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	P.115の問題番号「48」に対する解答別解法） Aが1ゲーム目に勝つ確率は1/2でこれで対戦は終了。一方、Aが1ゲーム目に負けると、この時のAとBの所持金はそれぞれ2円ずつの同額となる。そのため、 2ゲーム目以降のA,Bが勝つ確率は同じ1/2ずつとなる。したがって、Aが対戦に勝つ確率Paは、 Pa = 1/2 + (1/2)(1/2) = 3/4 となる。同様に、 Bが1ゲーム目に勝つと、この時のAとBの所持金はそれぞれ2円ずつの同額となる。そのため、 2ゲーム目以降のA,Bが勝つ確率は同じ1/2ずつとなる。したがって、Aが対戦に勝つ確率Pbは、 Pb = (1/2)(1/2) = 1/4 となる。結局、AとBの、対戦に勝つ確率の比は3:1。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-07-19 05:12:18
	P.113の問題番号「47」に対する解答 p.114の別解答） Aが2回の対戦で勝つ確率は、 Aが2連勝する確率であるので、　(2/3)(2/3) = 4/9。次に、Aが4回の対戦で勝つ確率は、最初の2回が1勝1敗でその後の2回をAが2連勝する確率であるので、　{(2/3)(1/3)+(1/3)(2/3)}(2/3)(2/3) = (4/9)(4/9) このようにして、Aが6回の対戦で勝つ確率、8回で勝つ確率を計算すると、それぞれ、　{(2/3)(1/3)+(1/3)(2/3)}^2(2/3)(2/3) = (4/9)^2(4/9) 　{(2/3)(1/3)+(1/3)(2/3)}^3(2/3)(2/3) = (4/9)^3(4/9) と計算できるので、Aが対戦に勝つ確率はこれらの合計で　P = 4/9 + (4/9)(4/9) + (4/9)^2(4/9) + (4/9)^3(4/9) +… となる。ここで、x < 1のとき、　1 + x + x^2 + x^3 +… = 1/(1-x) が成り立つことを考慮すると、　P = (4/9) (1 + 4/9 + (4/9)^2 + (4/9)^3 +… ) = (4/9) * 1/(1-4/9) = 4/5 が得られる。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-07-18 07:13:03
	P.103の問題番号「43」に対する解答 x^3 + y^3 = axy (a > 0)の第一象限にできる図形の面積。この問題の別解答のポイントだけ。(p.104の解答の方がシンプル）座標変換　x = (x - y)/√2 　y = (x + y)/√2 を上記の式に代入して、整理すると、　y^2 = (-√2 x^3 + a x^2)/(3√2 x + a ) と変形できる。このとき、図形はx軸について対称となることを考慮すると、　面積S = 2∫√{(-√2 x^3 + a x^2)/(3√2 x + a )} dx で計算できる。ここでxの積分範囲は0からa/√2まで。あとは、変数変換　3√2 x + a = 4 sin^2(θ）　（π/6 ≦ θ ≦ π/2) を行うと、比較的簡単に計算できる。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-07-14 06:28:55
	P.95の問題番号「39」に対する解答 p.96の解答は正しい？問題　dの間隔で等間隔に引かれた平行線で覆われている水平面上に、　長さr(≦d)の針を1本落としたとき、その針が平面上の線と交わる確率。解説今、xy平面を考え、x = …,-d, 0, d, …の位置に y軸と平行な線が引かれているとする。この平面上に、長さr(≦d)の針を落としたとき、針の両端点A,Bが次のようになる場合を考える。　Aの座標を(a,0)とする。ここで0≦a≦dとする。　（つまり、端点Aはx軸上の0からdの範囲を動く。）　Bの座標を(x,y)とする。ここでx≧a, y≧0とする。針をどのように落としても、座標変換を行うことで常にこの状態に変換することができる。この状態での端点Bの軌跡を考えると、端点Bは次の２つの領域に現れる。領域α：長方形領域(0≦x≦d,0≦y≦r)から　　　　中心を原点(0,0),半径をr,頂角を0≦θ≦π/2とした扇形領域　　　　を除いた領域　　　　（ここで、θはx軸正の向きからのなす角）領域β：中心を原点(d,0),半径をr,頂角を0≦θ≦π/2とした扇形領域したがって、問題の「針が平行線に交わる」という状況は、この場合、端点Bが領域βに現れるときのことになるので、針が平行線に交わる確率は、　領域βの面積/(領域αの面積+領域βの面積) で表されるはず。　領域βの面積 = πr^2 / 4 　領域αの面積+領域βの面積 = d r となるので、結局、針が平行線に交わる確率は、　πr/4d となる。 ※p.96の解答では、この確率は2r/πdとなっており、上記の答えと異なっていますが、どこが間違っているのでしょうか。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-07-13 04:59:02
