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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.262の問題番号「7.6.22」 に対する解答へのコメント

系$\ddot{x} + x + \varepsilon x^2 = 0, \ \ x(0)=a, \ \ \dot{x}(0)=0$
解)$\tau = \omega t$とおくと、方程式は
\[ \omega^2 x'' + x + \varepsilon x^2 = 0 \]となる。$x(t, \varepsilon) = x_0(t) + \varepsilon x_1(t) + \varepsilon^2 x_2(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^3), \ \ \omega = 1 + \varepsilon \omega_1 + \varepsilon^2 \omega_2 + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$とおき、方程式に代入すると、
\[ (1 + \varepsilon \omega_1 + \varepsilon^2 \omega_2)^2 ( x_0'' + \varepsilon x_1'' + \varepsilon^2 x_2'') \\
+ (x_0 + \varepsilon x_1 + \varepsilon^2 x_2 ) + \varepsilon (1 + \varepsilon \omega_1)^2 + \mathcal{O}(\varepsilon^3) = 0 \]となるので、$\varepsilon$のべきごとに整理すると、
\[ \begin{align}
\mathcal{O}(1) \ &: \ x_0'' + x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon) \ &: \ x_1'' + x_1 + 2 \omega_1 x_0'' + x_0^2 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon^2) \ &: \ x_2'' + x_2 + ( \omega_1^2 + 2 \omega_2) x_0'' + 2 \omega_1 x_1'' + 2 x_0 x_1 = 0
\end{align}
\]となる。また、初期条件は
\[ x_0(0) = a, \ \ x_0'(0)=0, \ \ x_1(0) = 0, \ \ x_1'(0)=0, \ \ x_2(0) = 0, \ \ x_2'(0)=0 \]となる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-03-14 05:12:25

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.262の問題番号「7.6.22」 に対する解答

系$\ddot{x} + x + \varepsilon x^2 = 0, \ \ x(0)=a, \ \ \dot{x}(0)=0$
解)$\tau = \omega t$とおくと、方程式は
\[ \omega^2 x'' + x + \varepsilon x^2 = 0 \]となる。$x(t, \varepsilon) = x_0(t) + \varepsilon x_1(t) + \varepsilon^2 x_2(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^3), \ \ \omega = 1 + \varepsilon \omega_1 + \varepsilon^2 \omega_2 + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$とおき、方程式に代入すると、
\[ (1 + \varepsilon \omega_1 + \varepsilon^2 \omega_2)^2 ( x_0'' + \varepsilon x_1'' + \varepsilon^2 x_2'') \\
+ (x_0 + \varepsilon x_1 + \varepsilon^2 x_2 ) + \varepsilon (1 + \varepsilon \omega_1)^2 + \mathcal{O}(\varepsilon^3) = 0 \]となるので、$\varepsilon$のべきごとに整理すると、
\[ \begin{align}
\mathcal{O}(1) \ &: \ x_0'' + x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon) \ &: \ x_1'' + x_1 + 2 \omega_1 x_0'' + x_0^2 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon^2) \ &: \ x_2'' + x_2 + ( \omega_1^2 + 2 \omega_2) x_0'' + 2 \omega_1 x_1'' + 2 x_0 x_1 = 0
\end{align}
\]となる。また、初期条件は
\[ x_0(0) = a, \ \ x_0'(0)=0, \ \ x_1(0) = 0, \ \ x_1'(0)=0, \ \ x_2(0) = 0, \ \ x_2'(0)=0 \]となる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-03-14 05:05:32

