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	P.258の問題番号「7.6.3」に対する解答初期値問題$\ddot{x}+x = \varepsilon, \ \ x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $ (a) 初期条件$x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $の下での$\ddot{x} + x - \varepsilon = 0$の厳密解は$x(t) = \cos t + \varepsilon ( 1 - \cos t )$となる。 (b) 級数展開$x(t,\varepsilon) = x_0(t) + \varepsilon x_1(t) + \varepsilon^2 x_2(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$を代入すると、 \[ (\ddot{x}_0 + x_0) + \varepsilon ( \ddot{x}_1 + x_1 - 1 ) + \varepsilon^2 ( \ddot{x}_2 + x_2 )+ \mathcal{O}(\varepsilon^3) = 0 \]となる。この式はすべての十分小さい$\varepsilon$に対して成立するので、$\varepsilon$のそれぞれのべきの項の係数はいずれも$0$になる。したがって、 \[ \begin{align} \mathcal{O}(1) &: \ddot{x}_0 + x_0 = 0 \\ \mathcal{O}(\varepsilon) &: \ddot{x}_1 + x_1 - 1 = 0 \\ \mathcal{O}(\varepsilon^2) &: \ddot{x}_2 + x_2 = 0 \end{align} \]となる。同様の理由から、初期条件についても \[ x_0(0) = 1, \ \ x_1(0) = 0, \ \ x_2(0) = 0, \\ \dot{x}_0(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0 \]となる。以下、各オーダーで初期値問題を１つずつ解いていく。 $x_0(0) = 1, \ \ \dot{x}_0(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_0 + x_0 = 0$を解くと、 \[ x_0(t) = \cos t \]が得られる。次に、$x_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_1 + x_1 - 1 = 0$を解くと、 \[ x_1(t) = 1 - \cos t \]が得られる。さらに、$x_2(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_2 + x_2 = 0$を解くと、 \[ x_2(t) = 0 \]が得られる。 (c) (b)の結果から摂動解は永年項を含んでいない。このようになる理由は、厳密解が正弦波振動に相当するタイムスケール$t \sim \mathcal{O}(\varepsilon^0)$のみ含んでおり、遅いタイムスケール$t \sim \mathcal{O}(\varepsilon^{-1})$を含んでいないからである。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-26 04:31:20
	P.258の問題番号「7.6.2」に対する解答へのコメント初期値問題$\ddot{x}+x+ \varepsilon x = 0, \ \ x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $ (a) 初期条件$x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $の下での$\ddot{x} + (1+\varepsilon) x = 0$の厳密解は$x(t) = \cos t$となる。 (b) 級数展開$x(t,\varepsilon) = x_0(t) + \varepsilon x_1(t) + \varepsilon^2 x_2(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$を代入すると、 \[ (\ddot{x}_0 + x_0) + \varepsilon ( \ddot{x}_1 + x_1 + x_0 ) + \varepsilon^2 ( \ddot{x}_2 + x_2 + x_1 )+ \mathcal{O}(\varepsilon^3) = 0 \]となる。この式はすべての十分小さい$\varepsilon$に対して成立するので、$\varepsilon$のそれぞれのべきの項の係数はいずれも$0$になる。したがって、 \[ \begin{align} \mathcal{O}(1) &: \ddot{x}_0 + x_0 = 0 \\ \mathcal{O}(\varepsilon) &: \ddot{x}_1 + x_1 + x_0 = 0 \\ \mathcal{O}(\varepsilon^2) &: \ddot{x}_2 + x_2 + x_1 = 0 \end{align} \]となる。同様の理由から、初期条件についても \[ x_0(0) = 1, \ \ x_1(0) = 0, \ \ x_2(0) = 0, \\ \dot{x}_0(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0 \]となる。以下、各オーダーで初期値問題を１つずつ解いていく。 $x_0(0) = 1, \ \ \dot{x}_0(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_0 + x_0 = 0$を解くと、 \[ x_0(t) = \cos t \]が得られる。次に、$x_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_1 + x_1 + x_0 = 0$を解くと、 \[ x_1(t) = -\frac{1}{2} t \sin t \]が得られる。さらに、$x_2(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_2 + x_2 + x_1 = 0$を解くと、 \[ x_2(t) = \frac{1}{8} t \sin t - \frac{1}{8} t^2 \cos t \]が得られる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-26 04:28:55