	P.87の問題番号「35」に対する解答 1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 …　[注：割り算をすれば導けます] と書いてあったので、一応導出。左辺の分子の「1」に対して　1 = 1 - x + x = 1 - x + x - x^2 + x^2 = 1 - x + x - x^2 + x^2 - x^3 + x^3 = 1 - x + x - x^2 + x^2 - x^3 + x^3 - x^4 + x^4 のように順々にxのべき乗項を足し引きしていく。その上で、第1項と第2項、第3項と第4項、のように組み合わせていくと　1 = (1 - x) + (1 - x) x + (1 - x) x^2 + (1 - x) x^3 + … 　　= (1 - x)(1 + x + x^2 + x^3 + … ) となるので、この式の両辺を 1-x で割ると、 1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 … が導ける。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-07-08 05:34:36
	P.81の問題番号「32」に対する解答補足）３次方程式なので、複素数解は３つ。３次方程式　x^3 = m x + n　の実数解を　 x = P + Q (ここで、P＞Q）とおく。このとき、p.82の解法から、Pは　(∛p)^3 = P^3 の解である。したがって、この∛pについての３次方程式の複素数解は　∛p = P, Pω, P/ω　（ここでω=e^{2πi/3}）の３つとなる。一方、∛qは　3∛p∛q = m を満たすことを考慮すると、上記∛pの解の順序に対応して、　∛q = Q, Q/ω, Qω となる。したがって、３次方程式　x^3 = m x + n　の複素数解は　x = P + Q, Pω + Q/ω, P/ω + Qω の３つとなる。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-07-06 04:31:00
	P.77の問題番号「30」に対する解答フィボナッチ数列の一般項についての（p.78とは別の）導出は、 http://www.rethac.com/book_info.php?isbn=9784569823560&SearchIndex=Books&tab=answer&id=18&mode=detail に書いていました。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-07-01 04:36:24
	P.71の問題番号「27」に対する解答 1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+n) =1^2 + 3^2 +…+ n^2 (nが奇数） =2^2 + 4^2 +…+ n^2 (nが偶数） p.72とは別の証明） 1+2+…+n = n(n+1)/2 を利用すると、　1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+n) 　= Σ_{k=1}^{n} k(k+1)/2　・・・① と書くことができる。ここで、 Σ_{k=1}^{n}　はkについて1からnまでの和を表わす。 nが偶数の場合 n = 2m とおいて、①の右辺を奇数和と偶数和に分けて計算すると、　① = Σ_{k=1}^{m} 2k(2k+1)/2 + Σ_{k=1}^{m} (2k-1)(2k)/2 　　 = Σ_{k=1}^{m} (2k^2 + k) + Σ_{k=1}^{m} (2k^2 - k) 　　 = Σ_{k=1}^{m} (2k)^2 　　 = 2^2 + 4^2 +…+ n^2 が得られる。 nが奇数の場合 n = 2m+1 とおいて、①の右辺を奇数和と偶数和に分けて計算すると、　① = Σ_{k=1}^{m} 2k(2k+1)/2 + Σ_{k=1}^{m+1} (2k-1)(2k)/2 　　 = Σ_{k=1}^{m} {(2k-1)+1}{(2k-1)+2}/2 + Σ_{k=1}^{m} (2k-1){(2k-1)+1}/2 　　 + (m+1)(2m+1) 　　 = Σ_{k=1}^{m} (2k-1)^2 + Σ_{k=1}^{m} (4k-1) + (m+1)(2m+1) 　　 = Σ_{k=1}^{m} (2k-1)^2 + (2m+1)^2 　　 = Σ_{k=1}^{m+1} (2k-1)^2 　　 = 1^2 + 3^2 +…+ n^2 が得られる。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-06-29 05:22:05
