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	P.41の問題番号「2.1.5」に対する解答へのコメント近似的にdx/dt = sin x に従う力学系が思い浮かびません。どなたか思いついた方がいましたら、教えてください。よろしくお願いします。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2023-10-30 03:56:16
	P.41の問題番号「2.1.5」に対する解答へのコメント近似的にdx/dt = sin x に従う力学系が思い浮かびません。どなたか思いついた方がいましたら、教えてください。よろしくお願いします。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：rickstrogatz 投稿日：2023-10-28 14:11:56
	P.41の問題番号「2.1.5」に対する解答へのコメント近似的にdx/dt = sin x に従う力学系が思い浮かびません。どなたか思いついた方がいましたら、教えてください。よろしくお願いします。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2023-10-27 03:51:09
	P.41の問題番号「2.1.5」に対する解答へのコメント近似的にdx/dt = sin x に従う力学系が思い浮かびません。どなたか思いついた方がいましたら、教えてください。よろしくお願いします。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：rickstrogatz 投稿日：2023-10-26 23:02:27
	P.41の問題番号「2.1.5」に対する解答へのコメント近似的にdx/dt = sin x に従う力学系が思い浮かびません。どなたか思いついた方がいましたら、教えてください。よろしくお願いします。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2022-02-09 04:27:02
	P.41の問題番号「2.1.5」に対する解答へのコメント近似的にdx/dt = sin x に従う力学系が思い浮かびません。どなたか思いついた方がいましたら、教えてください。よろしくお願いします。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：MartyWhite 投稿日：2022-02-08 10:42:06
	P.41の問題番号「2.1.5」に対する解答へのコメント近似的にdx/dt = sin x に従う力学系が思い浮かびません。どなたか思いついた方がいましたら、教えてください。よろしくお願いします。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2022-02-06 19:18:39
	P.41の問題番号「2.1.5」に対する解答へのコメント近似的にdx/dt = sin x に従う力学系が思い浮かびません。どなたか思いついた方がいましたら、教えてください。よろしくお願いします。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：MartyWhite 投稿日：2022-02-05 18:21:21
	P.373の問題番号「9.1.3」に対する解答水車の方程式 \[ \begin{align} \dot{a}_1 &= \omega b_1-Ka_1 \\ \dot{b}_1 &= -\omega a_1+q_1-Kb_1 \\ \dot{\omega} &= -\frac{\nu}{I}\omega + \frac{\pi gr}{I}a_1 \end{align} \] 解）変数変換 \[ x=\frac{\omega}{K}, \ \ y=\frac{\pi gr}{K \nu}a_1, \ \ z=-\frac{\pi gr}{K \nu}\left(b_1-\frac{q_1}{K} \right), \ \ \tau=Kt \]を行うと、ローレンツ方程式 \[ \begin{align} \dot{x} &= \sigma(y-x) \\ \dot{y} &= rx-xz-y \\ \dot{z} &= xy-bz \end{align} \]が得られる。ここで、 \[ \sigma = \frac{\nu}{KI}, \ \ r=\frac{\pi grq_1}{K^2 \nu}, \ \ b=1 \]と表すことができる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-08-06 04:40:37
	P.372の問題番号「9.1.2」に対する解答 (a) $Q(\theta)=q_1 \cos \theta$のとき、$n\neq 1$のモードは \[ \dot{a}_n=n \omega b_n-Ka_n, \ \ \dot{b}_n=-n\omega a_n-Kb_n \]となる。ここで、$a_n^2+b_n^2$の時間微分を考えると、 \[ \frac{d}{dt}(a_n^2+b_n^2)=2a_n \dot{a}_n+2b_n \dot{b}_n=-2K(a_n^2+b_n^2) \]となるので、 \[ a_n^2+b_n^2=Ae^{-2Kt} \]となり、$t \to \infty$で$a_n,b_n \to 0$となる。 (b) $Q(\theta)$が \[ Q(\theta)=\sum_{n=0}^{\infty} q_n \cos(n \theta) \]の場合、$n\neq 1$のモードは \[ \dot{a}_n=n \omega b_n-Ka_n, \ \ \dot{b}_n=-n\omega a_n-Kb_n+q_n \]となる。ここで、これらの方程式を \[ \begin{align} \dot{a}_n &=n \omega \left(b_n-\frac{Kq_n}{n^2\omega^2+K^2} \right)-K \left( a_n-\frac{n\omega q_n}{n^2\omega^2+K^2} \right), \\ \dot{b}_n &=-n\omega \left( a_n-\frac{n\omega q_n}{n^2\omega^2+K^2} \right)-K \left(b_n-\frac{Kq_n}{n^2\omega^2+K^2} \right) \end{align} \]のように変形することができる。このとき、$\omega$が時間依存するので、 \[ \frac{d}{dt} \left( a_n-\frac{n\omega q_n}{n^2\omega^2+K^2} \right) = \dot{a}_n, \ \ \frac{d}{dt}\left(b_n-\frac{Kq_n}{n^2\omega^2+K^2} \right)=\dot{b}_n \]にはならないが、ある程度時間が経過したときに、$\omega$が適当な固定点$\omega^$に近づいていくとすると、$\omega$を定数とみなせると考えられる。このとき、$t \to \infty$で、 \[ a_n \to \frac{n\omega^ q_n}{n^2{\omega^}^2+K^2}, \ \ b_n \to \frac{K q_n}{n^2{\omega^}^2+K^2} \]になると考えられる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-08-05 05:10:46