	P.258の問題番号「7.6.2」に対する解答へのコメント初期値問題$\ddot{x}+x+ \varepsilon x = 0, \ \ x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $ (a) 初期条件$x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $の下での$\ddot{x} + (1+\varepsilon) x = 0$の厳密解は$x(t) = \cos t$となる。 (b) 級数展開$x(t,\varepsilon) = x_0(t) + \varepsilon x_1(t) + \varepsilon^2 x_2(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$を代入すると、 \[ (\ddot{x}_0 + x_0) + \varepsilon ( \ddot{x}_1 + x_1 + x_0 ) + \varepsilon^2 ( \ddot{x}_2 + x_2 + x_1 )+ \mathcal{O}(\varepsilon^3) = 0 \]となる。この式はすべての十分小さい$\varepsilon$に対して成立するので、$\varepsilon$のそれぞれのべきの項の係数はいずれも$0$になる。したがって、 \[ \begin{align} \mathcal{O}(1) &: \ddot{x}_0 + x_0 = 0 \\ \mathcal{O}(\varepsilon) &: \ddot{x}_1 + x_1 + x_0 = 0 \\ \mathcal{O}(\varepsilon^2) &: \ddot{x}_2 + x_2 + x_1 = 0 \end{align} \]となる。同様の理由から、初期条件についても \[ x_0(0) = 1, \ \ x_1(0) = 0, \ \ x_2(0) = 0, \\ \dot{x}_0(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0 \]となる。以下、各オーダーで初期値問題を１つずつ解いていく。 $x_0(0) = 1, \ \ \dot{x}_0(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_0 + x_0 = 0$を解くと、 \[ x_0(t) = \cos t \]が得られる。次に、$x_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_1 + x_1 + x_0 = 0$を解くと、 \[ x_1(t) = -\frac{1}{2} t \sin t \]が得られる。さらに、$x_2(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_2 + x_2 + x_1 = 0$を解くと、 \[ x_2(t) = \frac{1}{8} t \sin t - \frac{1}{8} t^2 \cos t \]が得られる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-25 06:08:15
	P.258の問題番号「7.6.2」に対する解答初期値問題$\ddot{x}+x+ \varepsilon x = 0, \ \ x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $ (a) 初期条件$x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $の下での$\ddot{x} + (1+\varepsilon) x = 0$の厳密解は$x(t) = \cos t$となる。 (b) 級数展開$x(t,\varepsilon) = x_0(t) + \varepsilon x_1(t) + \varepsilon^2 x_2(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$を代入すると、 \[ (\ddot{x}_0 + x_0) + \varepsilon ( \ddot{x}_1 + x_1 + x_0 ) + \varepsilon^2 ( \ddot{x}_2 + x_2 + x_1 )+ \mathcal{O}(\varepsilon^3) = 0 \]となる。この式はすべての十分小さい$\varepsilon$に対して成立するので、$\varepsilon$のそれぞれのべきの項の係数はいずれも$0$になる。したがって、 \[ \begin{align} \mathcal{O}(1) &: \ddot{x}_0 + x_0 = 0 \\ \mathcal{O}(\varepsilon) &: \ddot{x}_1 + x_1 + x_0 = 0 \\ \mathcal{O}(\varepsilon^2) &: \ddot{x}_2 + x_2 + x_1 = 0 \end{align} \]となる。同様の理由から、初期条件についても \[ x_0(0) = 1, \ \ x_1(0) = 0, \ \ x_2(0) = 0, \\ \dot{x}_0(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0 \]となる。以下、各オーダーで初期値問題を１つずつ解いていく。 $x_0(0) = 1, \ \ \dot{x}_0(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_0 + x_0 = 0$を解くと、 \[ x_0(t) = \cos t \]が得られる。次に、$x_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_1 + x_1 + x_0 = 0$を解くと、 \[ x_1(t) = -\frac{1}{2} t \sin t \]が得られる。さらに、$x_2(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_2 + x_2 + x_1 = 0$を解くと、 \[ x_2(t) = \frac{1}{8} t \sin t - \frac{1}{8} t^2 \cos t \]が得られる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-25 06:07:00
