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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.259の問題番号「7.6.12」 に対する解答へのコメント

(a)\[
\begin{align}
\langle \cos k \theta \sin m \theta \rangle
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \cos k \theta \sin m \theta d \theta \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} [ \sin (k+m) \theta - \sin (k-m) \theta ] d \theta
\end{align}
\]ここで、$k \neq m$のとき、
\[ \langle \cos k \theta \sin m \theta \rangle = \frac{1}{4 \pi} \left[ -\frac{1}{k+m} \cos (k+m) \theta + \frac{1}{k-m} \cos (k-m) \theta \right]_0^{2 \pi} = 0 \]となり、$k = m$のとき
\[ \langle \cos k \theta \sin m \theta \rangle = \frac{1}{4 \pi} \left[ -\frac{1}{2k} \cos (2k) \theta \right]_0^{2 \pi} = 0 \]となる。
\[
\begin{align}
\langle \cos k \theta \cos m \theta \rangle
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \cos k \theta \cos m \theta d \theta \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} [ \cos (k+m) \theta + \cos (k-m) \theta ] d \theta \\
&= \frac{1}{4 \pi} \left[ \frac{1}{k+m} \sin (k+m) \theta + \frac{1}{k-m} \sin (k-m) \theta \right]_0^{2 \pi} \\
&= 0
\end{align}
\] \[
\begin{align}
\langle \sin k \theta \sin m \theta \rangle
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \sin k \theta \sin m \theta d \theta \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} [ \cos (k-m) \theta - \cos (k+m) \theta ] d \theta \\
&= \frac{1}{4 \pi} \left[ \frac{1}{k-m} \sin (k-m) \theta - \frac{1}{k+m} \sin (k+m) \theta \right]_0^{2 \pi} \\
&= 0
\end{align}
\] \[
\begin{align}
\langle \cos^2 k \theta \rangle
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \cos^2 k \theta d \theta \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2k \theta ] d \theta \\
&= \frac{1}{4 \pi} \left[ \theta + \frac{1}{2k} \sin 2k \theta \right]_0^{2 \pi} \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
\] \[
\begin{align}
\langle \sin^2 k \theta \rangle
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \sin^2 k \theta d \theta \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} [ 1 - \cos 2k \theta ] d \theta \\
&= \frac{1}{4 \pi} \left[ \theta - \frac{1}{2k} \sin 2k \theta \right]_0^{2 \pi} \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
\]

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-28 08:35:39

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.259の問題番号「7.6.12」 に対する解答

(a)\[
\begin{align}
\langle \cos k \theta \sin m \theta \rangle
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \cos k \theta \sin m \theta d \theta \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} [ \sin (k+m) \theta - \sin (k-m) \theta ] d \theta
\end{align}
\]ここで、$k \neq m$のとき、
\[ \langle \cos k \theta \sin m \theta \rangle = \frac{1}{4 \pi} \left[ -\frac{1}{k+m} \cos (k+m) \theta + \frac{1}{k-m} \cos (k-m) \theta \right]_0^{2 \pi} = 0 \]となり、$k = m$のとき
\[ \langle \cos k \theta \sin m \theta \rangle = \frac{1}{4 \pi} \left[ -\frac{1}{2k} \cos (2k) \theta \right]_0^{2 \pi} = 0 \]となる。
\[
\begin{align}
\langle \cos k \theta \cos m \theta \rangle
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \cos k \theta \cos m \theta d \theta \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} [ \cos (k+m) \theta + \cos (k-m) \theta ] d \theta \\
&= \frac{1}{4 \pi} \left[ \frac{1}{k+m} \sin (k+m) \theta + \frac{1}{k-m} \sin (k-m) \theta \right]_0^{2 \pi} \\
&= 0
\end{align}
\] \[
\begin{align}
\langle \sin k \theta \sin m \theta \rangle
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \sin k \theta \sin m \theta d \theta \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} [ \cos (k-m) \theta - \cos (k+m) \theta ] d \theta \\
&= \frac{1}{4 \pi} \left[ \frac{1}{k-m} \sin (k-m) \theta - \frac{1}{k+m} \sin (k+m) \theta \right]_0^{2 \pi} \\
&= 0
\end{align}
\] \[
\begin{align}
\langle \cos^2 k \theta \rangle
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \cos^2 k \theta d \theta \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2k \theta ] d \theta \\
&= \frac{1}{4 \pi} \left[ \theta + \frac{1}{2k} \sin 2k \theta \right]_0^{2 \pi} \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
\] \[
\begin{align}
\langle \sin^2 k \theta \rangle
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \sin^2 k \theta d \theta \\
&= \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \frac{1}{2} [ 1 - \cos 2k \theta ] d \theta \\
&= \frac{1}{4 \pi} \left[ \theta - \frac{1}{2k} \sin 2k \theta \right]_0^{2 \pi} \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
\]

