けにおいて、(3)から(5)への変化を見ると、$x=0$でトランスクリティカル分岐を起こしていることがわかる。 (e) (c)の場合分けにおいて、(1)から(3-1)への変化に対応する。即ち、$a_c=1$でサドルノード分岐が起こる。 (f) (c)の場合分けにおいて、(1)→(3-1)→(5)→(3-1)→(1)の変化を考える。まず、(1)の領域で安定固定点$x^=0$であったものは、(3-1)の領域でもそのまま安定固定点として残るが、(5)の領域で$x^=0$は不安定固定点となり、別の安定固定点$x^* = (1-a + \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$に移動する。その後、(3-1)の領域に戻っても$x^* = (1-a + \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$が安定固定点としてそのまま残り、(1)の領域に入ると$x^*=0$にふたたび移動する。即ち、これはヒステリシスを生じていることを示す。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-06 06:57:47
	P.100の問題番号「3.7.3」に対する解答漁業のモデル \[ \dot{N} = rN \left( 1- \frac{N}{K} \right) - H \](a) $N=Kx, \ t=T \tau$とおくと、 \[ \frac{dx}{d \tau} = rTx(1-x) - \frac{T}{K}H \] となるので、$T=1/r, \ h=H/rK$とおけば \[ \frac{dx}{d \tau} = x(1-x) - h \]が得られる。 (b) $x(1-x)-h=0$の解は \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4h}}{2} \]である。従って i) $h>1/4$のとき、固定点なし。 ii) $h<1/4$のとき、$x = (1 + \sqrt{1-4h})/2$で安定固定点、$x = (1 - \sqrt{1-4h})/2$で不安定固定点をもつ。 (c) $h_c=1/4$でサドルノード分岐 (d) $h<h_c$のとき、十分時間が経つと \[ x = \frac{1 + \sqrt{1-4h}}{2} \ 即ち \ N=Kx=\frac{K + \sqrt{K^2-4KH/r}}{2}\]に近づいていく。これは、漁がおこなわれることで、本来の環境収容力よりも小さな個体数に近づいていくことを示す。$h>h_c$のとき、乱獲により魚が枯渇する。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-06 06:19:59
	P.100の問題番号「3.7.2」に対する解答 (a) (3.7.8)式、(3.7.9)式はそれぞれ \[ r=\frac{2x^3}{(1+x^2)^2} , \ \ k=\frac{2x^3}{x^2-1} \]これらの式のふるまいを調べるために、$r,k$の$x$での美文を求めると \[ \frac{dr}{dx}=\frac{-2x^2(x^2-3)}{(1+x^2)^3} , \ \ \frac{dk}{dx}=\frac{2x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2} \]となる。したがって、$r(x)$は$x\to1$で$r\to1/2$となり、その後、$x=\sqrt{3}$で極大値$3\sqrt{3}/8$をとり、$x\to \infty$で$r=0$に近づいていく。一方、$k(x)$は$x\to1$で$k\to \infty$となり、その後$x=\sqrt{3}$で極小値$3\sqrt{3}$をとり、$x\to \infty$でふたたび、$k=2x$に近づいていく形で$\infty$に発散していく。 (b) 図3.7.5のカプス点は$r$が最大値、$k$が最小値となる点なので、 \[ x=\sqrt{3}, \ \ r=\frac{3\sqrt{3}}{8}, \ \ k=3\sqrt{3} \] ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-04 05:18:17
	P.100の問題番号「3.7.1」に対する解答 (3.7.3)式の右辺を \[ f(x) = rx \left( 1 - \frac{x}{k} \right) - \frac{x^2}{1+x^2} \]とおくと、 \[ f'(x) = r \left( 1 - \frac{2x}{k} \right) - \frac{2x}{(1+x^2)^2} \]となるので、$f'(0)=r>0$となる。従って、線形安定性解析により$x^*=0$は不安定な固定点。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-04 05:01:12