	P.258の問題番号「7.6.1」に対する解答 \[ x(t, \varepsilon) = (1-\varepsilon^2)^{-\frac{1}{2}} e^{-\varepsilon t} \sin \left[ (1-\varepsilon^2)^{\frac{1}{2}} t \right] \] 右辺の各項は、 \[ \begin{align} ( 1-\varepsilon^2 )^{-\frac{1}{2}} &= 1 + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \\ e^{-\varepsilon t} &= 1 - \varepsilon t + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \\ \sin \left[ (1 - \varepsilon^2)^{-\frac{1}{2}} \right] &= \sin t + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \end{align} \]となるので、 \[ x(t,\varepsilon) = \sin t - \varepsilon t \sin t + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \]が得られる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-24 04:42:02
	P.258の問題番号「7.5.7」に対する解答系$\dot{u} = b (v-u)(\alpha + u^2 )-u, \ \ \dot{v} = c-u$ ただし、$b \gg 1, \ \ \alpha \ll 1, \ \ 8 \alpha b < 1$。 (a) $\alpha = 0.001, \ \ 8 \alpha b =0.36$としたときのヌルクラインは添付図の青線のようになる。 (b) この系の固定点は \[ \left( c, c+ \frac{c}{b(\alpha + c^2 )} \right) \]である。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} \frac{2c^2}{\alpha + c^2} -bc^2 -b \alpha -1 & b(\alpha + c^2) \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \\ \tau=\frac{2c^2}{\alpha + c^2} -bc^2 -b \alpha -1, \ \ \Delta =b(\alpha + c^2) \]となる。したがって、この系が弛緩振動をもつためには、少なくとも固定点が不安定である必要があるので、$\tau > 0$より、 \[ \sqrt{ \frac{ 1-2\alpha b - \sqrt{1-8 \alpha b} }{2b} } < c < \sqrt{ \frac{ 1-2\alpha b + \sqrt{1-8 \alpha b} }{2b} } \]が得られる。次に、 \[ c = \sqrt{ \frac{ 1-2\alpha b }{2b} } \]とおいたときの軌道を描くと、添付図左図の赤線のようになり、リミットサイクルが現れることがわかる。また、赤の点列は等時間間隔での軌道のプロットを表しており、$y$軸近傍では軌道はゆっくりと動き、$y$軸から離れると素早く動いていることがわかる。つまり、この系は弛緩振動をしている。以上から、\[ c_1 = \sqrt{ \frac{ 1-2\alpha b - \sqrt{1-8 \alpha b} }{2b} }, \ \ c_2 = \sqrt{ \frac{ 1-2\alpha b + \sqrt{1-8 \alpha b} }{2b} } \]と近似的に置くことができる。 (c) 添付図右図のように、$c$が$c_1$より少し小さい場合、系は興奮性となることがわかる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-21 12:31:23
	P.257の問題番号「7.5.6」に対する解答バイアスをかけたファン・デル・ポール振動子 $\ddot{x}+\mu (x^2-1) \dot{x}+x=a$ (a) リエナール平面で考える。$F(x)$を \[ F(x) = \frac{1}{3} x^3 - x \]とおくと、この系は \[ \dot{x} = \mu [ y - F(x)], \ \ \dot{y}= \frac{a-x}{\mu} \]となる。この系の固定点は$(a,F(a))$となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} -\mu (a^2-1) & \mu \\ -1/\mu & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau=-\mu(a^2-1), \ \ \Delta =1, \ \ \tau^2 -4 \Delta = \mu^2(a^2-1)^2-4 \]となる。したがって、 i) $\|a\|<1$のとき、$(a,F(a))$は不安定な固定点となる。 ii) $\|a\|=1$のとき、$(a,F(a))$はセンターと予想される。 iii) $\|a\|>1$のとき、$(a,F(a))$は安定な固定点となる。 (b) 2本のヌルクラインの交点が3次関数で与えられるヌルクラインの中央の枝上にあるとき、$\|a\|<1$となるので、(a)の結果から固定点は不安定である。 (c) $a_c=1$ リエナール平面上で解析を行うと、$\|a\|<1$のときは通常のファン・デル・ポール振動子と同様の解析でリミットサイクルが存在することを示せる。一方、$\|a\| > 1$のとき、軌道は3次関数で与えられるヌルクラインの正または負の枝上にある安定な固定点に吸収される。$\|a\|=1$のとき、軌道は固定点周りの小さな周回軌道に捕らえられる。 (d) 例えば、$a=1.01$の場合の相図を添付図右下に示す。固定点よりわずかに下の位置から始まる軌道は一旦、3次関数で与えられるヌルクラインの負の枝まで水平方向に移動し、負の枝に沿って上った後、正の枝に水平方向にジャンプする。そして、正の枝上に沿ってゆっくり下りていき、安定な固定点に吸収される。すなわち、興奮性であることがわかる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-20 14:22:11
