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	P.95の問題番号「3.5.4」に対する解答 (a)運動方程式は \[ m \ddot{x} = -b \dot{x} -k(\sqrt{h^2+x^2}-L_0 ) \frac{x}{\sqrt{h^2+x^2}} \\ m \ddot{x} + b \dot{x} + kx \left(1-\frac{L_0}{\sqrt{h^2+x^2}} \right) = 0 \]となる。 (b) ありうる釣り合いの位置は \[ x \left(1-\frac{L_0}{\sqrt{h^2+x^2}} \right) = 0 \]を満たす。 i)$h<L_0$のとき、固定点は$0, \pm \sqrt{L_0^2-h^2}$ ii)$h>L_0$のとき、固定点は$0$ (c)$m=0$のとき \[ \dot{x}= -\frac{k}{b} x \left(1-\frac{L_0}{\sqrt{h^2+x^2}} \right) \]となる。 i)$h<L_0$のとき、安定固定点$\pm \sqrt{L_0^2-h^2}$、不安定固定点$0$ ii)$h>L_0$のとき、安定固定点$0$ 従って、$h=L_0$で超臨界ピッチフォーク分岐を示す。 (d)運動方程式を無次元化するために$x \to hx, t \to T \tau$として整理すると、 \[ \frac{m}{kT^2} \ddot{x} + \frac{b}{kT} \dot{x} +1-\frac{L_0}{h}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = 0 \]となる。ここで興味があるのは、左辺第1項が無視できて、第2項、第3項が同程度のオーダーになるとき。 \[ \frac{m}{kT^2} \ll 1,　\ \frac{b}{kT} \approx \mathcal{O}(1) \]したがって、特徴的時間スケールを \[ T = \frac{b}{k} \]とすると、$m$が無視できる条件として、 \[ m \ll \frac{b^2}{k} \]が得られる。これは、減衰が非常に強いか、ばねが非常に弱いときに$m$が無視できることを示す。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-20 05:35:29
	P.95の問題番号「3.5.3」に対する解答 $ \frac{d \phi}{d \tau} = f(\phi) = \sin \phi ( \gamma \cos \phi - 1 ) $の$\phi = 0$の近くでのふるまいまず、$f(\phi)$について5階微分まで求めると $ f'(\phi) = \gamma \cos 2 \phi - \cos \phi $ $ f^{(2)}(\phi) = - 2 \gamma \sin 2 \phi + \sin \phi $ $ f^{(3)}(\phi) = - 2^2 \gamma \cos 2 \phi + \cos \phi $ $ f^{(4)}(\phi) = 2^3 \gamma \sin 2 \phi - \sin \phi $ $ f^{(5)}(\phi) = 2^4 \gamma \cos 2 \phi - \cos \phi $ となる。従って、 $f'(0) = \gamma - 1 $ $ f^{(2)}(0) = 0 $ $ f^{(3)}(0) = -4\gamma + 1 $ $ f^{(4)}(0) = 0 $ $ f^{(5)}(0) = 16 \gamma - 1 $ となるので、$\phi=0$の近くでは、 \[ \frac{d \phi}{d \tau} = (\gamma - 1) \phi - \frac{4 \gamma - 1}{6} \phi^3 + \mathcal(\phi^5) \]に帰着される。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-19 04:38:36
	P.95の問題番号「3.5.2」に対する解答 $ \frac{d \phi}{d \tau} = f(\phi) = \sin \phi ( \gamma \cos \phi - 1 ) $ $(-\pi < \phi \leq \pi )$の線形安定性解析まず、$f(\phi)$の1階微分は $ f'(\phi) = \gamma \cos 2 \phi - \cos \phi $ となる。 i) $ \gamma < 1 $のとき、固定点は$\phi = 0, \pi$ $f'(0) = \gamma - 1 < 0 $ →安定 $f'(\pi) = \gamma + 1 > 0 $ →不安定 ii) $ \gamma > 1 $のとき、固定点は$\phi = 0, \pm \cos^{-1}(1/\gamma), \pi$ $f'(0) = \gamma - 1 > 0 $ →不安定 $f'(\pm \cos^{-1}(1/\gamma)) = (1 - \gamma)/\gamma < 0 $ →安定 $f'(\pi) = \gamma + 1 > 0 $ →不安定図3.5.6と一致する。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-19 04:26:54
	P.95の問題番号「3.5.1」に対する解答ビーズが$\phi > \pi/2$で固定点をもちえないこと固定点をもつにはその位置でビーズに作用する力が釣り合う必要がある。 $\phi > \pi/2$では強い摩擦力が働かない限り、重力と遠心力によりビーズに作用する接線下向きに働く力と釣り合う力がない。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-18 05:41:25