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-28 07:39:03

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.259の問題番号「7.6.11」 に対する解答

\[ \partial_{\tau \tau} x_1 + x_1 = - \frac{1}{4} r^3 \sin 3(\tau + \phi) \]解）$x_1(\tau) = A \sin 3(\tau + \phi)$とおくと、
\[ \partial_{\tau \tau} x_1 + x_1 = -8 A \sin 3(\tau + \phi) \]となるので、
\[ x_1(\tau) = \frac{1}{32} r^3 \sin 3(\tau + \phi) \]が得られる。初期条件$x(0)=2, \ \ \dot{x}(0) = 0$とすると、$r(T)=2, \ \ \phi(T)=0$となるので、
\[ x_1(\tau) = \frac{1}{4} \sin 3 \tau \]となる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-28 07:04:29

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.259の問題番号「7.6.10」 に対する解答

\[ \sin \theta \cos^2 \theta = \frac{1}{4} [ \sin \theta + \sin 3 \theta ] \]解）
\[ \begin{align}
\sin \theta \cos^2 \theta &= \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i} \left( \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} \right)^2 \\
&= \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i} \cdot \frac{e^{2 i \theta} + 2 + e^{-2 i \theta}}{4} \\
&= \frac{ e^{3 i \theta} + e^{i \theta} - e^{-i \theta} - e^{- 3 i \theta} }{8i} \\
&= \frac{1}{4} \left[ \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i} + \frac{e^{3i \theta} - e^{-3i \theta}}{2i} \right] \\
&= \frac{1}{4} [ \sin \theta + \sin 3 \theta ]
\end{align}
\]

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-28 06:51:33

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.259の問題番号「7.6.9」 に対する解答

$\ddot{x}+x+\varepsilon h(x, \dot{x}) = 0, \ \ h(x,\dot{x}) = (x^2-1) \dot{x}^3$
解）この系では$h=-r^3 \sin^3 \theta ( r^2 \cos^2 \theta - 1 )$となるので、平均化方程式は
\[ r' = \langle h \sin \theta \rangle = -r^5 \langle \sin^4 \theta \cos^2 \theta \rangle + r^3 \langle \sin^4 \theta \rangle = \frac{3}{8}r^3 - \frac{1}{16} r^5, \\
r \phi' = \langle h \cos \theta \rangle = -r^5 \langle \sin^3 \theta \cos^3 \theta \rangle + r^3 \langle \sin^3 \theta \cos \theta \rangle = 0 \]となる。
\[ r' = \frac{1}{16} r^3 (6-r^2) \]は$r \geq 0$の半直線上のベクトル場に対応すると見なせるので、$r^* = 0$は不安定固定点、$r^*= \frac{3 \pi}{4}$は安定固定点となる。一方、$\phi' = 0$より、ある定数$\phi_0$に対して$\phi(T) \equiv \phi_0$となる。したがって、長時間挙動は
\[ x(t) \to \sqrt{6} \cos ( t+ \phi_0 ) + \mathcal{O}(\varepsilon) \]となり、$x(t)$は半径$\sqrt{6} + \mathcal{O}(\varepsilon)$の安定なリミットサイクルに近づいていく。つまり、振幅は$\sqrt{6} + \mathcal{O}(\varepsilon)$、振動数は$1 + \mathcal{O}(\varepsilon^2)$となる。

初期条件$x(0)=a, \ \ \dot{x}(0) = 0$として、平均化方程式を解くと、
\[ \frac{r^2-6}{r^2} e^{\frac{6}{r^2}} = \frac{a^2-6}{a^2} e^{\frac{6}{a^2}} e^{-\frac{9}{2} T }, \ \ \phi_0 = \mathcal{O}(\varepsilon) \]となる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-27 14:56:06