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.262の問題番号「7.6.21」 に対する解答

解)$\tau = \omega t$とおくと、方程式は
\[ \omega^2 x'' + \varepsilon \omega (x^2-1) x' + x = 0 \]となる。$x(t, \varepsilon) = x_0(t) + \varepsilon x_1(t) + \varepsilon^2 x_2(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^3), \ \ \omega = 1 + \varepsilon \omega_1 + \varepsilon^2 \omega_2 + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$とおき、方程式に代入すると、
\[ (1 + \varepsilon \omega_1 + \varepsilon^2 \omega_2)^2 ( x_0'' + \varepsilon x_1'' + \varepsilon^2 x_2'') \\
+ \varepsilon (1 + \varepsilon \omega_1) \{ ( x_0 + \varepsilon x_1 )^2 -1 \}(x_0' + \varepsilon x_1' ) + (x_0 + \varepsilon x_1 + \varepsilon^2 x_2 ) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) = 0 \]となるので、$\varepsilon$のべきごとに整理すると、
\[ \begin{align}
\mathcal{O}(1) \ &: \ x_0'' + x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon) \ &: \ x_1'' + x_1 + 2 \omega_1 x_0'' + (x_0^2 - 1 ) x_0' = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon^2) \ &: \ x_2'' + x_2 + ( \omega_1^2 + 2 \omega_2) x_0'' + 2 \omega_1 x_1'' + (x_0^2 - 1 ) (\omega_1 x_0' + x_1' ) + 2 x_0 x_0' x_1 = 0
\end{align}
\]が得られる。$\mathcal{O}(1)$の方程式から
\[ x_0(\tau) = r_0 \cos (\tau + \phi_0) \]が得られる。次に、$\mathcal{O}(\varepsilon)$の方程式は、
\[ x_1'' + x_1 = 2 \omega_1 r_0 \cos (\tau + \phi_0) + \left( \frac{r_0^3}{4} - r_0 \right) \sin (\tau + \phi_0) + \frac{r_0^3}{4} \sin 3(\tau+\phi_0) \]となる。この式から永年項を回避するために、
\[ \omega_1 = 0, r_0 = 2 \]が得られる。また、このとき、
\[ x_1(\tau) = r_1 \cos (\tau + \phi_1) - \frac{1}{4} \sin 3(\tau+ \phi_0) \]となる。さらに、$\mathcal{O}(\varepsilon^2)$の方程式は、
\[ \begin{align}
x_2'' + x_2 &= \left( 4 \omega_2 + r_1 \sin( \phi_0 - \phi_1) + \frac{1}{4} \right) \cos(\tau+ \phi_0) \\
&+ r_1 ( 1+ \cos (\phi_0-\phi_1) ) \sin (\tau + \phi_0) \\
&+ 3 \left( - r_1 \sin (\phi_0 - \phi_1) + \frac{1}{4} \right) \cos 3(\tau+\phi_0) \\
&+ 3r_1 \cos(\phi_0 - \phi_1) \sin 3 (\tau + \phi_0) + \frac{5}{4} \cos 5(\tau+\phi_0)
\end{align} \]となるので、永年項を回避するために、
\[ \omega_2 = - \frac{1}{16} \]が得られる。したがって、リミットサイクルの振動数は、
\[ \omega = 1 - \frac{1}{16} \varepsilon^2 + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \]となる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-03-13 12:05:31