	P.257の問題番号「7.5.5」に対する解答方程式$\ddot{x}+\mu (\|x\|-1) \dot{x}+x=0$ まず、リエナール平面を求める。$F(x)$を区分に滑らかな関数 \[ F(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2} x^2 - x = -\frac{1}{2} (x+1)^2 + \frac{1}{2} & (x < 0) \\ \frac{1}{2} x^2 - x = \frac{1}{2} (x-1)^2 - \frac{1}{2} & (x \geq 0) \end{cases} \]とおくと、 \[ \ddot{x}+ \mu (\|x\|-1) \dot{x} = \frac{d}{dt} \left[ \dot{x} + \mu F(x) \right] \]となる。$w = \dot{x} + \mu F(x)$とおくと、方程式は \[ \dot{w} = \ddot{x} + \mu (\|x\|-1) \dot{x} = -x \]と書くことができる。したがって、系は \[ \dot{x} = w - \mu F(x), \ \ \dot{w}=-x \]となる。さらに、$w= \mu y$とおくと、系は \[ \dot{x} = \mu ( y - F(x) ), \ \ \dot{y}=\frac{-x}{\mu} \]となる。次に、$\mu \gg 1$のとき、リミットサイクルは添付図の赤線のようになり、弛緩振動を生じる。この場合のリミットサイクルの周期は \[ T \approx 2 \int_{t_A}^{t_B}dt \]とできる。遅い枝上での軌道は$y \approx F(x)$と近似できるので、 \[ \frac{dy}{dt} \approx F'(x) \frac{dx}{dt} = (x-1)\frac{dx}{dt} \]となる。これと$\dot{y} = -x/\mu$より \[ dt \approx -\frac{\mu(x-1)}{x} dx \]が成り立つ。また、正の方の枝は$x_A=1+\sqrt{2}$から始まり、$x_B=1$で終わる。したがって、 \[ T \approx 2 \int_{1+\sqrt{2}}^1 \frac{-\mu(x-1)}{x} dx = 2 [\sqrt{2} - \ln (\sqrt{2}+1) ] \mu \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-19 04:58:18
	P.257の問題番号「7.5.4」に対する解答方程式$\ddot{x}+\mu f(x) \dot{x}+x=0$ ただし、$\|x\|<1$で$f(x)=-1$、$\|x\| \geq 1$で$f(x)=1$ (a) $F(x)$を区分線形関数 \[ F(x) = \begin{cases} x+2 & (x \leq -1) \\ -x & (\|x\| \leq 1) \\ x-2 & (x \geq 1) \end{cases} \]とおくと、 \[ \ddot{x}+ \mu f(x) \dot{x} = \frac{d}{dt} \left[ \dot{x} + \mu F(x) \right] \]となる。$w = \dot{x} + \mu F(x)$とおくと、方程式は \[ \dot{w} = \ddot{x} + \mu f(x) \dot{x} = -x \]と書くことができる。したがって、系は \[ \dot{x} = w - \mu F(x), \ \ \dot{w}=-x \]となる。さらに、$w= \mu y$とおくと、系は \[ \dot{x} = \mu ( y - F(x) ), \ \ \dot{y}=\frac{-x}{\mu} \]と等価であることがわかる。 (b) ヌルクラインは添付図の青の線になる。 (c) リミットサイクルは添付図の赤線のようになる。図のB→C、D→Aのジャンプする領域では、区分線形関数で与えられるヌルクラインに近接していない$y-F(x) \sim \mathcal{O}(1)$の場合に相当し、$\|\dot{x}\| \sim \mathcal{O}(\mu) \gg 1, \ \ \|\dot{y}\| \sim \mathcal{O}(\mu^{-1}) \ll 1$となり、軌道はほとんど水平方向に$\Delta t \sim \mathcal{O}(\mu^{-1})$の短い時間で動く。一方、図のA→B、C→Dのヌルクラインに沿った領域では、$y-F(x) \sim \mathcal{O}(\mu^{-2})$と考えることができ、$\|\dot{x}\| \sim \mathcal{O}(\mu^{-1}) \ll 1, \ \ \|\dot{y}\| \sim \mathcal{O}(\mu^{-1}) \ll 1$となり、$\Delta t \sim \mathcal{O}(\mu)$の長い時間で動く。つまり、この系は$\mu \gg 1$で弛緩振動を生じる。 (d) $\mu \gg 1$の場合のリミットサイクルの周期は \[ T \approx 2 \int_{t_A}^{t_B}dt \]となる。遅い枝上での軌道は$y \approx F(x)$と近似できるので、 \[ \frac{dy}{dt} \approx F'(x) \frac{dx}{dt} = \frac{dx}{dt} \]となる。これと$\dot{y} = -x/\mu$より \[ dt \approx -\frac{\mu}{x} dx \]が成り立つ。また、正の方の枝は$x_A=3$から始まり、$x_B=1$で終わる。したがって、 \[ T \approx 2 \int_3^1 \frac{-\mu}{x} dx = 2 \ln 3 \mu \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-18 06:05:57
	P.257の問題番号「7.5.3」に対する解答系$\ddot{x}+k(x^2-4)\dot{x}+x=1$ 解）左辺の第1項と第2項から \[ \ddot{x}+k(x^2-4)\dot{x} = \frac{d}{dt} \left[ \dot{x} + k \left( \frac{1}{3} x^3 - 4x \right) \right] \]となるので、 \[ F(x) = \frac{1}{3} x^3 - 4x, \ \ w = \dot{x} + kF(x) \]とおくと、系は \[ \dot{w} = \ddot{x} + k(x^2-4)\dot{x} = 1-x \]と書くことができる。したがって、系は \[ \dot{x} = w - kF(x), \ \ \dot{w}=1-x \]となる。さらに、$w=ky$とおくと、 \[ \dot{x} = k( y - F(x) ), \ \ \dot{y}=\frac{1-x}{k} \]となる。このリエナール平面の相図は添付図のようになる。次に、$k \gg 1$のとき、ヌルクライン間のジャンプに要する時間を無視できるため、周期$T$はヌルクライン上の２つの遅い枝に沿って移動するのに要する時間にほぼ相当する。したがって、 \[ T \approx 2 \int_{t_A}^{t_B}dt \]となる。遅い枝上での軌道は$y \approx F(x)$と近似できるので、 \[ \frac{dy}{dt} \approx F'(x) \frac{dx}{dt} = (x^2-4) \frac{dx}{dt} \]と$\dot{y} = (1-x)/k$より \[ dt \approx -\frac{k(x^2-4)}{x-1} dx \]が成り立つ。また、正の方の枝は$x_A=4$から始まり、$x_B=2$で終わる。したがって、 \[ T \approx 2 \int_4^2 \frac{-k(x^2-4)}{x-1} dx = 2k [ 8-3 \ln 3 ] \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-17 05:30:58