	P.49の問題番号「18」に対する解答 p.50の解答で、下記の公式が使われていたのでメモ。任意の三角形ABCに対して　BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2・AB・AC cos(A) が成り立つ。証明）点Cから辺ABに対して下ろした垂線が交わる点をDとする。このとき、直角三角形BCDから三平方の定理より、　BC^2 = BD^2 + CD^2　…① が得られる。一方、直角三角形ACDから　AD = AC cos(A)　…② 　CD = AC sin(A)　…③ が得られるので、　BD = AB - AD であることを考慮して、①式に②③式を代入すると、　BC^2 = (AB - AC cos(A))^2 + (AC sin(A))^2 となり、sin^2(A) + cos^2(A) = 1であるので、結局　BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2・AB・AC cos(A) となる。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-06-18 05:51:00
	P.46の問題番号「16」に対する解答解答に対する補足 sin(54°) = (1 + √5)/4 がいきなり出てきたので、補足メモ。 1つの角が54°の直角三角形を考える。この直角三角形のもう一つの角は36°。そこで、θ=18°とすると、　54°= 3θ 　36°= 2θ と書くことができる。これを使うと直角三角形から、　sin(3θ) = cos(2θ)　…① 　cos(3θ) = sin(2θ)　…② という関係式が得られる。まず②式から、　sin(θ）= (-1 + √5)/4 が得られる。これを①式の右辺に代入すると、　sin(54°) = sin(3θ) = 1 - 2 sin^2(θ) = (1 + √5)/4 が得られる。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-06-17 06:29:13

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	P.115の問題番号「48」に対する解答別解法） Aが1ゲーム目に勝つ確率は1/2でこれで対戦は終了。一方、Aが1ゲーム目に負けると、この時のAとBの所持金はそれぞれ2円ずつの同額となる。そのため、 2ゲーム目以降のA,Bが勝つ確率は同じ1/2ずつとなる。したがって、Aが対戦に勝つ確率Paは、 Pa = 1/2 + (1/2)(1/2) = 3/4 となる。同様に、 Bが1ゲーム目に勝つと、この時のAとBの所持金はそれぞれ2円ずつの同額となる。そのため、 2ゲーム目以降のA,Bが勝つ確率は同じ1/2ずつとなる。したがって、Aが対戦に勝つ確率Pbは、 Pb = (1/2)(1/2) = 1/4 となる。結局、AとBの、対戦に勝つ確率の比は3:1。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-07-19 05:12:18
	P.113の問題番号「47」に対する解答 p.114の別解答） Aが2回の対戦で勝つ確率は、 Aが2連勝する確率であるので、　(2/3)(2/3) = 4/9。次に、Aが4回の対戦で勝つ確率は、最初の2回が1勝1敗でその後の2回をAが2連勝する確率であるので、　{(2/3)(1/3)+(1/3)(2/3)}(2/3)(2/3) = (4/9)(4/9) このようにして、Aが6回の対戦で勝つ確率、8回で勝つ確率を計算すると、それぞれ、　{(2/3)(1/3)+(1/3)(2/3)}^2(2/3)(2/3) = (4/9)^2(4/9) 　{(2/3)(1/3)+(1/3)(2/3)}^3(2/3)(2/3) = (4/9)^3(4/9) と計算できるので、Aが対戦に勝つ確率はこれらの合計で　P = 4/9 + (4/9)(4/9) + (4/9)^2(4/9) + (4/9)^3(4/9) +… となる。ここで、x < 1のとき、　1 + x + x^2 + x^3 +… = 1/(1-x) が成り立つことを考慮すると、　P = (4/9) (1 + 4/9 + (4/9)^2 + (4/9)^3 +… ) = (4/9) * 1/(1-4/9) = 4/5 が得られる。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-07-18 07:13:03