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.262の問題番号「7.6.20」 に対する解答

ダフィン方程式$\ddot{x}+x+\varepsilon x^3 = 0, \ \ 0< \varepsilon \ll 1, \ \ x(0)=a, \ \ \dot{x}(0)=0$
(a) $x(t, \varepsilon) = x_0(t) + \varepsilon x_1(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^2)$とおき、ダフィン方程式に代入すると、
\[ \ddot{x}_0 + \varepsilon \ddot{x}_1 + x_0 + \varepsilon x_1 + \varepsilon (x_0 + \varepsilon x_1)^3 + \mathcal{O}(\varepsilon^2) = 0 \]となるので、$\varepsilon$のべきごとに整理すると、
\[ \begin{align}
\mathcal{O}(1) \ &: \ \ddot{x}_0 + x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon) \ &: \ \ddot{x}_1 + x_1 = - x_0^3
\end{align}
\]が得られる。また、初期条件は
\[ \begin{align}
x(0) &= x_0(0) + \varepsilon x_1(0) + \mathcal{O}(\varepsilon^2) = a \\
\dot{x}(0) &= \dot{x}_0(0) + \varepsilon \dot{x}_1(0) + \mathcal{O}(\varepsilon^2) = 0
\end{align}
\]となるので、$\varepsilon$のべきごとに整理すれば、$x_0(0)=a, \ \dot{x}_0(0)=0$、および$x_1(0)=\dot{x}_1(0)=0$が得られる。
したがって、$\mathcal{O}(1)$の方程式から
\[ x_0(t) = a \cos t \]が得られ、$\mathcal{O}(\varepsilon)$の方程式から、
\[ x_1(\tau) = -\frac{3}{8} a^3 t \sin t + \frac{1}{32} a^3 ( \cos 3 t - \cos t ) \]が得られる。つまり、通常の摂動法を用いると、
\[ x(t, \varepsilon) = a \cos t + \varepsilon a^3 \left[ -\frac{3}{8} t \sin t + \frac{1}{32} ( \cos 3 t - \cos t ) \right] + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \]が得られる。
演習問題7.6.19の結果より、$\varepsilon \ll 1$のとき、
\[ \begin{align}
x_0(\tau) &= a \cos \tau = a \cos \omega t = a \cos \left( 1 + \frac{3}{8} \varepsilon a^2 + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \right) t \\
&= a \cos t - \frac{3}{8} \varepsilon a^3 t \sin t + \mathcal{O}(\varepsilon^2)
\end{align} \]となる。通常の摂動法による永年項はこの近似により生じており、これを$\varepsilon$のオーダーまでで見ると、振幅が$t$とともに増加するように見えるが、これは間違い。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-03-13 08:10:59

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.261の問題番号「7.6.19」 に対する解答

ダフィン方程式$\ddot{x}+x+\varepsilon x^3 = 0, \ \ 0< \varepsilon \ll 1, \ \ x(0)=a, \ \ \dot{x}(0)=0$
(a) $\tau = \omega t$とおくと、
\[ \dot{x} = \frac{dx}{dt} = \frac{d \tau}{d t} \frac{dx}{d \tau} = \omega x', \ \ \ddot{x} = \omega^2 x'' \]となる。したがって、ダフィン方程式は
\[ \omega^2 x'' + x + \varepsilon x^3 = 0 \]となる。
(b) $x(\tau, \varepsilon) = x_0(\tau) + \varepsilon x_1(\tau) + \mathcal{O}(\varepsilon^2), \ \ \omega = 1 + \varepsilon \omega_1 + \mathcal{O}(\varepsilon^2)$とおき、ダフィン方程式に代入すると、
\[ (1 + \varepsilon \omega_1)^2( x_0'' + \varepsilon x_1'' ) + (x_0 + \varepsilon x_1) + \varepsilon (x_0 + \varepsilon x_1)^3 + \mathcal{O}(\varepsilon^2) = 0 \]となるので、$\varepsilon$のべきごとに整理すると、
\[ \begin{align}
\mathcal{O}(1) \ &: \ x_0'' + x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon) \ &: \ x_1'' + x_1 = -2 \omega_1 x_0'' - x_0^3
\end{align}
\]が得られる。
(c) 初期条件は
\[ \begin{align}
x(0) &= x_0(0) + \varepsilon x_1(0) + \varepsilon^2 x_2(0) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) = a \\
\dot{x}(0) &= \dot{x}_0(0) + \varepsilon \dot{x}_1(0) + \varepsilon^2 \dot{x}_2(0) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) = 0
\end{align}
\]となるので、$\varepsilon$のべきごとに整理すれば、$x_0(0)=a, \ \dot{x}_0(0)=0$、およびすべての$k>0$に対して、$x_k(0)=\dot{x}_k(0)=0$が得られる。
(d) $\mathcal{O}(1)$の方程式の一般解は
\[ x_0(\tau) = A \sin \tau + B \cos \tau \]であるので、初期条件$x_0(0)=a, \ \dot{x}_0(0)=0$から
\[ x_0(\tau) = a \cos \tau \]が得られる。
(e) $x_0'' = - a \cos \tau$と
\[ \cos^3 \tau = \frac{3}{4} \cos \tau + \frac{1}{4} \cos 3 \tau \]を用いると、$\mathcal{O}(\varepsilon)$の方程式は
\[ x_1'' + x_1 = \left( 2 \omega_1 a - \frac{3}{4} a^3 \right) \cos \tau - \frac{1}{4} a^3 \cos 3 \tau \]となる。したがって、永年項を回避するために、$\omega_1=\frac{3}{8} a^2$が必要となる。
(f) $\mathcal{O}(\varepsilon)$の方程式を解くと、
\[ x_1(\tau) = \frac{1}{32} a^3 \cos 3 \tau \]が得られる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-03-12 06:36:43