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	P.258の問題番号「7.6.3」に対する解答初期値問題$\ddot{x}+x = \varepsilon, \ \ x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $ (a) 初期条件$x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $の下での$\ddot{x} + x - \varepsilon = 0$の厳密解は$x(t) = \cos t + \varepsilon ( 1 - \cos t )$となる。 (b) 級数展開$x(t,\varepsilon) = x_0(t) + \varepsilon x_1(t) + \varepsilon^2 x_2(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$を代入すると、 \[ (\ddot{x}_0 + x_0) + \varepsilon ( \ddot{x}_1 + x_1 - 1 ) + \varepsilon^2 ( \ddot{x}_2 + x_2 )+ \mathcal{O}(\varepsilon^3) = 0 \]となる。この式はすべての十分小さい$\varepsilon$に対して成立するので、$\varepsilon$のそれぞれのべきの項の係数はいずれも$0$になる。したがって、 \[ \begin{align} \mathcal{O}(1) &: \ddot{x}_0 + x_0 = 0 \\ \mathcal{O}(\varepsilon) &: \ddot{x}_1 + x_1 - 1 = 0 \\ \mathcal{O}(\varepsilon^2) &: \ddot{x}_2 + x_2 = 0 \end{align} \]となる。同様の理由から、初期条件についても \[ x_0(0) = 1, \ \ x_1(0) = 0, \ \ x_2(0) = 0, \\ \dot{x}_0(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0 \]となる。以下、各オーダーで初期値問題を１つずつ解いていく。 $x_0(0) = 1, \ \ \dot{x}_0(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_0 + x_0 = 0$を解くと、 \[ x_0(t) = \cos t \]が得られる。次に、$x_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_1 + x_1 - 1 = 0$を解くと、 \[ x_1(t) = 1 - \cos t \]が得られる。さらに、$x_2(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_2 + x_2 = 0$を解くと、 \[ x_2(t) = 0 \]が得られる。 (c) (b)の結果から摂動解は永年項を含んでいない。このようになる理由は、厳密解が正弦波振動に相当するタイムスケール$t \sim \mathcal{O}(\varepsilon^0)$のみ含んでおり、遅いタイムスケール$t \sim \mathcal{O}(\varepsilon^{-1})$を含んでいないからである。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-26 04:31:20
	P.258の問題番号「7.6.2」に対する解答へのコメント初期値問題$\ddot{x}+x+ \varepsilon x = 0, \ \ x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $ (a) 初期条件$x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $の下での$\ddot{x} + (1+\varepsilon) x = 0$の厳密解は$x(t) = \cos t$となる。 (b) 級数展開$x(t,\varepsilon) = x_0(t) + \varepsilon x_1(t) + \varepsilon^2 x_2(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$を代入すると、 \[ (\ddot{x}_0 + x_0) + \varepsilon ( \ddot{x}_1 + x_1 + x_0 ) + \varepsilon^2 ( \ddot{x}_2 + x_2 + x_1 )+ \mathcal{O}(\varepsilon^3) = 0 \]となる。この式はすべての十分小さい$\varepsilon$に対して成立するので、$\varepsilon$のそれぞれのべきの項の係数はいずれも$0$になる。したがって、 \[ \begin{align} \mathcal{O}(1) &: \ddot{x}_0 + x_0 = 0 \\ \mathcal{O}(\varepsilon) &: \ddot{x}_1 + x_1 + x_0 = 0 \\ \mathcal{O}(\varepsilon^2) &: \ddot{x}_2 + x_2 + x_1 = 0 \end{align} \]となる。同様の理由から、初期条件についても \[ x_0(0) = 1, \ \ x_1(0) = 0, \ \ x_2(0) = 0, \\ \dot{x}_0(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0 \]となる。以下、各オーダーで初期値問題を１つずつ解いていく。 $x_0(0) = 1, \ \ \dot{x}_0(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_0 + x_0 = 0$を解くと、 \[ x_0(t) = \cos t \]が得られる。次に、$x_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_1 + x_1 + x_0 = 0$を解くと、 \[ x_1(t) = -\frac{1}{2} t \sin t \]が得られる。さらに、$x_2(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_2 + x_2 + x_1 = 0$を解くと、 \[ x_2(t) = \frac{1}{8} t \sin t - \frac{1}{8} t^2 \cos t \]が得られる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-26 04:28:55