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.259の問題番号「7.6.8」 に対する解答

$\ddot{x}+x+\varepsilon h(x, \dot{x}) = 0, \ \ h(x,\dot{x}) = (|x|-1) \dot{x}$
解）この系では$h=-r \sin \theta ( r | \cos \theta | - 1 )$となるので、平均化方程式は
\[ r' = \langle h \sin \theta \rangle = -r^2 \langle \sin^2 \theta |\cos \theta| \rangle + r \langle \sin^2 \theta \rangle = \frac{1}{2}r - \frac{2}{3 \pi} r^2, \\
r \phi' = \langle h \cos \theta \rangle = -r^2 \langle \sin \theta \cos \theta | \cos \theta | \rangle + r \langle \sin \theta \cos \theta \rangle = 0 \]となる。
\[ r' = \frac{2}{3 \pi} r (\frac{3 \pi}{4}-r) \]は$r \geq 0$の半直線上のベクトル場に対応すると見なせるので、$r^* = 0$は不安定固定点、$r^*= \frac{3 \pi}{4}$は安定固定点となる。一方、$\phi' = 0$より、ある定数$\phi_0$に対して$\phi(T) \equiv \phi_0$となる。したがって、長時間挙動は
\[ x(t) \to \frac{3 \pi}{4} \cos ( t+ \phi_0 ) + \mathcal{O}(\varepsilon) \]となり、$x(t)$は半径$\frac{3 \pi}{4} + \mathcal{O}(\varepsilon)$の安定なリミットサイクルに近づいていく。つまり、振幅は$\frac{3 \pi}{4} + \mathcal{O}(\varepsilon)$、振動数は$1 + \mathcal{O}(\varepsilon^2)$となる。

初期条件$x(0)=a, \ \ \dot{x}(0) = 0$として、平均化方程式を解くと、
\[ r(T) \approx \frac{3 \pi a}{4 a - (4 a - 3 \pi) e^{-\frac{T}{2}} } + \mathcal{O}(\varepsilon), \ \ \phi_0 = \mathcal{O}(\varepsilon) \]となるので、
\[ x(t, \varepsilon) \approx \frac{3 \pi a}{4 a - (4 a - 3 \pi) e^{-\frac{\varepsilon t}{2}} } \cos t + \mathcal{O}( \varepsilon ) \]となる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-27 14:46:51

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.259の問題番号「7.6.7」 に対する解答

$\ddot{x}+x+\varepsilon h(x, \dot{x}) = 0, \ \ h(x,\dot{x}) = (x^4-1) \dot{x}$
解）この系では$h=-r \sin \theta ( r^4 \cos^4 \theta - 1 )$となるので、平均化方程式は
\[ r' = \langle h \sin \theta \rangle = -r^5 \langle \sin^2 \theta \cos^4 \theta \rangle + r \langle \sin^2 \theta \rangle = \frac{1}{2}r - \frac{1}{16} r^5, \\
r \phi' = \langle h \cos \theta \rangle = -r^5 \langle \sin \theta \cos^5 \theta \rangle + r \langle \sin \theta \cos \theta \rangle = 0 \]となる。
\[ r' = \frac{1}{16} r (8-r^4) \]は$r \geq 0$の半直線上のベクトル場に対応すると見なせるので、$r^* = 0$は不安定固定点、$r^*= \sqrt{2 \sqrt{2}}$は安定固定点となる。一方、$\phi' = 0$より、ある定数$\phi_0$に対して$\phi(T) \equiv \phi_0$となる。したがって、長時間挙動は
\[ x(t) \to \sqrt{2 \sqrt{2}} \cos ( t+ \phi_0 ) + \mathcal{O}(\varepsilon) \]となり、$x(t)$は半径$\sqrt{2 \sqrt{2}} + \mathcal{O}(\varepsilon)$の安定なリミットサイクルに近づいていく。つまり、振幅は$\sqrt{2 \sqrt{2}} + \mathcal{O}(\varepsilon)$、振動数は$1 + \mathcal{O}(\varepsilon^2)$となる。

初期条件$x(0)=a, \ \ \dot{x}(0) = 0$として、平均化方程式を解くと、
\[ r(T) \approx \left( \frac{8 a^4}{a^4 - (a^4 - 8) e^{-2 T} } \right)^{\frac{1}{4}} + \mathcal{O}(\varepsilon), \ \ \phi_0 = \mathcal{O}(\varepsilon) \]となるので、
\[ x(t, \varepsilon) \approx \left( \frac{8 a^4}{a^4 - (a^4 - 8) e^{-2 \varepsilon t} }\right)^{\frac{1}{4}} \cos t + \mathcal{O}( \varepsilon ) \]となる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-27 14:44:48