	P.99の問題番号「3.6.7」に対する解答 (a) $h = \tanh^{-1}m - Jnm$の解。この式を変形すると、 \[ \tanh \frac{h+Jnm}{T} = m \]となる。以下、$h>0$とする。 i) $h > Jn$のとき、１つの安定固定点$m^$をもつ。その固定点は温度$T$が高いとき、$m^=0$付近に存在し、温度が下がるにつれて$m^=1$に近づいていく。 ii) $h < Jn$のとき、$T=T_c$でサドルノード分岐が生じる。このサドルノード分岐が起こる点は、 \[ \tanh \frac{h+Jnm^}{T_c} = m^* \\ \frac{d}{dm} \left[ \tanh \frac{h+Jnm^}{T_c} \right] = \frac{Jn}{T_c} \cosh^2 \frac{h+Jnm^}{T_c} = 1 \]を満たす。（これを解析的に解くことは難しい）。従って、$T>T_c$では、$m^* > 0$の領域に$m^=0$に近い1つの安定固定点をもち、$T<T_c$ではサドルノード分岐が生じ、$m^ < 0$の領域にも1つの安定固定点と1つの不安定固定点が生じる。$T\to0$に近づくと、$m^* > 0$の領域の1つの安定固定点は1に近づき、一方、$m^* < 0$の領域の1つの安定固定点は$-1$、もう1つの不安定固定点は$-h/Jn$に近づく。 (b) $h=0$のとき、$T_c = Jn$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-03 04:24:44
	P.98の問題番号「3.6.6」に対する解答へのコメント (a) 超臨界の場合、$\tau \dot{A} = \varepsilon A - g A^3$に従う。このとき、\[ A^* = \sqrt{\frac{\varepsilon}{g}} \]となるので、$g=\varepsilon^{\mp0.02}$となることが予言される。 (b) 方程式$\tau \dot{A} = \varepsilon A - g A^3 - k A^5$に対して$g=0$とすると、 \[ A^* = \left( \frac{\varepsilon}{k} \right)^{\frac{1}{4}} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-01 06:02:11
	P.98の問題番号「3.6.6」に対する解答へのコメント (a) 超臨界の場合、$\tau \dot{A} = \varepsilon A - g A^3$に従う。このとき、\[ A^* = \sqrt{\frac{\varepsilon}{g}} \]となるので、$g=\varepsilon^{\mp0.02}$となることが予言される。 (b) 方程式$\tau \dot{A} = \varepsilon A - g A^3 - k A^5$に対して$g=0$とすると、 \[ A^* = \left( \frac{\varepsilon}{k} \right)^{\frac{1}{4}} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-01 05:49:27
	P.98の問題番号「3.6.6」に対する解答へのコメント (a) 超臨界の場合、$\tau \dot{A} = \varepsilon A - g A^3$に従う。このとき、\[ A^* = \sqrt{\frac{\varepsilon}{g}} \]となるので、$g=\varepsilon^{\mp0.02}$となることが予言される。 (b) 方程式$\tau \dot{A} = \varepsilon A - g A^3 - k A^5$に対して$g=0$とすると、 \[ A^* = \left( \frac{\varepsilon}{k} \right)^{\frac{1}{4}} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-01 05:42:16
	P.98の問題番号「3.6.6」に対する解答 (a) 超臨界の場合、$\tau \dot{A} = \varepsilon A - g A^3$に従う。このとき、\[ A^* = \sqrt{\frac{\varepsilon}{g}} \]となるので、$g=\varepsilon^{\mp0.02}$となることが予言される。 (b) 方程式$\tau \dot{A} = \varepsilon A - g A^3 - k A^5$に対して$g=0$とすると、 \[ A^* = \left( \frac{\varepsilon}{k} \right)^{\frac{1}{4}} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-01 05:37:26
	P.98の問題番号「3.6.5」に対する解答 (a)この系の運動方程式は \[ m \ddot{x} + mg \sin \theta - k (\sqrt{a^2+x^2} - L_0) \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2} } = 0 \]となる。従って、釣り合いの位置では、 \[ mg \sin \theta = kx \left( 1 - \frac{L_0}{\sqrt{a^2+x^2}} \right) \tag{1} \]が成り立つ。 (b) $h$と$R$をそれぞれ \[ x = au, \ \ h = \frac{mg \sin \theta}{ak}, \ \ R=\frac{L_0}{a} \]とおくと、(1)式は \[ 1 - \frac{h}{u} = \frac{R}{\sqrt{1 + u^2}} \tag{2} \]で表示される。 (c) i) $R < 1$のとき、1つの固定点 ii) $1 < R < (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$のとき、1つの固定点 iii) $R = (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$のとき、2つの固定点 iv) $R > (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$のとき、3つの固定点 (d) $u$が十分小さいとすると、(2)式の右辺は \[ 1 - \frac{h}{u} = \frac{r+1}{\sqrt{1 + u^2}} = (r+1) \left( 1 - \frac{1}{2}u^2 + \mathcal{O}(u^4) \right) \]従って\[ h + ru - \frac{r+1}{2}u^3 + \mathcal{O}(u^5) = 0 \]と変形できるので、さらに$r$も十分小さいとすると、 \[ h + ru - \frac{1}{2}u^3 \approx 0 \]が得られる。 (e) サドルノード分岐が起こる$u$の値は \[ \frac{d}{du} \left[ h + ru - \frac{1}{2}u^3 \right] = 0 \]を満たすので、 \[ u = - \sqrt{\frac{2r}{3}} \]が得られる。ここで、 \[ u = - \sqrt{\frac{2r}{3}} + v \]とおき、$v$が十分小さいとすると、 \[ h + ru - \frac{1}{2}u^3 \approx h - \frac{2r}{3}\sqrt{\frac{2r}{3}}+ \frac{3}{2}\sqrt{\frac{2r}{3}}v^2 \]となり、サドルノード分岐の近似式が得られる。 (f) 分岐曲線は$1-\frac{h}{u}$と$\frac{R}{\sqrt{1+u^2}}$が接するところに現れる。従って、 \[ 1-\frac{h}{u} = \frac{R}{\sqrt{1+u^2}} \\ \frac{h}{u^2} = - \frac{Ru}{(1+u^2)^{\frac{3}{2}}} \]を満たす。これらの方程式から\[ h(u) = -u^3, \ \ R(u) = (1 + u^2)^{\frac{3}{2}} \tag{3} \]が得られる。 (g) (3)式から \[ r = (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} - 1 \]が得られる。従って、 i) $ r < (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} - 1 $のとき、1つの固定点 ii) $ r = (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} - 1 $のとき、2つの固定点 iii) $ r > (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} - 1 $のとき、3つの固定点 (h) i) $L_0 < a$のとき、ばねがビーズを引っ張る力と重力の$x$方向が釣り合う点が安定固定点となる。 ii) $L_0 > a$のとき、$\theta$が小さいときはビーズが下に下がり、ばねがビーズを引っ張る力と重力の$x$方向が釣り合う点が安定固定点となるが、$\theta$が大きくなると、新たに$x<0$の領域で固定点が2点現れる。それらはそれぞれ$x=0$の付近と$x = -\sqrt{L_0^2 - a^2}$の付近に現れ、前者はビーズを押す力と重力がちょうど鉛直方向に向いている場合で不安定固定点、後者はばねがビーズを押す力と重力の$x$方向が釣り合う点で安定固定点となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-28 05:39:40

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	P.101の問題番号「3.7.4」に対する解答漁業の修正モデル \[ \dot{N} = rN \left( 1- \frac{N}{K} \right) - H \frac{N}{A+N} \](a) １日の天候や漁の場所の影響など？ (b) $x=N/K, \ \tau = rt, \ h=H/rK, \ a=A/K$とおくと、 \[ \frac{dx}{d \tau} = x(1-x) - h \frac{x}{a+x} \]となる。 (c) まず、方程式 \[ x(1-x) - h \frac{x}{a+x} = 0 \]の解（候補）は \[ x = 0, \frac{1-a \pm \sqrt{(1+a)^2 - 4h}}{2} \]となる。従って (1) $h > (1+a)^2/4$のとき、1つの安定固定点$0$をもつ。 (2) $h = (1+a)^2/4$のとき、1つの安定固定点$0$、1つの半安定固定点$1-a$をもつ。 (3-1) $a < h < (1+a)^2/4$かつ$0<a<1$のとき、2つの安定固定点$0, \ (1-a + \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$、1つの不安定固定点$ (1-a - \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$をもつ。 (3-2) $a < h < (1+a)^2/4$かつ$a>1$のとき、2つの安定固定点$0, \ (1-a - \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$、1つの不安定固定点$ (1-a + \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$をもつ。 (4) $h=a$のとき、1つの安定固定点$1-a$、1つの半安定固定点$0$をもつ。 (5) $h<a$のとき、2つの安定固定点$ (1-a \pm \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$、1つの不安定固定点$0$をもつ。 (d) (c)の場合分けにおいて、(3)から(5)への変化を見ると、$x=0$でトランスクリティカル分岐を起こしていることがわかる。 (e) (c)の場合分けにおいて、(1)から(3-1)への変化に対応する。即ち、$a_c=1$でサドルノード分岐が起こる。 (f) (c)の場合分けにおいて、(1)→(3-1)→(5)→(3-1)→(1)の変化を考える。まず、(1)の領域で安定固定点$x^=0$であったものは、(3-1)の領域でもそのまま安定固定点として残るが、(5)の領域で$x^=0$は不安定固定点となり、別の安定固定点$x^* = (1-a + \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$に移動する。その後、(3-1)の領域に戻っても$x^* = (1-a + \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$が安定固定点としてそのまま残り、(1)の領域に入ると$x^*=0$にふたたび移動する。即ち、これはヒステリシスを生じていることを示す。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-06 06:57:47
	P.100の問題番号「3.7.3」に対する解答漁業のモデル \[ \dot{N} = rN \left( 1- \frac{N}{K} \right) - H \](a) $N=Kx, \ t=T \tau$とおくと、 \[ \frac{dx}{d \tau} = rTx(1-x) - \frac{T}{K}H \] となるので、$T=1/r, \ h=H/rK$とおけば \[ \frac{dx}{d \tau} = x(1-x) - h \]が得られる。 (b) $x(1-x)-h=0$の解は \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4h}}{2} \]である。従って i) $h>1/4$のとき、固定点なし。 ii) $h<1/4$のとき、$x = (1 + \sqrt{1-4h})/2$で安定固定点、$x = (1 - \sqrt{1-4h})/2$で不安定固定点をもつ。 (c) $h_c=1/4$でサドルノード分岐 (d) $h<h_c$のとき、十分時間が経つと \[ x = \frac{1 + \sqrt{1-4h}}{2} \ 即ち \ N=Kx=\frac{K + \sqrt{K^2-4KH/r}}{2}\]に近づいていく。これは、漁がおこなわれることで、本来の環境収容力よりも小さな個体数に近づいていくことを示す。$h>h_c$のとき、乱獲により魚が枯渇する。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-06 06:19:59
	P.100の問題番号「3.7.2」に対する解答 (a) (3.7.8)式、(3.7.9)式はそれぞれ \[ r=\frac{2x^3}{(1+x^2)^2} , \ \ k=\frac{2x^3}{x^2-1} \]これらの式のふるまいを調べるために、$r,k$の$x$での美文を求めると \[ \frac{dr}{dx}=\frac{-2x^2(x^2-3)}{(1+x^2)^3} , \ \ \frac{dk}{dx}=\frac{2x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2} \]となる。したがって、$r(x)$は$x\to1$で$r\to1/2$となり、その後、$x=\sqrt{3}$で極大値$3\sqrt{3}/8$をとり、$x\to \infty$で$r=0$に近づいていく。一方、$k(x)$は$x\to1$で$k\to \infty$となり、その後$x=\sqrt{3}$で極小値$3\sqrt{3}$をとり、$x\to \infty$でふたたび、$k=2x$に近づいていく形で$\infty$に発散していく。 (b) 図3.7.5のカプス点は$r$が最大値、$k$が最小値となる点なので、 \[ x=\sqrt{3}, \ \ r=\frac{3\sqrt{3}}{8}, \ \ k=3\sqrt{3} \] ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-04 05:18:17