	P.95の問題番号「3.4.15」に対する解答ポテンシャルは \[ V(x) = -\frac{r}{2} x^2 - \frac{1}{4} x^4 + \frac{1}{6} x^6 = \frac{x^2}{6} \left\{\left(x^2-\frac{3}{4} \right)^2 - 3\left(r + \frac{3}{16} \right) \right\} \]となるので、3つの極小点でのVの値が等しくなるのは \[ r = -\frac{3}{16} \] ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-16 14:43:16
	P.95の問題番号「3.4.14」に対する解答 $ \dot{x} = rx + x^3 - x^5 $ (a) $ x = 0, \pm \sqrt{ \frac{ 1 \pm \sqrt{1+4r} }{2} } $ (b) $r < -\frac{1}{4} $のとき、安定固定点$0$ 　　$-\frac{1}{4} < r < 0$のとき、安定固定点$0,\pm \sqrt{ \frac{ 1 + \sqrt{1+4r} }{2} }$、不安定固定点$\pm \sqrt{ \frac{ 1 - \sqrt{1+4r} }{2} }$ 　　$r > 0$のとき、安定固定点$\pm \sqrt{ \frac{ 1 + \sqrt{1+4r} }{2} }$、不安定固定点$0$ (c)$r_s = -\frac{1}{4}$ ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-16 14:33:11
	P.94の問題番号「3.4.11」に対する解答 $\dot{x} = rx - \sin x $ (a) $x = 2n \pi$で安定固定点、$x = \pi + 2n \pi$で不安定固定点 (b) $x^* = 0$で不安定固定点を持つ (c) $r=1$のとき、 $x^* = 0$で亜臨界ピッチフォーク分岐が起こる。　　$r$が$1$より小さくなっていくとサドルノード分岐が次々に現れる。 (d) $0 < r \ll 1$のときサドルノード分岐が生じる点では \[ rx - \sin x = 0 \tag{1} \]となる。また、傾きが$0$になっていることから、 \[ r - \cos x = 0 \tag{2} \]となっている。 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$より \[ x = \frac{\sqrt{1 - r^2}}{r} \tag{3} \]一方、$rx$と$\sin x$のグラフを描くと、$r$が十分小さいならば、 $\epsilon_n$を十分小さい値として、 \[ x = 2 \pi n + \frac{\pi}{2} - \epsilon_n \tag{4} \]と考えることができる。 (2)に(4)を代入すると、 \[ r = \sin \epsilon_n \approx \epsilon_n + \mathcal{O}(\epsilon_n^3) \]となるので、 \[ x \approx 2 \pi n + \frac{\pi}{2} - r + \mathcal{O}( r^3 ) \tag{5} \]となる。(3)(5)より \[ 1-r^2 = r^2 \left( 2 \pi n + \frac{\pi}{2} - r + \mathcal{O}( r^3 ) \right)^2 \approx \left( 2 \pi n + \frac{\pi}{2} \right)^2 r^2 + \mathcal{O}( r^3 ) \]となるので、 \[ r = \sqrt{\frac{1}{1+ \left( 2 \pi n + \frac{\pi}{2} \right)^2 } } \]となる。 (e) サドルノード分岐で$x=0$から遠い固定点から順に消滅していき、最後は$x=0$が安定固定点として残る。 (d) 省略ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-16 14:14:27
	P.94の問題番号「3.4.10」に対する解答 \[ \dot{x} = rx + \frac{x^3}{1+x^2} = (r+1)x - \frac{x}{1+x^2}\]これは問題3.4.8で$r \to r+1$にしたものと同じ。 $r=0$で亜臨界ピッチフォーク分岐。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-16 13:01:48
	P.94の問題番号「3.4.9」に対する解答 $\dot{x} = x + \tanh (rx) $ $r=-1$で亜臨界ピッチフォーク分岐ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-16 12:57:20
	P.94の問題番号「3.4.8」に対する解答 \[ \dot{x} = rx - \frac{x}{1+x^2} \]$r=1$で亜臨界ピッチフォーク分岐 $r<0$のとき、安定固定点$0$ $0<r<1$のとき、安定固定点$0$、不安定固定点$\pm \sqrt{(1-r)/r}$ $r>1$のとき、不安定固定点$0$ ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-16 12:54:38