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.259の問題番号「7.6.6」 に対する解答

$\ddot{x}+x+\varepsilon h(x, \dot{x}) = 0, \ \ h(x,\dot{x}) = x \dot{x}$
解）この系では$h=-r^2 \sin \theta \cos \theta$となるので、平均化方程式は
\[ r' = \langle h \sin \theta \rangle = -r^2 \langle \sin^2 \theta \cos \theta \rangle = 0, \\
r \phi' = \langle h \cos \theta \rangle = -r^2 \langle \sin \theta \cos^2 \theta \rangle = 0 \]となる。よって、$A, \ \ \phi_0$をある定数として
\[ r(T) \equiv A, \ \ \phi(T) \equiv \phi_0 \]となるので、長時間挙動として、単純な調和振動子と同等になる。また、振幅はほぼ一定値をとり、振動数は$1+\mathcal{O}(\varepsilon^2)$となる。

初期条件$x(0)=a, \ \ \dot{x}(0) = 0$のとき、
\[ x(t, \varepsilon) \approx a \cos t + \mathcal{O}( \varepsilon ) \]となる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-27 13:18:40

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.259の問題番号「7.6.5」 に対する解答

$\ddot{x}+x+\varepsilon h(x, \dot{x}) = 0, \ \ h(x,\dot{x}) = x \dot{x}^2$
解）この系では$h=r^3 \sin^2 \theta \cos \theta$となるので、平均化方程式は
\[ r' = \langle h \sin \theta \rangle = r^3 \langle \sin^3 \theta \cos \theta \rangle = 0, \\
r \phi' = \langle h \cos \theta \rangle = r^3 \langle \sin^2 \theta \cos^2 \theta \rangle = \frac{1}{8} r^3 \]となる。よって、$A, \ \ \phi_0$をある定数として
\[ r(T) \equiv A, \ \ \phi(T) = \frac{A^2}{8}T + \phi_0 \]となるので、長時間挙動として、単純な調和振動子の中にゆっくりと変動する位相を持つことがわかる。また、振幅はほぼ一定値$A$をとり、振動数は$1+\frac{A^2}{8}\varepsilon$となる。

初期条件$x(0)=a, \ \ \dot{x}(0) = 0$のとき、
\[ x(t, \varepsilon) \approx a \cos \left( t + \frac{\varepsilon a^2 t}{8} \right) + \mathcal{O}( \varepsilon ) \]となる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-27 13:09:14

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.258の問題番号「7.6.4」 に対する解答

$\ddot{x}+x+\varepsilon h(x, \dot{x}) = 0, \ \ h(x,\dot{x}) = x$
解）この系では$h=r \cos \theta$となるので、平均化方程式は
\[ r' = \langle h \sin \theta \rangle = r \langle \sin \theta \cos \theta \rangle = 0, \\
r \phi' = \langle h \cos \theta \rangle = r \langle \cos^2 \theta \rangle = \frac{1}{2} r \]となる。よって、$A, \ \ \phi_0$をある定数として
\[ r(T) \equiv A, \ \ \phi(T) = \frac{T}{2} + \phi_0 \]となるので、長時間挙動として、単純な調和振動子の中にゆっくりと変動する位相を持つことがわかる。また、振幅はほぼ一定値をとり、振動数は$1+\varepsilon/2$となる。

初期条件$x(0)=a, \ \ \dot{x}(0) = 0$のとき、
\[ x(t, \varepsilon) \approx a \cos \left( t + \frac{\varepsilon t}{2} \right) + \mathcal{O}( \varepsilon ) \]となる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-27 12:56:14

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(2018-03-18 14:27:29)

数式の利用について(詳細)

(2018-01-27 06:53:35)

気になるフレーズに本の画像を表示(詳細)

(2017-06-21 05:54:20)

いくつかの機能を追加、修正しました(詳細)

(2017-06-17 05:00:03)

Web読書会ページ新設(詳細)

(2017-04-29 20:10:40)

ブログをはじめました(詳細)

(2017-03-07 06:05:49)

Twitterアプリの連携機能を追加(詳細)

(2016-09-09 04:58:53)

レスポンシブWebデザインに対応(詳細)

(2016-02-17 06:16:03)

自動ツイート機能を追加(詳細)

(2015-04-10 06:36:25)

読書支援サイトRETHAC（α版）リリース(詳細)

(2015-01-04 04:39:59)

7月に紹介された本

この本の読書会サイト