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ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.254の問題番号「7.2.12」 に対する解答

系$\dot{x}=-x+2y^3-2y^4, \ \ \dot{y}=-x-y+xy$は周期解をもたない。
証明）まず、この系の固定点は$(0,0)$のみである。次に、$V=x^m+ay^n$とおくと、
\[ \begin{align}
\dot{V} &= m x^{m-1} \dot{x} + na y^{n-1} \dot{y} \\
&= m x^{m-1} (-x+2y^3-2y^4) + na y^{n-1} (-x-y+xy) \\
&= -mx^m -nay^n + 2mx^{m-1}y^3 -naxy^{n-1} -2mx^{m-1}y^4 +naxy^n
\end{align}
\]となる。$V$が正定値であるためには$m, \ n$は偶数、$a>0$でなければならない。これを考慮すると、$\dot{V}<0$が成り立つためには、
\[ 2mx^{m-1}y^3 -naxy^{n-1}=0, \ \ -2mx^{m-1}y^4 +naxy^n = 0 \]であることが期待される。これらのことから、$m=2, \ \ n=4, \ \ a=1$が得られ、
\[ V= x^2 + y^4, \ \ \dot{V} = -2x^2 -4y^4 \]となる。したがって、$V>0$かつ$\dot{V}<0$がすべての$(x,y) \neq (0,0)$に対して成り立つ。ゆえに、$V=x^2+y^4$はリアプノフ関数であり、この系は周期解をもたない。

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-24 07:00:34

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.254の問題番号「7.2.11」 に対する解答

\[ V = ax^2 +2bxy +cy^2 = a \left( x + \frac{b}{a}y \right)^2 + \frac{ac-b^2}{a} y^2 \]と変形できるので、$V$が正定値となるためには$a>0$かつ$ac-b^2>0$であることと同値であることがわかる。

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 17:31:33

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.254の問題番号「7.2.10」 に対する解答

系$\dot{x}=y-x^3, \ \ \dot{y} = -x - y^3$
まず、この系の固定点は$(0,0)$のみである。次に、$V=ax^2+by^2$とすると、
\[ \dot{V} = 2a x \dot{x} + 2b y \dot{y} = 2ax(y-x^3)+2b(-x-y^3)=2(a-b)xy -2ax^4-2by^4 \]が成り立つ。もし、$a=b=1$と選ぶと、$xy$項はなくなり$\dot{V}=-2x^4-2y^4$となる。したがって、$V>0$かつ$\dot{V}<0$がすべての$(x,y) \neq (0,0)$に対して成り立つ。ゆえに、$V=x^2+y^2$はリアプノフ関数であり、閉軌道は存在しない。

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 17:20:26

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.254の問題番号「7.2.9」 に対する解答へのコメント

(a) $\dot{x} = y+x^2 y, \ \ \dot{y}=-x + 2xy $
\[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 1+x^2, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = -1+2y \]となるので、この系は勾配系ではない。

(b) $\dot{x} = 2x, \ \ \dot{y} = 8y $
\[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 0, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = 0 \]となるので、この系は勾配系となり、ポテンシャル関数は
\[V(x,y) = -x^2-4y^2 \]となる。この系の固定点は$(0,0)$。ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}, \ \ \tau=10, \ \ \Delta = 16, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 36 \]となるので、不安定ノードとなる。
このときの相図と等ポテンシャル曲線は添付図のようになる。

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 13:02:48

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.254の問題番号「7.2.9」 に対する解答

(a) $\dot{x} = y+x^2 y, \ \ \dot{y}=-x + 2xy $
\[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 1+x^2, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = -1+2y \]となるので、この系は勾配系ではない。

(b) $\dot{x} = 2x, \ \ \dot{y} = 8y $
\[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 0, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = 0 \]となるので、この系は勾配系となり、ポテンシャル関数は
\[V(x,y) = -x^2-4y^2 \]となる。この系の固定点は$(0,0)$。ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}, \ \ \tau=10, \ \ \Delta = 16, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 36 \]となるので、不安定ノードとなる。
このときの相図と等ポテンシャル曲線は添付図のようになる。

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 13:01:21

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.254の問題番号「7.2.8」 に対する解答

勾配系の軌道は常に等ポテンシャル曲線に直交する。
証明）等ポテンシャル曲線上の任意の点$(x,y)$とその点での接線ベクトルを$(u,v)$とする。このとき、十分小さな$\varepsilon$に対して、
\[ V(x,y) = V(x+\varepsilon u, y+\varepsilon v) \]と置くことができる。右辺を展開すると、
\[ V(x+\varepsilon u, y+\varepsilon v) = V(x,y) + \varepsilon \frac{ \partial V(x,y) }{\partial x} u + \varepsilon \frac{ \partial V(x,y) }{\partial y} v \]となる。したがって、
\[ \frac{ \partial V(x,y) }{\partial x} u + \frac{ \partial V(x,y) }{\partial y} v = 0 \]が得られる。ここで、
\[ \dot{x} = - \frac{ \partial V(x,y) }{\partial x}, \ \ \dot{y} = - \frac{ \partial V(x,y) }{\partial y} \]であることを考慮すると、
\[ \dot{x} u + \dot{y} v = 0 \]となる。これは勾配系の軌道が等ポテンシャル曲線に直交することを示している。

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 10:41:17

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.253の問題番号「7.2.7」 に対する解答

系$\dot{x}=y+2xy, \ \ \dot{y} = x+x^2-y^2$
(a) $f(x,y) = y+2xy, \ \ g(x,y) = x+x^2-y^2$とおくと、
\[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 1+2x, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = 1+2x \]となるので、$\partial f / \partial y = \partial g / \partial x$が成り立つ。