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.261の問題番号「7.6.18」 に対する解答へのコメント

マシュー方程式(Mathieu equation)$\ddot{x} + (a + \varepsilon \cos t ) x = 0, \ \ a \approx 1$

解)$\tau = t$として$\tau$を速い時間とし、$T = \varepsilon^2 t$を遅い時間とすると、
\[ \dot{x} = \frac{\partial x}{\partial t} = \frac{\partial x}{\partial \tau} + \frac{\partial x}{\partial T} \frac{\partial T}{ \partial t} = \partial_{\tau} x + \varepsilon^2 \partial_T x \]となる。また、
\[ x(t,\varepsilon) = x_0(\tau, T ) + \varepsilon x_1(\tau, T) + \varepsilon^2 x_2(\tau, T) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \]とおくと、
\[ \dot{x} = \partial_{\tau} x_0 + \varepsilon \partial_{\tau} x_1 + \varepsilon^2 ( \partial_{\tau} x_2 + \partial_T x_0 ) + \mathcal{O}(\varepsilon^3), \\
\ddot{x} = \partial_{\tau \tau} x_0 + \varepsilon \partial_{\tau \tau} x_1 + \varepsilon^2 ( \partial_{\tau \tau} x_2 + 2 \partial_{T \tau} x_0 ) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \]となる。さらに、
\[ a = 1 + \varepsilon a_1 + \varepsilon^2 a_2 + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \]とおき、上記の式をマシュー方程式に代入して$\varepsilon$のべき順に整理すると、
\[ \begin{align}
\mathcal{O}(1) \ &: \ \partial_{\tau \tau} x_0 + x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon) \ &: \ \partial_{\tau \tau} x_1 + x_1 + (a_1 + \cos t ) x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon^2) \ &: \ \partial_{\tau \tau} x_2 + x_2 + (a_1 + \cos t ) x_1 + 2 \partial_{T \tau} x_0 + a_2 x_0 = 0
\end{align} \]となる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-03-11 07:59:41

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.261の問題番号「7.6.18」 に対する解答へのコメント

マシュー方程式(Mathieu equation)$\ddot{x} + (a + \varepsilon \cos t ) x = 0, \ \ a \approx 1$

解)$\tau = t$として$\tau$を速い時間とし、$T = \varepsilon^2 t$を遅い時間とすると、
\[ \dot{x} = \frac{\partial x}{\partial t} = \frac{\partial x}{\partial \tau} + \frac{\partial x}{\partial T} \frac{\partial T}{ \partial t} = \partial_{\tau} x + \varepsilon^2 \partial_T x \]となる。また、
\[ x(t,\varepsilon) = x_0(\tau, T ) + \varepsilon x_1(\tau, T) + \varepsilon^2 x_2(\tau, T) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \]とおくと、
\[ \dot{x} = \partial_{\tau} x_0 + \varepsilon \partial_{\tau} x_1 + \varepsilon^2 ( \partial_{\tau} x_2 + \partial_T x_0 ) + \mathcal{O}(\varepsilon^3), \\
\ddot{x} = \partial_{\tau \tau} x_0 + \varepsilon \partial_{\tau \tau} x_1 + \varepsilon^2 ( \partial_{\tau \tau} x_2 + 2 \partial_{T \tau} x_0 ) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \]となる。さらに、
\[ a = 1 + \varepsilon a_1 + \varepsilon^2 a_2 + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \]とおき、上記の式をマシュー方程式に代入して$\varepsilon$のべき順に整理すると、
\[ \begin{align}
\mathcal{O}(1) \ &: \ \partial_{\tau \tau} x_0 + x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon) \ &: \ \partial_{\tau \tau} x_1 + x_1 + (a_1 + \cos t ) x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon^2) \ &: \ \partial_{\tau \tau} x_2 + x_2 + (a_1 + \cos t ) x_1 + 2 \partial_{T \tau} x_0 + a_2 x_0 = 0
\end{align} \]となる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-03-11 07:58:59