	P.100の問題番号「3.7.1」に対する解答 (3.7.3)式の右辺を \[ f(x) = rx \left( 1 - \frac{x}{k} \right) - \frac{x^2}{1+x^2} \]とおくと、 \[ f'(x) = r \left( 1 - \frac{2x}{k} \right) - \frac{2x}{(1+x^2)^2} \]となるので、$f'(0)=r>0$となる。従って、線形安定性解析により$x^*=0$は不安定な固定点。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-04 05:01:12
	P.99の問題番号「3.6.7」に対する解答 (a) $h = \tanh^{-1}m - Jnm$の解。この式を変形すると、 \[ \tanh \frac{h+Jnm}{T} = m \]となる。以下、$h>0$とする。 i) $h > Jn$のとき、１つの安定固定点$m^$をもつ。その固定点は温度$T$が高いとき、$m^=0$付近に存在し、温度が下がるにつれて$m^=1$に近づいていく。 ii) $h < Jn$のとき、$T=T_c$でサドルノード分岐が生じる。このサドルノード分岐が起こる点は、 \[ \tanh \frac{h+Jnm^}{T_c} = m^* \\ \frac{d}{dm} \left[ \tanh \frac{h+Jnm^}{T_c} \right] = \frac{Jn}{T_c} \cosh^2 \frac{h+Jnm^}{T_c} = 1 \]を満たす。（これを解析的に解くことは難しい）。従って、$T>T_c$では、$m^* > 0$の領域に$m^=0$に近い1つの安定固定点をもち、$T<T_c$ではサドルノード分岐が生じ、$m^ < 0$の領域にも1つの安定固定点と1つの不安定固定点が生じる。$T\to0$に近づくと、$m^* > 0$の領域の1つの安定固定点は1に近づき、一方、$m^* < 0$の領域の1つの安定固定点は$-1$、もう1つの不安定固定点は$-h/Jn$に近づく。 (b) $h=0$のとき、$T_c = Jn$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-03 04:24:44
	P.98の問題番号「3.6.6」に対する解答へのコメント (a) 超臨界の場合、$\tau \dot{A} = \varepsilon A - g A^3$に従う。このとき、\[ A^* = \sqrt{\frac{\varepsilon}{g}} \]となるので、$g=\varepsilon^{\mp0.02}$となることが予言される。 (b) 方程式$\tau \dot{A} = \varepsilon A - g A^3 - k A^5$に対して$g=0$とすると、 \[ A^* = \left( \frac{\varepsilon}{k} \right)^{\frac{1}{4}} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-01 06:02:11
	P.98の問題番号「3.6.6」に対する解答へのコメント (a) 超臨界の場合、$\tau \dot{A} = \varepsilon A - g A^3$に従う。このとき、\[ A^* = \sqrt{\frac{\varepsilon}{g}} \]となるので、$g=\varepsilon^{\mp0.02}$となることが予言される。 (b) 方程式$\tau \dot{A} = \varepsilon A - g A^3 - k A^5$に対して$g=0$とすると、 \[ A^* = \left( \frac{\varepsilon}{k} \right)^{\frac{1}{4}} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-01 05:49:27
	P.98の問題番号「3.6.6」に対する解答へのコメント (a) 超臨界の場合、$\tau \dot{A} = \varepsilon A - g A^3$に従う。このとき、\[ A^* = \sqrt{\frac{\varepsilon}{g}} \]となるので、$g=\varepsilon^{\mp0.02}$となることが予言される。 (b) 方程式$\tau \dot{A} = \varepsilon A - g A^3 - k A^5$に対して$g=0$とすると、 \[ A^* = \left( \frac{\varepsilon}{k} \right)^{\frac{1}{4}} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-01 05:42:16
	P.98の問題番号「3.6.6」に対する解答 (a) 超臨界の場合、$\tau \dot{A} = \varepsilon A - g A^3$に従う。このとき、\[ A^* = \sqrt{\frac{\varepsilon}{g}} \]となるので、$g=\varepsilon^{\mp0.02}$となることが予言される。 (b) 方程式$\tau \dot{A} = \varepsilon A - g A^3 - k A^5$に対して$g=0$とすると、 \[ A^* = \left( \frac{\varepsilon}{k} \right)^{\frac{1}{4}} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-01 05:37:26
