自宅で参加できる読書会
NO. 00218464 DATE 2020 10 30

Web読書会サイト「RETHAC」とは

Web上で読書会を行うサイトです。
時間も場所も選ばずにいつでもどこからでも
読書感想や意見を交換することができます。

「初めての方へ」より

登録して今すぐ参加する(無料)

本の検索

これまで紹介された気になるフレーズ

最新情報

新着記事順

新着書籍順

投稿数順

キーワードを設定して記事を絞り込む

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |  次へ >>  [22]

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.205の問題番号「6.5.4」 に対する解答

系$\ddot{x} = a x - x^2$
この系をベクトル場として表すと、
$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = a x - x^2$
この系の固定点は$(0,0),\ \ (a,0)$。ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a-2x & 0 \end{pmatrix} \]
i) $a<0$のとき
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -a>0$となるので、センターと予想される。
\[ (a,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -a & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = a<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{-a} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{-a} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{-a} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{-a} \end{pmatrix} \]ii) $a=0$のとき
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 0$となるので、孤立していない固定点と予想される。
iii) $a>0$のとき
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -a<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{a} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{a} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{a} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{a} \end{pmatrix} \]
\[ (a,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -a & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = a>0$となるので、センターと予想される。
これらの相図は添付図のようになる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-10-28 05:26:21

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.205の問題番号「6.5.3」 に対する解答

系$\ddot{x} = a - e^x$
この系をベクトル場として表すと、
$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = a - e^x$
この系の保存量は、
\[ E = \frac{1}{2} y^2 - a x + e^x \]となる。

i) $a<0$のとき、固定点はなし。
ii) $a=0$のとき、固定点はなし。
iii) $a>0$のとき、固定点は$(\ln a, 0)$。ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -a & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = a>0$となるので、センターと予想される。
これらの相図は添付図のようになる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-10-27 05:05:59

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.205の問題番号「6.5.2」 に対する解答

系$\ddot{x} = x - x^2$
(a) この系をベクトル場として表すと、
$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = x - x^2$
この系の固定点は$(0,0), \ \ (1,0)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - 2x & 0 \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -1<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]
\[ (1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。

(b) 相図は添付図のようになる。

(c) この系の保存量は、
\[ E = \frac{1}{2} y^2 - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3 \]となる。ホモクリニック軌道は$(0,0)$を通るので、その軌道の式は
\[ \frac{1}{2} y^2 - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3 = 0 \]となる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-10-26 04:16:49

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.205の問題番号「6.5.1」 に対する解答

系$\ddot{x} = x^3 -x$
(a) この系をベクトル場として表すと、
$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = x^3 -x$
この系の固定点は$(0,0), \ \ (\pm 1,0)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3x^2-1 & 0 \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。
\[ (\pm 1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -2<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{2} \end{pmatrix} \]

(b) この系の方程式の両辺に$\dot{x}$をかけると、
\[ \dot{x} \ddot{x} = x^3 \dot{x} - x \dot{x} \\
\frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{2} \dot{x}^2 - \frac{1}{4} x^4 + \frac{1}{2} x^2 \right] = 0 \]したがって、保存量は
\[ E = \frac{1}{2} y^2 - \frac{1}{4} x^4 + \frac{1}{2} x^2 \]となる。

(c) 相図は添付図のようになる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-10-25 08:41:30

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.7」 に対する解答へのコメント

レート方程式
\[ \dot{n}_1 = G_1 N n_1 - k_1 n_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 \alpha_1 n_1^2 - G_1 \alpha_2 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = G_2 N n_2 - k_2 n_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 \alpha_1 n_1 n_2 - G_2 \alpha_2 n_2^2 \]まず、$\alpha_1 n_1 \to n_1, \ \ \alpha_2 n_2 \to n_2$と置き換えてもその性質は変わらない。
\[ \dot{n}_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 n_1^2 - G_1 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 n_1 n_2 - G_2 n_2^2 \]
(a) この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 -2G_1 n_1 - G_1 n_2 & -G_1 n_1 \\ -G_2 n_2 & G_2 N_0 -k_2 - G_2 n_1 -2 G_2 n_2 \end{pmatrix} \]で、固定点$(0,0)$に対するヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 & 0 \\ 0 & G_2 N_0 -k_2 \end{pmatrix} \]となる。したがって、
i) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、不安定ノード。
ii) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、サドル点。
iii) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、サドル点。
iv) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、安定ノード。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-10-24 10:47:48

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.7」 に対する解答へのコメント

レート方程式
\[ \dot{n}_1 = G_1 N n_1 - k_1 n_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 \alpha_1 n_1^2 - G_1 \alpha_2 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = G_2 N n_2 - k_2 n_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 \alpha_1 n_1 n_2 - G_2 \alpha_2 n_2^2 \]まず、$\alpha_1 n_1 \to n_1, \ \ \alpha_2 n_2 \to n_2$と置き換えてもその性質は変わらない。
\[ \dot{n}_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 n_1^2 - G_1 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 n_1 n_2 - G_2 n_2^2 \]
(a) この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 -2G_1 n_1 - G_1 n_2 & -G_1 n_1 \\ -G_2 n_2 & G_2 N_0 -k_2 - G_2 n_1 -2 G_2 n_2 \end{pmatrix} \]で、固定点$(0,0)$に対するヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 & 0 \\ 0 & G_2 N_0 -k_2 \end{pmatrix} \]となる。したがって、
i) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、不安定ノード。
ii) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、サドル点。
iii) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、サドル点。
iv) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、安定ノード。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-10-24 10:45:29

