P.251の問題番号「7.1.4」 に対する解答

系$\dot{r} = r \sin r, \ \ \dot{\theta}=1$
動径方向のダイナミクスを直線上のベクトル場として取り扱うことにより、$n$を$0$以上の整数として$r^*=2 \pi n$は不安定固定点であり、$r^*=\pi+2\pi n$は安定固定点であることがわかる。したがって、相平面で$2\pi n<r<\pi+2\pi(n+1)$の領域の軌道は$r^*=2\pi n$の円に単調に近づいていくことがわかる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-13 06:44:24

P.251の問題番号「7.1.2」 に対する解答

系$\dot{r} = r(1-r^2)(9-r^2), \ \ \dot{\theta}=1$
動径方向のダイナミクスを直線上のベクトル場として取り扱うことにより、$r^*=0$は不安定固定点であり、$r^*=1$は安定固定点、$r^*=3$は不安定固定点であることがわかる。したがって、相平面で$0<r<3$の領域の軌道は$r^*=1$の単位円に単調に近づいていき、$r>3$の領域の軌道は$r^*=3$の円から単調に遠ざかっていくことがわかる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-13 04:28:56

P.213の問題番号「6.8.14」 に対する解答

系$\dot{x} = x \cos \alpha - y \sin \alpha, \ \ \dot{y} = x \sin \alpha + y \cos \alpha, \ \ 0 \leq \alpha \leq \pi$
(a) この系の原点でのヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}, \ \ \tau=2 \cos \alpha, \ \ \Delta = 1, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = -4 \sin^2 \alpha \leq 0 \]となる。
i) $\alpha = 0$のとき、原点は縮退した不安定ノードとなる。
ii) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$のとき、原点は不安定スパイラルとなる。
iii) $\alpha = \frac{\pi}{2}$のとき、原点はセンターとなる。
iv) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$のとき、原点は安定スパイラルとなる。
v) $\alpha = \pi$のとき、原点は縮退した安定ノードとなる。

(b) $f(x,y) = x \cos \alpha - y \sin \alpha, \ \ g(x,y) = x \sin \alpha + y \cos \alpha$とおくと、
$f^2 + g^2 = x^2 + y^2, \ \ fdg - gdf = xdy - ydx$となる。したがって、
\[ I_C = \frac{1}{2 \pi} \oint_C \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2} \]となり、$I_C$は$\alpha$に依存しないことがわかる。

(c) $x = r \cos \theta, \ \ y = r \sin \theta$とおくと、
$x^2 + y^2 = r^2, \ \ xdy - ydx = r^2 d \theta$となる。したがって、$C$を原点を中心とする円とすると、
\[ I_C = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} d \theta = \frac{1}{2 \pi} \cdot 2 \pi = 1 \]が得られる。

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投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-10 13:04:20

P.213の問題番号「6.8.12」 に対する解答

系$\dot{x}=a+x^2, \ \ \dot{y}=-y$
(a) i) $a>0$のとき、固定点はなし。
ii) $a=0$のとき、固定点は$(0,0)$。ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 2x & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \ \ \tau=-1, \ \ \Delta = 0 \]となるので、孤立していない固定点と予想される。
iii) $a<0$のとき、固定点は$(\pm \sqrt{|a|}, 0)$。以下、固定点ごとに分類。
\[ (\sqrt{|a|}, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 2 \sqrt{|a|} & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 2 \sqrt{|a|} -1, \ \ \Delta = -2 \sqrt{|a|}<0 \]となるので、サドル点となる。
\[ (-\sqrt{|a|}, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -2 \sqrt{|a|} & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \\ \tau = -2 \sqrt{|a|} -1<0, \ \ \Delta = 2 \sqrt{|a|}>0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (2 \sqrt{|a|} - 1)^2 \geq 0 \]となるので、安定ノードまたは縮退した安定ノードとなる。

(b) 固定点の指数の和を$I_C$とする。
i) $a>0$のとき、固定点がないので$I_C=0$となる。
ii) $a=0$のとき、原点を中心とした単位円を$C$とすると、$C$上のベクトル場は添付の左図のようになる。これらのベクトルを平行移動した図が右図となる。右図より、#1から#9に順番に進むにつれて、ベクトルは#1から#3の間に時計回りに90度回転し、次に#3から#7の間に反時計回りに180度逆回転し、最後に#7から#9の間にまた90度時計回りに回って$C$の周りの1周を完了する。よって$[\phi]_C = -\frac{\pi}{2} + \pi - \frac{\pi}{2} = 0 $であり、ゆえに$I_C=0$である。
iii) $a<0$のとき、固定点$(\sqrt{|a|},0)$はサドル点であるので、指数は$-1$、一方、固定点$(-\sqrt{|a|},0)$は安定ノードまたは縮退した安定ノードであるので、指数は$1$となる。したがって、すべての固定点の指数の和は$I_C=0$となる。
i)、ii)、iii)より、$a$が変化する際のすべての固定点の指数の和は保存される。

(c) この系のすべての固定点の指数の和を$I_C(a)$とする。このとき、パラメータ$a$が連続的に変化すると、$I_C(a)$も連続的に変化する。したがって$I_C(a)$は整数値を取る関数で、かつ連続的であるので、$I_C(a)$は一定でなくてはならない。以上のことより、$a$が変化する際に、すべての固定点の指数の和が保存される。

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投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-10 06:43:48

P.213の問題番号「6.8.11」 に対する解答へのコメント

$\dot{z} = z^k, \ \ \dot{z} = \bar{z}^k$

$k=1$のとき
$\dot{z} = z$
(a) 直交座標系：$\dot{x}=x, \ \ \dot{y} = y$
　　極座標系　：$\dot{r}=r, \ \ \dot{\theta} = 0$
　　この系のベクトル場は添付図のようになる（直交座標系：左上、極座標系：右上）。
(b) 添付図左下より、指数$I_c = 1$。

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投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-09 18:13:33