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.261の問題番号「7.6.18」 に対する解答へのコメント

マシュー方程式(Mathieu equation)$\ddot{x} + (a + \varepsilon \cos t ) x = 0, \ \ a \approx 1$

解)$\tau = t$として$\tau$を速い時間とし、$T = \varepsilon^2 t$を遅い時間とすると、
\[ \dot{x} = \frac{\partial x}{\partial t} = \frac{\partial x}{\partial \tau} + \frac{\partial x}{\partial T} \frac{\partial T}{ \partial t} = \partial_{\tau} x + \varepsilon^2 \partial_T x \]となる。また、
\[ x(t,\varepsilon) = x_0(\tau, T ) + \varepsilon x_1(\tau, T) + \varepsilon^2 x_2(\tau, T) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \]とおくと、
\[ \dot{x} = \partial_{\tau} x_0 + \varepsilon \partial_{\tau} x_1 + \varepsilon^2 ( \partial_{\tau} x_2 + \partial_T x_0 ) + \mathcal{O}(\varepsilon^3), \\
\ddot{x} = \partial_{\tau \tau} x_0 + \varepsilon \partial_{\tau \tau} x_1 + \varepsilon^2 ( \partial_{\tau \tau} x_2 + 2 \partial_{T \tau} x_0 ) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \]となる。さらに、
\[ a = 1 + \varepsilon a_1 + \varepsilon^2 a_2 + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \]とおき、上記の式をマシュー方程式に代入して$\varepsilon$のべき順に整理すると、
\[ \begin{align}
\mathcal{O}(1) \ &: \ \partial_{\tau \tau} x_0 + x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon) \ &: \ \partial_{\tau \tau} x_1 + x_1 + (a_1 + \cos t ) x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon^2) \ &: \ \partial_{\tau \tau} x_2 + x_2 + (a_1 + \cos t ) x_1 + 2 \partial_{T \tau} x_0 + a_2 x_0 = 0
\end{align} \]となる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-03-11 07:55:05

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.261の問題番号「7.6.18」 に対する解答

マシュー方程式(Mathieu equation)$\ddot{x} + (a + \varepsilon \cos t ) x = 0, \ \ a \approx 1$

解)$\tau = t$として$\tau$を速い時間とし、$T = \varepsilon^2 t$を遅い時間とすると、
\[ \dot{x} = \frac{\partial x}{\partial t} = \frac{\partial x}{\partial \tau} + \frac{\partial x}{\partial T} \frac{\partial T}{ \partial t} = \partial_{\tau} x + \varepsilon^2 \partial_T x \]となる。また、
\[ x(t,\varepsilon) = x_0(\tau, T ) + \varepsilon x_1(\tau, T) + \varepsilon^2 x_2(\tau, T) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \]とおくと、
\[ \dot{x} = \partial_{\tau} x_0 + \varepsilon \partial_{\tau} x_1 + \varepsilon^2 ( \partial_{\tau} x_2 + \partial_T x_0 ) + \mathcal{O}(\varepsilon^3), \\
\ddot{x} = \partial_{\tau \tau} x_0 + \varepsilon \partial_{\tau \tau} x_1 + \varepsilon^2 ( \partial_{\tau \tau} x_2 + 2 \partial_{T \tau} x_0 ) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \]となる。さらに、
\[ a = 1 + \varepsilon a_1 + \varepsilon^2 a_2 + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \]とおき、上記の式をマシュー方程式に代入して$\varepsilon$のべき順に整理すると、
\[ \begin{align}
\mathcal{O}(1) \ &: \ \partial_{\tau \tau} x_0 + x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon) \ &: \ \partial_{\tau \tau} x_1 + x_1 + (a_1 + \cos t ) x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon^2) \ &: \ \partial_{\tau \tau} x_2 + x_2 + (a_1 + \cos t ) x_1 + 2 \partial_{T \tau} x_0 + a_2 x_0 = 0
\end{align} \]となる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-03-11 07:49:52