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	P.95の問題番号「3.5.4」に対する解答 (a)運動方程式は \[ m \ddot{x} = -b \dot{x} -k(\sqrt{h^2+x^2}-L_0 ) \frac{x}{\sqrt{h^2+x^2}} \\ m \ddot{x} + b \dot{x} + kx \left(1-\frac{L_0}{\sqrt{h^2+x^2}} \right) = 0 \]となる。 (b) ありうる釣り合いの位置は \[ x \left(1-\frac{L_0}{\sqrt{h^2+x^2}} \right) = 0 \]を満たす。 i)$h<L_0$のとき、固定点は$0, \pm \sqrt{L_0^2-h^2}$ ii)$h>L_0$のとき、固定点は$0$ (c)$m=0$のとき \[ \dot{x}= -\frac{k}{b} x \left(1-\frac{L_0}{\sqrt{h^2+x^2}} \right) \]となる。 i)$h<L_0$のとき、安定固定点$\pm \sqrt{L_0^2-h^2}$、不安定固定点$0$ ii)$h>L_0$のとき、安定固定点$0$ 従って、$h=L_0$で超臨界ピッチフォーク分岐を示す。 (d)運動方程式を無次元化するために$x \to hx, t \to T \tau$として整理すると、 \[ \frac{m}{kT^2} \ddot{x} + \frac{b}{kT} \dot{x} +1-\frac{L_0}{h}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = 0 \]となる。ここで興味があるのは、左辺第1項が無視できて、第2項、第3項が同程度のオーダーになるとき。 \[ \frac{m}{kT^2} \ll 1,　\ \frac{b}{kT} \approx \mathcal{O}(1) \]したがって、特徴的時間スケールを \[ T = \frac{b}{k} \]とすると、$m$が無視できる条件として、 \[ m \ll \frac{b^2}{k} \]が得られる。これは、減衰が非常に強いか、ばねが非常に弱いときに$m$が無視できることを示す。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-20 05:35:29
	P.95の問題番号「3.5.3」に対する解答 $ \frac{d \phi}{d \tau} = f(\phi) = \sin \phi ( \gamma \cos \phi - 1 ) $の$\phi = 0$の近くでのふるまいまず、$f(\phi)$について5階微分まで求めると $ f'(\phi) = \gamma \cos 2 \phi - \cos \phi $ $ f^{(2)}(\phi) = - 2 \gamma \sin 2 \phi + \sin \phi $ $ f^{(3)}(\phi) = - 2^2 \gamma \cos 2 \phi + \cos \phi $ $ f^{(4)}(\phi) = 2^3 \gamma \sin 2 \phi - \sin \phi $ $ f^{(5)}(\phi) = 2^4 \gamma \cos 2 \phi - \cos \phi $ となる。従って、 $f'(0) = \gamma - 1 $ $ f^{(2)}(0) = 0 $ $ f^{(3)}(0) = -4\gamma + 1 $ $ f^{(4)}(0) = 0 $ $ f^{(5)}(0) = 16 \gamma - 1 $ となるので、$\phi=0$の近くでは、 \[ \frac{d \phi}{d \tau} = (\gamma - 1) \phi - \frac{4 \gamma - 1}{6} \phi^3 + \mathcal(\phi^5) \]に帰着される。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-19 04:38:36
	P.95の問題番号「3.5.2」に対する解答 $ \frac{d \phi}{d \tau} = f(\phi) = \sin \phi ( \gamma \cos \phi - 1 ) $ $(-\pi < \phi \leq \pi )$の線形安定性解析まず、$f(\phi)$の1階微分は $ f'(\phi) = \gamma \cos 2 \phi - \cos \phi $ となる。 i) $ \gamma < 1 $のとき、固定点は$\phi = 0, \pi$ $f'(0) = \gamma - 1 < 0 $ →安定 $f'(\pi) = \gamma + 1 > 0 $ →不安定 ii) $ \gamma > 1 $のとき、固定点は$\phi = 0, \pm \cos^{-1}(1/\gamma), \pi$ $f'(0) = \gamma - 1 > 0 $ →不安定 $f'(\pm \cos^{-1}(1/\gamma)) = (1 - \gamma)/\gamma < 0 $ →安定 $f'(\pi) = \gamma + 1 > 0 $ →不安定図3.5.6と一致する。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-19 04:26:54
	P.95の問題番号「3.5.1」に対する解答ビーズが$\phi > \pi/2$で固定点をもちえないこと固定点をもつにはその位置でビーズに作用する力が釣り合う必要がある。 $\phi > \pi/2$では強い摩擦力が働かない限り、重力と遠心力によりビーズに作用する接線下向きに働く力と釣り合う力がない。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-18 05:41:25