	P.98の問題番号「3.6.5」に対する解答 (a)この系の運動方程式は \[ m \ddot{x} + mg \sin \theta - k (\sqrt{a^2+x^2} - L_0) \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2} } = 0 \]となる。従って、釣り合いの位置では、 \[ mg \sin \theta = kx \left( 1 - \frac{L_0}{\sqrt{a^2+x^2}} \right) \tag{1} \]が成り立つ。 (b) $h$と$R$をそれぞれ \[ x = au, \ \ h = \frac{mg \sin \theta}{ak}, \ \ R=\frac{L_0}{a} \]とおくと、(1)式は \[ 1 - \frac{h}{u} = \frac{R}{\sqrt{1 + u^2}} \tag{2} \]で表示される。 (c) i) $R < 1$のとき、1つの固定点 ii) $1 < R < (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$のとき、1つの固定点 iii) $R = (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$のとき、2つの固定点 iv) $R > (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$のとき、3つの固定点 (d) $u$が十分小さいとすると、(2)式の右辺は \[ 1 - \frac{h}{u} = \frac{r+1}{\sqrt{1 + u^2}} = (r+1) \left( 1 - \frac{1}{2}u^2 + \mathcal{O}(u^4) \right) \]従って\[ h + ru - \frac{r+1}{2}u^3 + \mathcal{O}(u^5) = 0 \]と変形できるので、さらに$r$も十分小さいとすると、 \[ h + ru - \frac{1}{2}u^3 \approx 0 \]が得られる。 (e) サドルノード分岐が起こる$u$の値は \[ \frac{d}{du} \left[ h + ru - \frac{1}{2}u^3 \right] = 0 \]を満たすので、 \[ u = - \sqrt{\frac{2r}{3}} \]が得られる。ここで、 \[ u = - \sqrt{\frac{2r}{3}} + v \]とおき、$v$が十分小さいとすると、 \[ h + ru - \frac{1}{2}u^3 \approx h - \frac{2r}{3}\sqrt{\frac{2r}{3}}+ \frac{3}{2}\sqrt{\frac{2r}{3}}v^2 \]となり、サドルノード分岐の近似式が得られる。 (f) 分岐曲線は$1-\frac{h}{u}$と$\frac{R}{\sqrt{1+u^2}}$が接するところに現れる。従って、 \[ 1-\frac{h}{u} = \frac{R}{\sqrt{1+u^2}} \\ \frac{h}{u^2} = - \frac{Ru}{(1+u^2)^{\frac{3}{2}}} \]を満たす。これらの方程式から\[ h(u) = -u^3, \ \ R(u) = (1 + u^2)^{\frac{3}{2}} \tag{3} \]が得られる。 (g) (3)式から \[ r = (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} - 1 \]が得られる。従って、 i) $ r < (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} - 1 $のとき、1つの固定点 ii) $ r = (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} - 1 $のとき、2つの固定点 iii) $ r > (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} - 1 $のとき、3つの固定点 (h) i) $L_0 < a$のとき、ばねがビーズを引っ張る力と重力の$x$方向が釣り合う点が安定固定点となる。 ii) $L_0 > a$のとき、$\theta$が小さいときはビーズが下に下がり、ばねがビーズを引っ張る力と重力の$x$方向が釣り合う点が安定固定点となるが、$\theta$が大きくなると、新たに$x<0$の領域で固定点が2点現れる。それらはそれぞれ$x=0$の付近と$x = -\sqrt{L_0^2 - a^2}$の付近に現れ、前者はビーズを押す力と重力がちょうど鉛直方向に向いている場合で不安定固定点、後者はばねがビーズを押す力と重力の$x$方向が釣り合う点で安定固定点となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-28 05:39:40