	P.103の問題番号「43」に対する解答 x^3 + y^3 = axy (a > 0)の第一象限にできる図形の面積。この問題の別解答のポイントだけ。(p.104の解答の方がシンプル）座標変換　x = (x - y)/√2 　y = (x + y)/√2 を上記の式に代入して、整理すると、　y^2 = (-√2 x^3 + a x^2)/(3√2 x + a ) と変形できる。このとき、図形はx軸について対称となることを考慮すると、　面積S = 2∫√{(-√2 x^3 + a x^2)/(3√2 x + a )} dx で計算できる。ここでxの積分範囲は0からa/√2まで。あとは、変数変換　3√2 x + a = 4 sin^2(θ）　（π/6 ≦ θ ≦ π/2) を行うと、比較的簡単に計算できる。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-07-14 06:28:55
	P.95の問題番号「39」に対する解答 p.96の解答は正しい？問題　dの間隔で等間隔に引かれた平行線で覆われている水平面上に、　長さr(≦d)の針を1本落としたとき、その針が平面上の線と交わる確率。解説今、xy平面を考え、x = …,-d, 0, d, …の位置に y軸と平行な線が引かれているとする。この平面上に、長さr(≦d)の針を落としたとき、針の両端点A,Bが次のようになる場合を考える。　Aの座標を(a,0)とする。ここで0≦a≦dとする。　（つまり、端点Aはx軸上の0からdの範囲を動く。）　Bの座標を(x,y)とする。ここでx≧a, y≧0とする。針をどのように落としても、座標変換を行うことで常にこの状態に変換することができる。この状態での端点Bの軌跡を考えると、端点Bは次の２つの領域に現れる。領域α：長方形領域(0≦x≦d,0≦y≦r)から　　　　中心を原点(0,0),半径をr,頂角を0≦θ≦π/2とした扇形領域　　　　を除いた領域　　　　（ここで、θはx軸正の向きからのなす角）領域β：中心を原点(d,0),半径をr,頂角を0≦θ≦π/2とした扇形領域したがって、問題の「針が平行線に交わる」という状況は、この場合、端点Bが領域βに現れるときのことになるので、針が平行線に交わる確率は、　領域βの面積/(領域αの面積+領域βの面積) で表されるはず。　領域βの面積 = πr^2 / 4 　領域αの面積+領域βの面積 = d r となるので、結局、針が平行線に交わる確率は、　πr/4d となる。 ※p.96の解答では、この確率は2r/πdとなっており、上記の答えと異なっていますが、どこが間違っているのでしょうか。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-07-13 04:59:02
	P.87の問題番号「35」に対する解答 1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 …　[注：割り算をすれば導けます] と書いてあったので、一応導出。左辺の分子の「1」に対して　1 = 1 - x + x = 1 - x + x - x^2 + x^2 = 1 - x + x - x^2 + x^2 - x^3 + x^3 = 1 - x + x - x^2 + x^2 - x^3 + x^3 - x^4 + x^4 のように順々にxのべき乗項を足し引きしていく。その上で、第1項と第2項、第3項と第4項、のように組み合わせていくと　1 = (1 - x) + (1 - x) x + (1 - x) x^2 + (1 - x) x^3 + … 　　= (1 - x)(1 + x + x^2 + x^3 + … ) となるので、この式の両辺を 1-x で割ると、 1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 … が導ける。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-07-08 05:34:36
	P.81の問題番号「32」に対する解答補足）３次方程式なので、複素数解は３つ。３次方程式　x^3 = m x + n　の実数解を　 x = P + Q (ここで、P＞Q）とおく。このとき、p.82の解法から、Pは　(∛p)^3 = P^3 の解である。したがって、この∛pについての３次方程式の複素数解は　∛p = P, Pω, P/ω　（ここでω=e^{2πi/3}）の３つとなる。一方、∛qは　3∛p∛q = m を満たすことを考慮すると、上記∛pの解の順序に対応して、　∛q = Q, Q/ω, Qω となる。したがって、３次方程式　x^3 = m x + n　の複素数解は　x = P + Q, Pω + Q/ω, P/ω + Qω の３つとなる。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-07-06 04:31:00