(b) まず、
\[ -\frac{\partial V(x,y)}{\partial x} = y +2xy \]より
\[ V(x,y) = -x y -x^2 y +C(y) \]となる。ここで$C(y)$は$y$の関数である。これを、
\[ -\frac{\partial V(x,y)}{\partial y} = x + x^2 - y^2 \]に代入すると、
\[ \frac{d C(y)}{d y} = y^2 \]が得られ、定数項を省略すると、$C(y)=y^3/3$となる。したがって、
\[ V(x,y) = -x y -x^2 y +\frac{1}{3} y^3 \]となる。

(c) この系の固定点は$(0,0), \ \ (-1,0)$。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau=0, \ \ \Delta = -1 \]となるので、サドル点である。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]
\[ (-1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau=0, \ \ \Delta = -1 \]となるので、サドル点である。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]相図は添付図のようになる。

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 09:28:26

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.253の問題番号「7.2.6」 に対する解答

(a) $\dot{x}=y^2+y \cos x, \ \ \dot{y} = 2xy + \sin x $
まず、
\[ -\frac{\partial V(x,y)}{\partial x} = y^2 + y \cos x \]より
\[ V(x,y) = -x y^2 - y \sin x + C(y) \]となる。ここで$C(y)$は$y$の関数である。これを、
\[ -\frac{\partial V(x,y)}{\partial y} = 2xy + \sin x \]に代入すると、
\[ \frac{d C(y)}{d y} = 0 \]が得られる。つまり、$C(y)$は定数項である。したがって、$C(y)=0$と選ぶと、
\[ V(x,y) = -x y^2 - y \sin x \]となる。


(b) $\dot{x} = 3x^2-1-e^{2y}, \ \ \dot{y} = -2 x e^{2y} $
まず、
\[ -\frac{\partial V(x,y)}{\partial x} = 3x^2-1-e^{2y} \]より
\[ V(x,y) = -x^3 + x + x e^{2y} + C(y) \]となる。ここで$C(y)$は$y$の関数である。これを、
\[ -\frac{\partial V(x,y)}{\partial y} = -2 x e^{2y} \]に代入すると、
\[ \frac{d C(y)}{d y} = 0 \]が得られる。つまり、$C(y)$は定数項である。したがって、$C(y)=0$と選ぶと、
\[ V(x,y) =-x^3 + x + x e^{2y} \]となる。

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 06:02:09

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.253の問題番号「7.2.5」 に対する解答

(a) 系$\dot{x} = f(x,y), \ \ \dot{y} = g(x,y)$が勾配系であるならば、$\partial f / \partial y = \partial g / \partial x$。
証明）系が勾配系であるので、
\[ f(x,y) = -\frac{\partial V(x,y)}{\partial x}, \ \ g(x,y) = -\frac{\partial V(x,y)}{\partial y} \]となるポテンシャル$V(x,y)$が存在する。このとき、
\[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = -\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y \partial x}, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = -\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x \partial y} \]となり、$V(x,y)$が連続微分可能な関数であることを考慮すると、
\[ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial g(x,y)}{ \partial x} \]が成り立つ。

(b) $\partial f / \partial y = \partial g / \partial x$ならば、系$\dot{x} = f(x,y), \ \ \dot{y} = g(x,y)$は勾配系か？
まず、
\[ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial g(x,y)}{ \partial x} = v(x,y) \]とおくと、
\[ f(x,y)= \int^y v(x,y') d y', \ \ g(x,y)= \int^x v(x',y) d x' \]と表すことができる。次に、$f, \ g$をそれぞれ、
\[ f(x,y) = -\frac{\partial V_f(x,y)}{\partial x}, \ \ g(x,y) = -\frac{\partial V_g(x,y)}{\partial y} \]と表すことができるとすると、
\[ V_f(x,y)= -\int^x \left( \int^y v(x',y') d y' \right) d x', \ \ V_g(x,y)= -\int^y \left( \int^x v(x',y') d x' \right) d y' \]となる。$f,g$が滑らかな関数であることを考慮すると、
\[ V_f(x,y) = V_g(x,y) \]となり、これらの関数をポテンシャル関数とみなすことができる。したがって、系$\dot{x} = f(x,y), \ \ \dot{y} = g(x,y)$は勾配系となる。

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-23 05:34:41

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.253の問題番号「7.2.4」 に対する解答

・直線上のベクトル場はすべて勾配系である。
証明）１次元系$\dot{x}=f(x)$を考える。$f(x)$は$x$の滑らかな実数値の関数であるので、
\[ f(x) = - \frac{d V(x)}{d x} \]となるような関数$V(x)$をもつ。すなわち、ポテンシャル関数$V(x)$を常に持つことができるので、直線上のベクトル場はすべて勾配系である。

・円上のベクトル場の場合
解）系を$\dot{\theta} = f(\theta)$と表すと、$f(\theta)$は$f(\theta + 2\pi) = f(\theta)$を満たす。
例えば、一様な振動子$f(\theta)=\omega$の場合を考えると、これは$f(\theta + 2\pi) = f(\theta)$を満足する。
一方、$f(\theta)= -d V(\theta)/d \theta$となる$V(\theta)$は、
\[ V(\theta) = - \omega \theta + C \]となる。この関数$V(\theta)$は$V(\theta+2\pi) \neq V(\theta)$となり、１価関数ではない。
したがって、円上のベクトル場はすべて勾配系になるとは限らない。

ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-22 05:20:26

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