	P.258の問題番号「7.6.2」に対する解答へのコメント初期値問題$\ddot{x}+x+ \varepsilon x = 0, \ \ x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $ (a) 初期条件$x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $の下での$\ddot{x} + (1+\varepsilon) x = 0$の厳密解は$x(t) = \cos t$となる。 (b) 級数展開$x(t,\varepsilon) = x_0(t) + \varepsilon x_1(t) + \varepsilon^2 x_2(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$を代入すると、 \[ (\ddot{x}_0 + x_0) + \varepsilon ( \ddot{x}_1 + x_1 + x_0 ) + \varepsilon^2 ( \ddot{x}_2 + x_2 + x_1 )+ \mathcal{O}(\varepsilon^3) = 0 \]となる。この式はすべての十分小さい$\varepsilon$に対して成立するので、$\varepsilon$のそれぞれのべきの項の係数はいずれも$0$になる。したがって、 \[ \begin{align} \mathcal{O}(1) &: \ddot{x}_0 + x_0 = 0 \\ \mathcal{O}(\varepsilon) &: \ddot{x}_1 + x_1 + x_0 = 0 \\ \mathcal{O}(\varepsilon^2) &: \ddot{x}_2 + x_2 + x_1 = 0 \end{align} \]となる。同様の理由から、初期条件についても \[ x_0(0) = 1, \ \ x_1(0) = 0, \ \ x_2(0) = 0, \\ \dot{x}_0(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0 \]となる。以下、各オーダーで初期値問題を１つずつ解いていく。 $x_0(0) = 1, \ \ \dot{x}_0(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_0 + x_0 = 0$を解くと、 \[ x_0(t) = \cos t \]が得られる。次に、$x_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_1 + x_1 + x_0 = 0$を解くと、 \[ x_1(t) = -\frac{1}{2} t \sin t \]が得られる。さらに、$x_2(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_2 + x_2 + x_1 = 0$を解くと、 \[ x_2(t) = \frac{1}{8} t \sin t - \frac{1}{8} t^2 \cos t \]が得られる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-25 06:08:15
	P.258の問題番号「7.6.2」に対する解答初期値問題$\ddot{x}+x+ \varepsilon x = 0, \ \ x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $ (a) 初期条件$x(0)=1, \ \ \dot{x}(0) = 0 $の下での$\ddot{x} + (1+\varepsilon) x = 0$の厳密解は$x(t) = \cos t$となる。 (b) 級数展開$x(t,\varepsilon) = x_0(t) + \varepsilon x_1(t) + \varepsilon^2 x_2(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$を代入すると、 \[ (\ddot{x}_0 + x_0) + \varepsilon ( \ddot{x}_1 + x_1 + x_0 ) + \varepsilon^2 ( \ddot{x}_2 + x_2 + x_1 )+ \mathcal{O}(\varepsilon^3) = 0 \]となる。この式はすべての十分小さい$\varepsilon$に対して成立するので、$\varepsilon$のそれぞれのべきの項の係数はいずれも$0$になる。したがって、 \[ \begin{align} \mathcal{O}(1) &: \ddot{x}_0 + x_0 = 0 \\ \mathcal{O}(\varepsilon) &: \ddot{x}_1 + x_1 + x_0 = 0 \\ \mathcal{O}(\varepsilon^2) &: \ddot{x}_2 + x_2 + x_1 = 0 \end{align} \]となる。同様の理由から、初期条件についても \[ x_0(0) = 1, \ \ x_1(0) = 0, \ \ x_2(0) = 0, \\ \dot{x}_0(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0 \]となる。以下、各オーダーで初期値問題を１つずつ解いていく。 $x_0(0) = 1, \ \ \dot{x}_0(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_0 + x_0 = 0$を解くと、 \[ x_0(t) = \cos t \]が得られる。次に、$x_1(0) = 0, \ \ \dot{x}_1(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_1 + x_1 + x_0 = 0$を解くと、 \[ x_1(t) = -\frac{1}{2} t \sin t \]が得られる。さらに、$x_2(0) = 0, \ \ \dot{x}_2(0) = 0$のもとで、$\ddot{x}_2 + x_2 + x_1 = 0$を解くと、 \[ x_2(t) = \frac{1}{8} t \sin t - \frac{1}{8} t^2 \cos t \]が得られる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-25 06:07:00