	P.77の問題番号「30」に対する解答フィボナッチ数列の一般項についての（p.78とは別の）導出は、 http://www.rethac.com/book_info.php?isbn=9784569823560&SearchIndex=Books&tab=answer&id=18&mode=detail に書いていました。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-07-01 04:36:24
	P.71の問題番号「27」に対する解答 1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+n) =1^2 + 3^2 +…+ n^2 (nが奇数） =2^2 + 4^2 +…+ n^2 (nが偶数） p.72とは別の証明） 1+2+…+n = n(n+1)/2 を利用すると、　1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+n) 　= Σ_{k=1}^{n} k(k+1)/2　・・・① と書くことができる。ここで、 Σ_{k=1}^{n}　はkについて1からnまでの和を表わす。 nが偶数の場合 n = 2m とおいて、①の右辺を奇数和と偶数和に分けて計算すると、　① = Σ_{k=1}^{m} 2k(2k+1)/2 + Σ_{k=1}^{m} (2k-1)(2k)/2 　　 = Σ_{k=1}^{m} (2k^2 + k) + Σ_{k=1}^{m} (2k^2 - k) 　　 = Σ_{k=1}^{m} (2k)^2 　　 = 2^2 + 4^2 +…+ n^2 が得られる。 nが奇数の場合 n = 2m+1 とおいて、①の右辺を奇数和と偶数和に分けて計算すると、　① = Σ_{k=1}^{m} 2k(2k+1)/2 + Σ_{k=1}^{m+1} (2k-1)(2k)/2 　　 = Σ_{k=1}^{m} {(2k-1)+1}{(2k-1)+2}/2 + Σ_{k=1}^{m} (2k-1){(2k-1)+1}/2 　　 + (m+1)(2m+1) 　　 = Σ_{k=1}^{m} (2k-1)^2 + Σ_{k=1}^{m} (4k-1) + (m+1)(2m+1) 　　 = Σ_{k=1}^{m} (2k-1)^2 + (2m+1)^2 　　 = Σ_{k=1}^{m+1} (2k-1)^2 　　 = 1^2 + 3^2 +…+ n^2 が得られる。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-06-29 05:22:05
	P.49の問題番号「18」に対する解答 p.50の解答で、下記の公式が使われていたのでメモ。任意の三角形ABCに対して　BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2・AB・AC cos(A) が成り立つ。証明）点Cから辺ABに対して下ろした垂線が交わる点をDとする。このとき、直角三角形BCDから三平方の定理より、　BC^2 = BD^2 + CD^2　…① が得られる。一方、直角三角形ACDから　AD = AC cos(A)　…② 　CD = AC sin(A)　…③ が得られるので、　BD = AB - AD であることを考慮して、①式に②③式を代入すると、　BC^2 = (AB - AC cos(A))^2 + (AC sin(A))^2 となり、sin^2(A) + cos^2(A) = 1であるので、結局　BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2・AB・AC cos(A) となる。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-06-18 05:51:00
	P.46の問題番号「16」に対する解答解答に対する補足 sin(54°) = (1 + √5)/4 がいきなり出てきたので、補足メモ。 1つの角が54°の直角三角形を考える。この直角三角形のもう一つの角は36°。そこで、θ=18°とすると、　54°= 3θ 　36°= 2θ と書くことができる。これを使うと直角三角形から、　sin(3θ) = cos(2θ)　…① 　cos(3θ) = sin(2θ)　…② という関係式が得られる。まず②式から、　sin(θ）= (-1 + √5)/4 が得られる。これを①式の右辺に代入すると、　sin(54°) = sin(3θ) = 1 - 2 sin^2(θ) = (1 + √5)/4 が得られる。数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875) 投稿者：goodbook 投稿日：2016-06-17 06:29:13