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	P.41の問題番号「2.1.5」に対する解答へのコメント近似的にdx/dt = sin x に従う力学系が思い浮かびません。どなたか思いついた方がいましたら、教えてください。よろしくお願いします。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2023-10-30 03:56:16
	P.41の問題番号「2.1.5」に対する解答へのコメント近似的にdx/dt = sin x に従う力学系が思い浮かびません。どなたか思いついた方がいましたら、教えてください。よろしくお願いします。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：rickstrogatz 投稿日：2023-10-28 14:11:56
	P.41の問題番号「2.1.5」に対する解答へのコメント近似的にdx/dt = sin x に従う力学系が思い浮かびません。どなたか思いついた方がいましたら、教えてください。よろしくお願いします。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2023-10-27 03:51:09
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	P.41の問題番号「2.1.5」に対する解答へのコメント近似的にdx/dt = sin x に従う力学系が思い浮かびません。どなたか思いついた方がいましたら、教えてください。よろしくお願いします。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：MartyWhite 投稿日：2022-02-05 18:21:21
	P.373の問題番号「9.1.3」に対する解答水車の方程式 \[ \begin{align} \dot{a}_1 &= \omega b_1-Ka_1 \\ \dot{b}_1 &= -\omega a_1+q_1-Kb_1 \\ \dot{\omega} &= -\frac{\nu}{I}\omega + \frac{\pi gr}{I}a_1 \end{align} \] 解）変数変換 \[ x=\frac{\omega}{K}, \ \ y=\frac{\pi gr}{K \nu}a_1, \ \ z=-\frac{\pi gr}{K \nu}\left(b_1-\frac{q_1}{K} \right), \ \ \tau=Kt \]を行うと、ローレンツ方程式 \[ \begin{align} \dot{x} &= \sigma(y-x) \\ \dot{y} &= rx-xz-y \\ \dot{z} &= xy-bz \end{align} \]が得られる。ここで、 \[ \sigma = \frac{\nu}{KI}, \ \ r=\frac{\pi grq_1}{K^2 \nu}, \ \ b=1 \]と表すことができる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-08-06 04:40:37
	P.372の問題番号「9.1.2」に対する解答 (a) $Q(\theta)=q_1 \cos \theta$のとき、$n\neq 1$のモードは \[ \dot{a}_n=n \omega b_n-Ka_n, \ \ \dot{b}_n=-n\omega a_n-Kb_n \]となる。ここで、$a_n^2+b_n^2$の時間微分を考えると、 \[ \frac{d}{dt}(a_n^2+b_n^2)=2a_n \dot{a}_n+2b_n \dot{b}_n=-2K(a_n^2+b_n^2) \]となるので、 \[ a_n^2+b_n^2=Ae^{-2Kt} \]となり、$t \to \infty$で$a_n,b_n \to 0$となる。 (b) $Q(\theta)$が \[ Q(\theta)=\sum_{n=0}^{\infty} q_n \cos(n \theta) \]の場合、$n\neq 1$のモードは \[ \dot{a}_n=n \omega b_n-Ka_n, \ \ \dot{b}_n=-n\omega a_n-Kb_n+q_n \]となる。ここで、これらの方程式を \[ \begin{align} \dot{a}_n &=n \omega \left(b_n-\frac{Kq_n}{n^2\omega^2+K^2} \right)-K \left( a_n-\frac{n\omega q_n}{n^2\omega^2+K^2} \right), \\ \dot{b}_n &=-n\omega \left( a_n-\frac{n\omega q_n}{n^2\omega^2+K^2} \right)-K \left(b_n-\frac{Kq_n}{n^2\omega^2+K^2} \right) \end{align} \]のように変形することができる。このとき、$\omega$が時間依存するので、 \[ \frac{d}{dt} \left( a_n-\frac{n\omega q_n}{n^2\omega^2+K^2} \right) = \dot{a}_n, \ \ \frac{d}{dt}\left(b_n-\frac{Kq_n}{n^2\omega^2+K^2} \right)=\dot{b}_n \]にはならないが、ある程度時間が経過したときに、$\omega$が適当な固定点$\omega^$に近づいていくとすると、$\omega$を定数とみなせると考えられる。このとき、$t \to \infty$で、 \[ a_n \to \frac{n\omega^ q_n}{n^2{\omega^}^2+K^2}, \ \ b_n \to \frac{K q_n}{n^2{\omega^}^2+K^2} \]になると考えられる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-08-05 05:10:46