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NO. 00194737 DATE 2020 07 12

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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.156の問題番号「5.1.13」 に対する解答

サドル点はある方向から見ると、谷の底になっているが、別の方向からみると山の頂上になっている。この形がちょうど馬の鞍(サドル)と同じ形をしているため。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-07-12 11:14:15

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.156の問題番号「5.1.12」 に対する解答

$v$軸上の$(0,-v_0)$から出発する軌道を考えると、ベクトル場の形状から
その軌道はある$(-x,0)$で$x$軸に交差する。
ここでベクトル場が$v \to -v, \ \ t \to -t$に対して対称であるので、
$(-x,0)$から出発する軌道は$(0,v_0)$で$y$軸に交差する。
さらに、ベクトル場が$x \to -x, \ \ t \to -t$に対して対称であるので、
$(0,v_0)$から出発する軌道は$(x,0)$で$x$軸に交差する。
最後に、ベクトル場が$v \to -v, \ \ t \to -t$に対して対称であるので、
$(x,0)$から出発する軌道は$(0,-v_0)$で$y$軸に交差する。
以上のことから、調和振動子は閉軌道となる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-07-12 11:11:58

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.156の問題番号「5.1.11」 に対する解答へのコメント

(a) $\dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -4 x$
この系の軌道は楕円$x^2 + \frac{y^2}{4} = C$となる。
従って、任意の$\varepsilon > 0$に対して$\delta = \varepsilon/2$とると、
$\sqrt{ x^2(0) + y^2(0)} < \delta$ならば$\sqrt{ x^2(t) + y^2(t)} < \varepsilon$となるので、
この系はリアプノフ安定となる。

(d) $\dot{x} = 0, \ \ \dot{y} = -y$
この系の解は$x= x_0, \ \ y = y_0 e^{-t}$である。
従って、任意の$\varepsilon > 0$に対して$\delta = \varepsilon$ととると、
$\sqrt{ x^2(0) + y^2(0)} < \delta$ならば$\sqrt{ x^2(t) + y^2(t)} < \varepsilon$となるので、
この系はリアプノフ安定となる。

(e) $\dot{x} = -x, \ \ \dot{y} = -5y$
この系の解は、$x= x_0 e^{-t}, \ \ y= y_0 e^{-5t}$である。
従って、任意の$(x(0), y(0)) = (x_0, y_0)$に対して
$\lim_{t \to \infty} (x(t), y(t)) = (0,0)$となるので吸引的であり、
また、任意の$\varepsilon > 0$に対して$\delta = \varepsilon/2$とると、
$\sqrt{ x^2(0) + y^2(0)} < \delta$ならば$\sqrt{ x^2(t) + y^2(t)} < \varepsilon$となるので、
この系はリアプノフ安定でもある。つまり、この系は漸近安定である。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-07-12 11:01:31

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.156の問題番号「5.1.11」 に対する解答

(a) $\dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -4 x$
この系の軌道は楕円$x^2 + \frac{y^2}{4} = C$となる。
従って、任意の$\varepsilon > 0$に対して$\delta = \varepsilon/2$とると、
$\sqrt{ x^2(0) + y^2(0)} < \delta$ならば$\sqrt{ x^2(t) + y^2(t)} < \varepsilon$となるので、
この系はリアプノフ安定となる。

(d) $\dot{x} = 0, \ \ \dot{y} = -y$
この系の解は$x= x_0, \ \ y = y_0 e^{-t}$である。
従って、任意の$\varepsilon > 0$に対して$\delta = \varepsilon$ととると、
$\sqrt{ x^2(0) + y^2(0)} < \delta$ならば$\sqrt{ x^2(t) + y^2(t)} < \varepsilon$となるので、
この系はリアプノフ安定となる。

(e) $\dot{x} = -x, \ \ \dot{y} = -5y$
この系の解は、$x= x_0 e^{-t}, \ \ y= y_0 e^{-5t}$である。
従って、任意の$(x(0), y(0)) = (x_0, y_0)$に対して
$\lim_{t \to \infty} (x(t), y(t)) = (0,0)$となるので吸引的であり、
また、任意の$\varepsilon > 0$に対して$\delta = \varepsilon/2$とると、
$\sqrt{ x^2(0) + y^2(0)} < \delta$ならば$\sqrt{ x^2(t) + y^2(t)} < \varepsilon$となるので、
この系はリアプノフ安定でもある。つまり、この系は漸近安定である。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-07-12 10:56:28

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.155の問題番号「5.1.10」 に対する解答

(a) $\dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -4x$
この系の軌道は楕円$x^2 + \frac{y^2}{4} = C$を描く。
従って、原点は吸引的ではないが、リアプノフ安定である。

(b) $\dot{x} = 2 y, \ \ \dot{y} = x$
この系の軌道は双曲線$\frac{x^2}{2} - y^2 = C$を描く。
従って、原点は吸引的でもなく、リアプノフ安定でもない。

(c) $\dot{x} = 0, \ \ \dot{y} = x$
この系の解は$x=x_0, \ \ y= x_0 t + y_0$となる。
従って、原点は吸引的でもなく、リアプノフ安定でもない。

(d) $\dot{x} = 0, \ \ \dot{y} = -y$
この系の解は$x=x_0, \ \ y= y_0 e^{-t}$となる。
従って、原点は吸引的ではないが、リアプノフ安定である。

(e) $\dot{x} =-x, \ \ \dot{y} = -5y$
この系の解は$x=x_0 e^{-t}, \ \ y = y_0 e^{-5t}$となる。
従って、原点は漸近安定である。