	P.258の問題番号「7.6.1」に対する解答 \[ x(t, \varepsilon) = (1-\varepsilon^2)^{-\frac{1}{2}} e^{-\varepsilon t} \sin \left[ (1-\varepsilon^2)^{\frac{1}{2}} t \right] \] 右辺の各項は、 \[ \begin{align} ( 1-\varepsilon^2 )^{-\frac{1}{2}} &= 1 + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \\ e^{-\varepsilon t} &= 1 - \varepsilon t + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \\ \sin \left[ (1 - \varepsilon^2)^{-\frac{1}{2}} \right] &= \sin t + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \end{align} \]となるので、 \[ x(t,\varepsilon) = \sin t - \varepsilon t \sin t + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \]が得られる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-24 04:42:02
	P.258の問題番号「7.5.7」に対する解答系$\dot{u} = b (v-u)(\alpha + u^2 )-u, \ \ \dot{v} = c-u$ ただし、$b \gg 1, \ \ \alpha \ll 1, \ \ 8 \alpha b < 1$。 (a) $\alpha = 0.001, \ \ 8 \alpha b =0.36$としたときのヌルクラインは添付図の青線のようになる。 (b) この系の固定点は \[ \left( c, c+ \frac{c}{b(\alpha + c^2 )} \right) \]である。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} \frac{2c^2}{\alpha + c^2} -bc^2 -b \alpha -1 & b(\alpha + c^2) \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \\ \tau=\frac{2c^2}{\alpha + c^2} -bc^2 -b \alpha -1, \ \ \Delta =b(\alpha + c^2) \]となる。したがって、この系が弛緩振動をもつためには、少なくとも固定点が不安定である必要があるので、$\tau > 0$より、 \[ \sqrt{ \frac{ 1-2\alpha b - \sqrt{1-8 \alpha b} }{2b} } < c < \sqrt{ \frac{ 1-2\alpha b + \sqrt{1-8 \alpha b} }{2b} } \]が得られる。次に、 \[ c = \sqrt{ \frac{ 1-2\alpha b }{2b} } \]とおいたときの軌道を描くと、添付図左図の赤線のようになり、リミットサイクルが現れることがわかる。また、赤の点列は等時間間隔での軌道のプロットを表しており、$y$軸近傍では軌道はゆっくりと動き、$y$軸から離れると素早く動いていることがわかる。つまり、この系は弛緩振動をしている。以上から、\[ c_1 = \sqrt{ \frac{ 1-2\alpha b - \sqrt{1-8 \alpha b} }{2b} }, \ \ c_2 = \sqrt{ \frac{ 1-2\alpha b + \sqrt{1-8 \alpha b} }{2b} } \]と近似的に置くことができる。 (c) 添付図右図のように、$c$が$c_1$より少し小さい場合、系は興奮性となることがわかる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-21 12:31:23
	P.257の問題番号「7.5.6」に対する解答バイアスをかけたファン・デル・ポール振動子 $\ddot{x}+\mu (x^2-1) \dot{x}+x=a$ (a) リエナール平面で考える。$F(x)$を \[ F(x) = \frac{1}{3} x^3 - x \]とおくと、この系は \[ \dot{x} = \mu [ y - F(x)], \ \ \dot{y}= \frac{a-x}{\mu} \]となる。この系の固定点は$(a,F(a))$となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} -\mu (a^2-1) & \mu \\ -1/\mu & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau=-\mu(a^2-1), \ \ \Delta =1, \ \ \tau^2 -4 \Delta = \mu^2(a^2-1)^2-4 \]となる。したがって、 i) $\|a\|<1$のとき、$(a,F(a))$は不安定な固定点となる。 ii) $\|a\|=1$のとき、$(a,F(a))$はセンターと予想される。 iii) $\|a\|>1$のとき、$(a,F(a))$は安定な固定点となる。 (b) 2本のヌルクラインの交点が3次関数で与えられるヌルクラインの中央の枝上にあるとき、$\|a\|<1$となるので、(a)の結果から固定点は不安定である。 (c) $a_c=1$ リエナール平面上で解析を行うと、$\|a\|<1$のときは通常のファン・デル・ポール振動子と同様の解析でリミットサイクルが存在することを示せる。一方、$\|a\| > 1$のとき、軌道は3次関数で与えられるヌルクラインの正または負の枝上にある安定な固定点に吸収される。$\|a\|=1$のとき、軌道は固定点周りの小さな周回軌道に捕らえられる。 (d) 例えば、$a=1.01$の場合の相図を添付図右下に示す。固定点よりわずかに下の位置から始まる軌道は一旦、3次関数で与えられるヌルクラインの負の枝まで水平方向に移動し、負の枝に沿って上った後、正の枝に水平方向にジャンプする。そして、正の枝上に沿ってゆっくり下りていき、安定な固定点に吸収される。すなわち、興奮性であることがわかる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-20 14:22:11
