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数学超絶難問(9784534051875)

P.160の問題番号「65」 に対する解答へのコメント

『∫_0^1　√(1 + x^2) dx をそのまま計算することは可能で、答えは、
　1/2 {√2 + ln(1 + √2) }
です。』に対する解法のヒントをメモ。
　x = sinh θ
と変数変換を行うと、
積分範囲は 0 ～ ln(1 + √2) となり、
被積分関数は、cosh^2(θ）となる。
あとは、cosh(θ) = ( e^θ + e^{-θ} ) / 2
であることを使えば、計算できる。

数学超絶難問(9784534051875)

投稿者：goodbook 投稿日：2018-01-27 06:46:59

数学〈超・超絶〉難問(9784534055163)

P.33の問題番号「Q9」 に対する解答

(2）の問題のp.34で解説されているものとは別解答（ヒントのみ）。

①変数変換 k' = m - n - k を行い、
　（n+k' n）のk'についての和とk'(n+k' n)のk'についての和に分ける。
②Q6（p.25)の⑤並行和の式とQ9の（1）の解を利用して、整理すると解が得られる。

数学〈超・超絶〉難問(9784534055163)

投稿者：goodbook 投稿日：2017-09-20 05:46:54

数学〈超・超絶〉難問(9784534055163)

P.29の問題番号「Q7」 に対する解答

p.30の解答より比較的簡単と思われる解法を見つけたので、メモ。

p.25 Q6の②加法公式と、（n 0) = (n-1 0) （←括弧の中身は縦書き）
を利用して、整理すると、（-1)^m (n-1 m)の項のみが残る。

数学〈超・超絶〉難問(9784534055163)

投稿者：goodbook 投稿日：2017-09-14 05:46:13

数学〈超・超絶〉難問(9784534055163)

P.25の問題番号「Q6」 に対する解答

いくつかの問題について、P.26-27と違う計算をしたので、メモ。

③ヴァンデルモントのたたみ込み
→これは、2項展開の係数比較で出せます。

④上の指標に関する和、⑤並行和
→数学的帰納法で解けます。
※p.26の「★なお、④も⑤も、②を使った式変形のみで導くことをできます…」とあるのは、このことだと思う。

数学〈超・超絶〉難問(9784534055163)

投稿者：goodbook 投稿日：2017-09-12 05:34:48

数学〈超・超絶〉難問(9784534055163)

P.23の問題番号「Q5」 に対する解答

p.24の解法がきれいですが、
ちょっと泥臭い方法もあったので、一応メモ。

①まず、「狐は互いに隣り合わない」ということなので、
　これから、「狐の左隣りは常に鴨が座る」
　つまり、「狐１匹につき、椅子を２席確保する」と考える。

②このとき、椅子を１から１２まで右から左に横並びに並べると、
　狐がＮ匹の場合の席の決め方は、
　「（１２－Ｎ）個の中から、Ｎ個を選ぶ数」となる。

③ただ、今回椅子は横並びではなく、
　円卓の周りにならべられている。
　これを考慮すると、②の計算では、
　狐が１２番目の席に座る場合が数えられていないことが分かる。
　なので、１２番目の席に狐が座っている場合、
　残りの（Ｎ－１）匹の狐の席の決め方は、
　「（１２－Ｎ－１）個の中から、（Ｎ－１）個を選ぶ数」となる。

④②と③の計算をＮ＝０から６まで行い、すべて加えると、この問題の解となる。

数学〈超・超絶〉難問(9784534055163)

投稿者：goodbook 投稿日：2017-09-09 06:33:09

数学〈超・超絶〉難問(9784534055163)

P.17の問題番号「Q3」 に対する解答

p.18とは別の方針による解法。

3つの箱をA,B,Cと区別し、その中に入る玉の数をそれぞれa,b,cとしたとき、
　a ≦ b ≦ c
に制限して考える。

その上で、a = k とすると、b,cへの分配の仕方は、
　[ ( n - k ) / 2 ] + 1 - k　…　(1)
となる。
ここで、[] はガウス記号で、[]の中の数を超えない最大の整数を表す。