(f) $\dot{x} =x, \ \ \dot{y} = y$
この系の解は$x=x_0 e^t, \ \ y = y_0 e^t$となる。
従って、原点は吸引的でもなく、リアプノフ安定でもない。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-07-11 06:16:38

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.155の問題番号「5.1.9」 に対する解答

系$\dot{x} = -y, \ \ \dot{y} = -x$

(a) 省略
(b) $\dot{x}$の式を$\dot{y}$の式で割ると、
\[ \frac{\dot{x}}{\dot{y}} = \frac{y}{x} \\
x \dot{x} - y \dot{y} = 0 \\
\frac{1}{2} \frac{d}{dt} ( x^2 - y^2 ) = 0 \]となるので、この両辺を積分すると、
\[ x^2 - y^2 = C \]が得られる。

(c) 安定多様体は$y=x$、不安定多様体は$y=-x$となる。

(d) 系を$u=x+y, \ \ v=x-y$として書き直すと、
\[ \dot{u} = \dot{x} + \dot{y} = -y -x = -u \\
\dot{v} = \dot{x} - \dot{y} = -y + x = v \]となる。これらの方程式を解くと、
\[ u(t) = u_0 e^{-t}, \ \ v(t) = v_0 e^t \]が得られる。

(e) 安定多様体は$y=x \ \ \to \ \ v = x- y =0$、即ち$u$軸となり、
不安定多様体は$y=-x \ \ \to \ \ u = x+ y =0$、即ち$v$軸となる。

(f) (d)より
\[ x(t) = \frac{1}{2} (u_0 e^{-t} + v_0 e^t) \\
y(t) = \frac{1}{2} (u_0 e^{-t} - v_0 e^t) \]となる。ここで、
\[x_0 = x(0) = \frac{1}{2} (u_0 + v_0), \ \ y_0 = y(0) = \frac{1}{2} (u_0 - v_0) \]とすると、
\[ u_0 = x_0 + y_0, \ \ v_0 = x_0 - y_0 \]となるので、
\[ x(t) = \frac{x_0 + y_0}{2} e^{-t} + \frac{x_0 - y_0}{2} e^t = x_0 \cosh t - y_0 \sinh t \\
y(t) = \frac{x_0 + y_0}{2} e^{-t} - \frac{x_0 - y_0}{2} e^t = - x_0 \sinh t + y_0 \cosh t \]を得る。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-07-10 04:29:19

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.155の問題番号「5.1.8」 に対する解答

系$\dot{x} = -2y, \ \ \dot{y} = x$

$\dot{x}$の式を$\dot{y}$の式で割ると、
\[ \frac{\dot{x}}{\dot{y}} = \frac{-2y}{x} \\
x \dot{x} + 2 y \dot{y} = 0 \\
\frac{d}{dt} \left( \frac{x^2}{2} + y^2 \right) = 0 \]と変形できるので、この両辺を積分すると
\[ \frac{x^2}{2} + y^2 = C \]が得られる。これはこの系が$(\pm \sqrt{C},0)$を焦点とする楕円の軌道を(反時計回りに)回ることを示す。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-07-09 05:34:19

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.155の問題番号「5.1.7」 に対する解答

系$\dot{x} = x, \ \ \dot{y} = x + y$

この方程式の解を求める。
まず、$\dot{x} = x$より$x=x_0e^t$を得る。次にこれを$\dot{y}=x+y$に代入すると、
\[ \dot{y} = x_0 e^t + y \]となる。この両辺に$e^{-t}$をかけると、
\[ \dot{y} e^{-t} = x_0 + y e^{-t} \\ \dot{y} e^{-t} - y e^{-t}= x_0 \\ \frac{d}{dt} (y e^{-t}) = x_0 \]と変形できるので、
\[ y e^{-t} = x_0 t + y_0 \\ y = (x_0 t + y_0) e^t \]となる。

ベクトル場、典型的な軌道は省略。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-07-08 05:47:22

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.154の問題番号「5.1.2」 に対する解答

系$\dot{x} = ax \ \ (a < -1), \ \ \dot{y} = -y $
この系の解は$x = x_0 e^{at}, \ \ y=y_0 e^{-t}$となるので、
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}} =-\frac{1}{a} \frac{y}{x} = - \frac{y_0}{ax_0} e^{-(a+1)t} \]となる。$1+a < 0$であることを考慮すると、
$t \to \infty$のとき、$dy/dx \to \pm \infty$となるので、軌道は$y$方向に平行となり、
$t \to -\infty$のとき、$dy/dx \to 0$となるので、軌道は$x$方向に平行となる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-07-07 05:50:34

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.154の問題番号「5.1.1」 に対する解答

調和振動子$\dot{x}=v, \ \ \dot{v} = -\omega^2 x$

(a) 上の2式を両辺割ると、
\[ \frac{\dot{x}}{\dot{v}} = \frac{v}{-\omega^2 x} \ \ \ \ \mathrm{i.e.} \ \ \ \ \omega^2 x \dot{x} + v \dot{v} = 0 \]となる。この式はさらに
\[ \frac{1}{2} \frac{d}{dt} ( \omega^2 x^2 + v^2 ) = 0 \]となるので、$C$を積分定数として、
\[ \omega^2 x^2 + v^2 = C \tag{1} \]が得られる。

(b) ばねによるエネルギー、運動エネルギーはそれぞれ
\[ \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2, \ \ \ \ \frac{1}{2} m v^2 \]となるので、エネルギー保存則より
\[ E = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 + \frac{1}{2} m v^2 \]が一定値となる。(1)式と比較すると、
\[E = \frac{1}{2} m C \]
となり、これは(a)で求めた楕円の式がエネルギー保存則と等価であることを示している。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2020-07-06 05:10:02

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