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.7」 に対する解答へのコメント

レート方程式
\[ \dot{n}_1 = G_1 N n_1 - k_1 n_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 \alpha_1 n_1^2 - G_1 \alpha_2 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = G_2 N n_2 - k_2 n_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 \alpha_1 n_1 n_2 - G_2 \alpha_2 n_2^2 \]まず、$\alpha_1 n_1 \to n_1, \ \ \alpha_2 n_2 \to n_2$と置き換えてもその性質は変わらない。
\[ \dot{n}_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 n_1^2 - G_1 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 n_1 n_2 - G_2 n_2^2 \]
(a) この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 -2G_1 n_1 - G_1 n_2 & -G_1 n_1 \\ -G_2 n_2 & G_2 N_0 -k_2 - G_2 n_1 -2 G_2 n_2 \end{pmatrix} \]で、固定点$(0,0)$に対するヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 & 0 \\ 0 & G_2 N_0 -k_2 \end{pmatrix} \]となる。したがって、
i) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、不安定ノード。
ii) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、サドル点。
iii) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、サドル点。
iv) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、安定ノード。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-10-24 10:39:26

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.7」 に対する解答へのコメント

レート方程式
\[ \dot{n}_1 = G_1 N n_1 - k_1 n_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 \alpha_1 n_1^2 - G_1 \alpha_2 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = G_2 N n_2 - k_2 n_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 \alpha_1 n_1 n_2 - G_2 \alpha_2 n_2^2 \]まず、$\alpha_1 n_1 \to n_1, \ \ \alpha_2 n_2 \to n_2$と置き換えてもその性質は変わらない。
\[ \dot{n}_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 n_1^2 - G_1 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 n_1 n_2 - G_2 n_2^2 \]
(a) この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 -2G_1 n_1 - G_1 n_2 & -G_1 n_1 \\ -G_2 n_2 & G_2 N_0 -k_2 - G_2 n_1 -2 G_2 n_2 \end{pmatrix} \]で、固定点$(0,0)$に対するヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 & 0 \\ 0 & G_2 N_0 -k_2 \end{pmatrix} \]となる。したがって、
i) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、不安定ノード。
ii) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、サドル点。
iii) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、サドル点。
iv) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、安定ノード。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-10-24 10:36:59

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.7」 に対する解答

レート方程式
\[ \dot{n}_1 = G_1 N n_1 - k_1 n_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 \alpha_1 n_1^2 - G_1 \alpha_2 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = G_2 N n_2 - k_2 n_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 \alpha_1 n_1 n_2 - G_2 \alpha_2 n_2^2 \]まず、$\alpha_1 n_1 \to n_1, \ \ \alpha_2 n_2 \to n_2$と置き換えてもその性質は変わらない。
\[ \dot{n}_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 n_1^2 - G_1 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 n_1 n_2 - G_2 n_2^2 \]
(a) この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 -2G_1 n_1 - G_1 n_2 & -G_1 n_1 \\ -G_2 n_2 & G_2 N_0 -k_2 - G_2 n_1 -2 G_2 n_2 \end{pmatrix} \]で、固定点$(0,0)$に対するヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 & 0 \\ 0 & G_2 N_0 -k_2 \end{pmatrix} \]となる。したがって、
i) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、不安定ノード。
ii) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、サドル点。
iii) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、サドル点。
iv) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、安定ノード。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-10-24 10:30:51

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.6」 に対する解答へのコメント

$ \dot{N_1} = r_1 N_1(1-N_1/K_1) -b_1 N_1 N_2, \ \ \dot{N_2} = r_2 N_2(1-N_2/K_2) -b_2 N_1 N_2 $
(a) $N_1, \ N_2, \ t$を
\[ N_1 = \frac{r_1}{b_2} x, \ \ N_2 = \frac{r_1}{b_1} y, \ \ t = \frac{1}{r_1} \tau \]とリスケールすると、
\[ x' = x (1-x/k_1-y), \ \ y' = y ( \rho - x -y/k_2 ) \]となる。ここで、$\rho = r_2/r_1, \ \ k_1 = b_2 K_1/r_1, \ \ k_1 = b_1 K_2/r_2$とおいた。
したがって、無次元量は3つ必要となる。

(b) ヌルクラインを描くことで、4つの定性的に異なる相図があることがわかる。
i) $k_1 < \rho, \ \ k_2 \rho < 1$のとき
この系の固定点は$(0,0), \ \ (k_1,0), \ \ (0,k_2 \rho), \ \ ( k_1(1 - k_2 \rho)/(1-k_1 k_2), k_2(\rho-k_1)/(1-k_1 k_2)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 1-2x/k_1 - y & -x \\ -y & \rho - x - 2y/k_2 \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1+\rho > 0, \ \ \Delta = \rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (1-\rho)^2 \geq 0$となるので、不安定ノードまたは不安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (k_1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & -k_1 \\ 0 & \rho - k_1 \end{pmatrix} \] $\tau = \rho-k_1-1, \ \ \Delta = k_1-\rho < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho-k_1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} k_1 \\ k_1-\rho-1 \end{pmatrix} \]
\[ (0,k_2 \rho) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1-k_2 \rho & 0 \\ -k_2 \rho & -\rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1-k_2 \rho-\rho, \ \ \Delta = - \rho (1-k_2 \rho ) < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = 1 - k_2 \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} \rho + 1 \\ -k_2 \rho \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-10-21 05:29:21

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |  次へ >>  [22]