	P.95の問題番号「3.4.15」に対する解答ポテンシャルは \[ V(x) = -\frac{r}{2} x^2 - \frac{1}{4} x^4 + \frac{1}{6} x^6 = \frac{x^2}{6} \left\{\left(x^2-\frac{3}{4} \right)^2 - 3\left(r + \frac{3}{16} \right) \right\} \]となるので、3つの極小点でのVの値が等しくなるのは \[ r = -\frac{3}{16} \] ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-16 14:43:16
	P.95の問題番号「3.4.14」に対する解答 $ \dot{x} = rx + x^3 - x^5 $ (a) $ x = 0, \pm \sqrt{ \frac{ 1 \pm \sqrt{1+4r} }{2} } $ (b) $r < -\frac{1}{4} $のとき、安定固定点$0$ 　　$-\frac{1}{4} < r < 0$のとき、安定固定点$0,\pm \sqrt{ \frac{ 1 + \sqrt{1+4r} }{2} }$、不安定固定点$\pm \sqrt{ \frac{ 1 - \sqrt{1+4r} }{2} }$ 　　$r > 0$のとき、安定固定点$\pm \sqrt{ \frac{ 1 + \sqrt{1+4r} }{2} }$、不安定固定点$0$ (c)$r_s = -\frac{1}{4}$ ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-16 14:33:11
	P.94の問題番号「3.4.11」に対する解答 $\dot{x} = rx - \sin x $ (a) $x = 2n \pi$で安定固定点、$x = \pi + 2n \pi$で不安定固定点 (b) $x^* = 0$で不安定固定点を持つ (c) $r=1$のとき、 $x^* = 0$で亜臨界ピッチフォーク分岐が起こる。　　$r$が$1$より小さくなっていくとサドルノード分岐が次々に現れる。 (d) $0 < r \ll 1$のときサドルノード分岐が生じる点では \[ rx - \sin x = 0 \tag{1} \]となる。また、傾きが$0$になっていることから、 \[ r - \cos x = 0 \tag{2} \]となっている。 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$より \[ x = \frac{\sqrt{1 - r^2}}{r} \tag{3} \]一方、$rx$と$\sin x$のグラフを描くと、$r$が十分小さいならば、 $\epsilon_n$を十分小さい値として、 \[ x = 2 \pi n + \frac{\pi}{2} - \epsilon_n \tag{4} \]と考えることができる。 (2)に(4)を代入すると、 \[ r = \sin \epsilon_n \approx \epsilon_n + \mathcal{O}(\epsilon_n^3) \]となるので、 \[ x \approx 2 \pi n + \frac{\pi}{2} - r + \mathcal{O}( r^3 ) \tag{5} \]となる。(3)(5)より \[ 1-r^2 = r^2 \left( 2 \pi n + \frac{\pi}{2} - r + \mathcal{O}( r^3 ) \right)^2 \approx \left( 2 \pi n + \frac{\pi}{2} \right)^2 r^2 + \mathcal{O}( r^3 ) \]となるので、 \[ r = \sqrt{\frac{1}{1+ \left( 2 \pi n + \frac{\pi}{2} \right)^2 } } \]となる。 (e) サドルノード分岐で$x=0$から遠い固定点から順に消滅していき、最後は$x=0$が安定固定点として残る。 (d) 省略ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-16 14:14:27
	P.94の問題番号「3.4.10」に対する解答 \[ \dot{x} = rx + \frac{x^3}{1+x^2} = (r+1)x - \frac{x}{1+x^2}\]これは問題3.4.8で$r \to r+1$にしたものと同じ。 $r=0$で亜臨界ピッチフォーク分岐。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-16 13:01:48
	P.94の問題番号「3.4.9」に対する解答 $\dot{x} = x + \tanh (rx) $ $r=-1$で亜臨界ピッチフォーク分岐ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-16 12:57:20
	P.94の問題番号「3.4.8」に対する解答 \[ \dot{x} = rx - \frac{x}{1+x^2} \]$r=1$で亜臨界ピッチフォーク分岐 $r<0$のとき、安定固定点$0$ $0<r<1$のとき、安定固定点$0$、不安定固定点$\pm \sqrt{(1-r)/r}$ $r>1$のとき、不安定固定点$0$ ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-16 12:54:38