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.260の問題番号「7.6.17」 に対する解答へのコメント

子供のブランコ遊びの単純なモデル$\ddot{x} + (1 + \varepsilon \gamma + \varepsilon \cos 2t ) \sin x = 0, \ \ (0< \varepsilon \ll 1 )$

(a) 微小な$x$の場合を考え、$\ddot{x} + (1 + \varepsilon \gamma + \varepsilon \cos 2t ) x = 0$に置き換える。
このとき、$h = (\gamma + \cos 2t) r \cos \theta$とおくと、平均化方程式は
\[ \begin{align}
r' &= \langle h \sin \theta \rangle = r ( \gamma \langle \sin \theta \cos \theta \rangle + \langle \cos 2t \sin \theta \cos \theta \rangle ) = \frac{1}{4} r \sin 2 \phi \\
r \phi' &= \langle h \cos \theta \rangle = r ( \gamma \langle \cos^2 \theta \rangle + \langle \cos 2t \cos^2 \theta \rangle ) = \frac{1}{2} r \left( \gamma + \frac{1}{2} \cos 2 \phi \right)
\end{align}
\]となる。ここで、
\[ \langle \cos 2t \cos^2 \theta \rangle = \frac{1}{4} \cos 2 \phi \]を用いた。

(b) まず$\phi$についての方程式を解く。
\[ \gamma + \frac{1}{2} \cos 2 \phi = \gamma - \frac{1}{2} + \cos^2 \phi \]となるので、$\gamma^2-\frac{1}{4} < 0$のとき、
\[ \int \left[ \gamma - \frac{1}{2} + \cos^2 \phi \right]^{-1} d \phi = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{4} - \gamma^2}} \ln \left| \frac{ \sqrt{ \frac{1}{4} - \gamma^2 } \tan \phi + \gamma + \frac{1}{2} }{ \sqrt{ \frac{1}{4} - \gamma^2 } \tan \phi - \gamma - \frac{1}{2} } \right| = \frac{1}{2} + C \]となる。つまり、
\[ \tan \phi = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{2} + \gamma }{ \frac{1}{2} - \gamma } } \cdot \frac{ 1 - A e^{-\sqrt{\frac{1}{4}-\gamma^2}T} }{ 1 + A e^{-\sqrt{\frac{1}{4}-\gamma^2}T} } \]となる。ここで、$A$は積分定数。
次に、$r$についての方程式を解くことを考える。(ヒントにある通り)$r$が$0$に近い場合、$\phi' \gg r'$であり、$\phi$は相対的により速く固定点に近づいていくので、
\[ \tan \phi \approx \sqrt{ \frac{ \frac{1}{2} + \gamma }{ \frac{1}{2} - \gamma } } \]と置くことができる。
\[ \sin 2 \phi = \frac{ 2 \tan \phi }{ 1 + \tan^2 \phi } \approx 2 \sqrt{ \frac{1}{4} - \gamma^2 } \]となるので、$r$の方程式は
\[ r(T) \approx r_0 e^{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{4} - \gamma^2} T } \]のようになる。
まとめると、$\gamma_c = \frac{1}{2}$として、$|\gamma|<\gamma_c$であるとき、固定点は不安定であり、指数関数的に成長する振動が生じることがわかる。

(c) (b)の結果より、成長率$k$は
\[ k= \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1}{4} - \gamma^2 } \]となる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-03-06 08:38:20

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