(1)の式は、まず、(n - k)個の玉をb,cの2つに分割する方法として
　(b,c) → (0,n-k), (1, n-k-1), (2, n-k-2),…,(n-k,0)
のケースが考えられるが、
b ≦ cを考慮すると、その約半分である
[ ( n - k ) / 2 ] + 1　個のケースがb ≦ cを満たすことが分かる。
さらに、a = k ≦ b　も考慮すると、
　(b,c) → (0,n-k), (1, n-k-1), …, (k-1, n-k-(k-1))
のk個のケースはk ≦ b を満たさないので、この分は取り除き、
結局、(1)式の分配数が得られる。

最後に、a = k は0から[n/3]個までの値をとることができるので、
(1)をkについて、0から[n/3]個まで足し上げることで、
この問題の解が得られる。

数学〈超・超絶〉難問(9784534055163)

投稿者：goodbook 投稿日：2017-09-02 05:51:02

数学〈超・超絶〉難問(9784534055163)

P.18の問題番号「Q3」 に対する解答

p.18の解説に少し不足を感じたので補足。

箱を区別する場合
①箱３つに入る玉の数が全て異なるケース　→　6通りの同じ状態がある
②箱２つに入る玉の数が同じケース　→　3通りの同じ状態がある
③箱３つに入る玉の数が全て同じケース　→　1通りしかない

これを踏まえて、
「箱を区別する場合」の分配の仕方を①②③のケースに分け、
　①/6 + ②/3 + ③
をすることで、「箱を区別しない場合」の分配の仕方を計算する。

そういう方針で考えているようです。

数学〈超・超絶〉難問(9784534055163)

投稿者：goodbook 投稿日：2017-09-02 05:19:51

数学〈超・超絶〉難問(9784534055163)

P.13の問題番号「Q2」 に対する解答

P.14の解答とほぼ変わりませんが、一応補足メモ。

関数f(x)の無限級数展開におけるx^nの係数a_nは、
　f(x)のn階微分してx=0と置いたものをn!で割ったもの
となることを利用することもできる。　

数学〈超・超絶〉難問(9784534055163)

投稿者：goodbook 投稿日：2017-08-19 02:00:49

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

P.160の問題番号「65」 に対する解答

『∫_0^1　√(1 + x^2) dx をそのまま計算することは可能で、答えは、
　1/2 {√2 + ln(1 + √2) }
です。』に対する解法のヒントをメモ。
　x = sinh θ
と変数変換を行うと、
積分範囲は 0 ～ ln(1 + √2) となり、
被積分関数は、cosh^2(θ）となる。
あとは、cosh(θ) = ( e^θ + e^{-θ} ) / 2
であることを使えば、計算できる。

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

投稿者：goodbook 投稿日：2016-09-22 05:12:16

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

P.127の問題番号「54」 に対する解答

この問題の別解答）
黒いマスが0個の場合、塗り方は1通り。
黒いマスが1個の場合、塗り方は9通り。
黒いマスが2個の場合、黒いマスが2つ以上隣り合ってはいけないので、
黒いマスの間には白いマスが少なくとも1つ入っていなくてはならない。
これは見方を変えると、
　「白いマスをはじめに8個並べて、そのうち2個を黒く塗り、
　　最後に黒いマスの間に1つの白いマスを入れる」
ということと同じになる。したがって、黒いマスが2個の場合の塗り方は
8個から2個を選ぶ方法の数となり、28通りとなる。
同様にして、
黒いマスが3個の場合、塗り方は7個から3個を選ぶ方法の数で35通り、
黒いマスが4個の場合、塗り方は6個から4個を選ぶ方法の数で15通り
となる。
黒いマスが5個の場合、塗り方は1通りしかなく、
黒いマスが6個以上の場合、黒いマスが必ず隣り合うので塗れない。
以上より、塗り方は89通りとなる。

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

投稿者：goodbook 投稿日：2016-07-29 05:19:22

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