	P.257の問題番号「7.5.5」に対する解答方程式$\ddot{x}+\mu (\|x\|-1) \dot{x}+x=0$ まず、リエナール平面を求める。$F(x)$を区分に滑らかな関数 \[ F(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2} x^2 - x = -\frac{1}{2} (x+1)^2 + \frac{1}{2} & (x < 0) \\ \frac{1}{2} x^2 - x = \frac{1}{2} (x-1)^2 - \frac{1}{2} & (x \geq 0) \end{cases} \]とおくと、 \[ \ddot{x}+ \mu (\|x\|-1) \dot{x} = \frac{d}{dt} \left[ \dot{x} + \mu F(x) \right] \]となる。$w = \dot{x} + \mu F(x)$とおくと、方程式は \[ \dot{w} = \ddot{x} + \mu (\|x\|-1) \dot{x} = -x \]と書くことができる。したがって、系は \[ \dot{x} = w - \mu F(x), \ \ \dot{w}=-x \]となる。さらに、$w= \mu y$とおくと、系は \[ \dot{x} = \mu ( y - F(x) ), \ \ \dot{y}=\frac{-x}{\mu} \]となる。次に、$\mu \gg 1$のとき、リミットサイクルは添付図の赤線のようになり、弛緩振動を生じる。この場合のリミットサイクルの周期は \[ T \approx 2 \int_{t_A}^{t_B}dt \]とできる。遅い枝上での軌道は$y \approx F(x)$と近似できるので、 \[ \frac{dy}{dt} \approx F'(x) \frac{dx}{dt} = (x-1)\frac{dx}{dt} \]となる。これと$\dot{y} = -x/\mu$より \[ dt \approx -\frac{\mu(x-1)}{x} dx \]が成り立つ。また、正の方の枝は$x_A=1+\sqrt{2}$から始まり、$x_B=1$で終わる。したがって、 \[ T \approx 2 \int_{1+\sqrt{2}}^1 \frac{-\mu(x-1)}{x} dx = 2 [\sqrt{2} - \ln (\sqrt{2}+1) ] \mu \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-19 04:58:18
	P.257の問題番号「7.5.4」に対する解答方程式$\ddot{x}+\mu f(x) \dot{x}+x=0$ ただし、$\|x\|<1$で$f(x)=-1$、$\|x\| \geq 1$で$f(x)=1$ (a) $F(x)$を区分線形関数 \[ F(x) = \begin{cases} x+2 & (x \leq -1) \\ -x & (\|x\| \leq 1) \\ x-2 & (x \geq 1) \end{cases} \]とおくと、 \[ \ddot{x}+ \mu f(x) \dot{x} = \frac{d}{dt} \left[ \dot{x} + \mu F(x) \right] \]となる。$w = \dot{x} + \mu F(x)$とおくと、方程式は \[ \dot{w} = \ddot{x} + \mu f(x) \dot{x} = -x \]と書くことができる。したがって、系は \[ \dot{x} = w - \mu F(x), \ \ \dot{w}=-x \]となる。さらに、$w= \mu y$とおくと、系は \[ \dot{x} = \mu ( y - F(x) ), \ \ \dot{y}=\frac{-x}{\mu} \]と等価であることがわかる。 (b) ヌルクラインは添付図の青の線になる。 (c) リミットサイクルは添付図の赤線のようになる。図のB→C、D→Aのジャンプする領域では、区分線形関数で与えられるヌルクラインに近接していない$y-F(x) \sim \mathcal{O}(1)$の場合に相当し、$\|\dot{x}\| \sim \mathcal{O}(\mu) \gg 1, \ \ \|\dot{y}\| \sim \mathcal{O}(\mu^{-1}) \ll 1$となり、軌道はほとんど水平方向に$\Delta t \sim \mathcal{O}(\mu^{-1})$の短い時間で動く。一方、図のA→B、C→Dのヌルクラインに沿った領域では、$y-F(x) \sim \mathcal{O}(\mu^{-2})$と考えることができ、$\|\dot{x}\| \sim \mathcal{O}(\mu^{-1}) \ll 1, \ \ \|\dot{y}\| \sim \mathcal{O}(\mu^{-1}) \ll 1$となり、$\Delta t \sim \mathcal{O}(\mu)$の長い時間で動く。つまり、この系は$\mu \gg 1$で弛緩振動を生じる。 (d) $\mu \gg 1$の場合のリミットサイクルの周期は \[ T \approx 2 \int_{t_A}^{t_B}dt \]となる。遅い枝上での軌道は$y \approx F(x)$と近似できるので、 \[ \frac{dy}{dt} \approx F'(x) \frac{dx}{dt} = \frac{dx}{dt} \]となる。これと$\dot{y} = -x/\mu$より \[ dt \approx -\frac{\mu}{x} dx \]が成り立つ。また、正の方の枝は$x_A=3$から始まり、$x_B=1$で終わる。したがって、 \[ T \approx 2 \int_3^1 \frac{-\mu}{x} dx = 2 \ln 3 \mu \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-18 06:05:57
	P.257の問題番号「7.5.3」に対する解答系$\ddot{x}+k(x^2-4)\dot{x}+x=1$ 解）左辺の第1項と第2項から \[ \ddot{x}+k(x^2-4)\dot{x} = \frac{d}{dt} \left[ \dot{x} + k \left( \frac{1}{3} x^3 - 4x \right) \right] \]となるので、 \[ F(x) = \frac{1}{3} x^3 - 4x, \ \ w = \dot{x} + kF(x) \]とおくと、系は \[ \dot{w} = \ddot{x} + k(x^2-4)\dot{x} = 1-x \]と書くことができる。したがって、系は \[ \dot{x} = w - kF(x), \ \ \dot{w}=1-x \]となる。さらに、$w=ky$とおくと、 \[ \dot{x} = k( y - F(x) ), \ \ \dot{y}=\frac{1-x}{k} \]となる。このリエナール平面の相図は添付図のようになる。次に、$k \gg 1$のとき、ヌルクライン間のジャンプに要する時間を無視できるため、周期$T$はヌルクライン上の２つの遅い枝に沿って移動するのに要する時間にほぼ相当する。したがって、 \[ T \approx 2 \int_{t_A}^{t_B}dt \]となる。遅い枝上での軌道は$y \approx F(x)$と近似できるので、 \[ \frac{dy}{dt} \approx F'(x) \frac{dx}{dt} = (x^2-4) \frac{dx}{dt} \]と$\dot{y} = (1-x)/k$より \[ dt \approx -\frac{k(x^2-4)}{x-1} dx \]が成り立つ。また、正の方の枝は$x_A=4$から始まり、$x_B=2$で終わる。したがって、 \[ T \approx 2 \int_4^2 \frac{-k(x^2-4)}{x-1} dx = 2k [ 8-3 \ln 3 ] \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-02-17 05:30:58