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	P.213の問題番号「6.8.11」に対する解答へのコメント $\dot{z} = z^k, \ \ \dot{z} = \bar{z}^k$ $k=1$のとき $\dot{z} = z$ (a) 直交座標系：$\dot{x}=x, \ \ \dot{y} = y$ 　　極座標系　：$\dot{r}=r, \ \ \dot{\theta} = 0$ 　　この系のベクトル場は添付図のようになる（直交座標系：左上、極座標系：右上）。 (b) 添付図左下より、指数$I_c = 1$。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-09 18:12:36
	P.213の問題番号「6.8.11」に対する解答へのコメント $\dot{z} = z^k, \ \ \dot{z} = \bar{z}^k$ $k=1$のとき $\dot{z} = z$ (a) 直交座標系：$\dot{x}=x, \ \ \dot{y} = y$ 　　極座標系　：$\dot{r}=r, \ \ \dot{\theta} = 0$ 　　この系のベクトル場は添付図のようになる（直交座標系：左上、極座標系：右上）。 (b) 添付図左下より、指数$I_c = 1$。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-09 18:11:39
	P.213の問題番号「6.8.11」に対する解答へのコメント $\dot{z} = z^k, \ \ \dot{z} = \bar{z}^k$ $k=1$のとき $\dot{z} = z$ (a) 直交座標系：$\dot{x}=x, \ \ \dot{y} = y$ 　　極座標系　：$\dot{r}=r, \ \ \dot{\theta} = 0$ 　　この系のベクトル場は添付図のようになる（直交座標系：左上、極座標系：右上）。 (b) 添付図左下より、指数$I_c = 1$。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-09 18:10:37
	P.213の問題番号「6.8.11」に対する解答へのコメント $\dot{z} = z^k, \ \ \dot{z} = \bar{z}^k$ $k=1$のとき $\dot{z} = z$ (a) 直交座標系：$\dot{x}=x, \ \ \dot{y} = y$ 　　極座標系　：$\dot{r}=r, \ \ \dot{\theta} = 0$ 　　この系のベクトル場は添付図のようになる（直交座標系：左上、極座標系：右上）。 (b) 添付図左下より、指数$I_c = 1$。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-09 18:09:20
	P.213の問題番号「6.8.11」に対する解答 $\dot{z} = z^k, \ \ \dot{z} = \bar{z}^k$ $k=1$のとき $\dot{z} = z$ (a) 直交座標系：$\dot{x}=x, \ \ \dot{y} = y$ 　　極座標系　：$\dot{r}=r, \ \ \dot{\theta} = 0$ 　　この系のベクトル場は添付図のようになる（直交座標系：左上、極座標系：右上）。 (b) 添付図左下より、指数$I_c = 1$。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-09 18:08:18
	P.213の問題番号「6.8.10」に対する解答例えば、演習問題6.6.8で円柱上のベクトル場を扱っているが、円柱を巻く方向に閉軌道が存在しているにもかかわらず、その閉軌道は固定点を囲んでいない。即ち、トーラス、円柱、および球面のような周期的な座標系をもつ面上では、定理6.8.2は成り立たないと考えられる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-06 05:29:40
	P.212の問題番号「6.8.9」に対する解答 2つのサイクルの間の領域に固定点はなくてもよい。例えば、 \[ \dot{x} = y \left( \frac{5}{2} -x^2-y^2 \right) + x (1-x^2-y^2) (4-x^2-y^2) , \\ \dot{y} = -x \left( \frac{5}{2} -x^2-y^2 \right) + y (1-x^2-y^2) (4-x^2-y^2) \]この系の固定点は原点のみで、 \[ A = \begin{pmatrix} 4 & \frac{5}{2} \\ -\frac{5}{2} & 4 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 8, \ \ \Delta = \frac{89}{4}, \ \ \tau^2 -4 \Delta = -25 \]となるので、安定スパイラルである。この系の相図は添付図のようになる。図から内側の時計回りの周期軌道と外側の反時計回りの周期軌道の間の領域には固定点がないことがわかる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-03 07:42:29
	P.212の問題番号「6.8.8」に対する解答 (a) 3つのサイクルの配置として、添付図のようなものが考えられる。 (b) $C_1, \ C_2$は閉軌道であるので、定理6.8.2より、共に指数は$+1$でなくてはならない。したがって、$C_1, \ C_2$によって囲まれる領域にはそれぞれ少なくとも1つの固定点を持つ。次に$C_3$は$C_1, \ C_2$を内側に含んでいるので、固定点を2つ以上は持つことがわかる。さらに、$C_3$は閉軌道であるので、定理6.8.2より、指数は$+1$でなくてはならない。したがって、$C_3$の内側で、かつ$C_1, \ C_2$の外側にある固定点は、サドルがサドルでない固定点より1つ多く存在しなくてはならない。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-02 09:28:31
	P.212の問題番号「6.8.7」に対する解答系$\dot{x} = x(4-y-x^2), \ \ \dot{y} = y(x-1)$ この系の固定点は$(0, 0), \ \ (1,3)$。以下、固定点ごとに分類。 \[ (0, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 3, \ \ \Delta = -4 \]となるので、サドル点となる。 \[ (1, 3) \ : \ A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = -2 \ \ \Delta = 3, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = -8 \]となるので、安定スパイラルとなる。定理6.8.2より、閉軌道が存在するとすれば、固定点$(1,3)$のみを囲む閉軌道が考えられるが、そのような閉軌道は、スパイラルの軌道と交差することになるので、軌道が交差しないことに矛盾する。したがって、この系は閉軌道を持たない。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-01 08:37:41
	P.212の問題番号「6.8.6」に対する解答 ※この問題において「相平面の閉曲線」は「相平面の閉軌道」の間違いと考えられる。定理6.8.1より、指数$I$は $I=-S+N+F+C$ となる。一方、囲んでいる閉曲線が閉軌道であるとすると、定理6.8.2より $I=1$ となる。したがって、これらの2式より、 $N+F+C=1+S$ が得られる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-01 07:57:31

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	P.213の問題番号「6.8.11」に対する解答へのコメント $\dot{z} = z^k, \ \ \dot{z} = \bar{z}^k$ $k=1$のとき $\dot{z} = z$ (a) 直交座標系：$\dot{x}=x, \ \ \dot{y} = y$ 　　極座標系　：$\dot{r}=r, \ \ \dot{\theta} = 0$ 　　この系のベクトル場は添付図のようになる（直交座標系：左上、極座標系：右上）。 (b) 添付図左下より、指数$I_c = 1$。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-09 18:12:36
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	P.212の問題番号「6.8.9」に対する解答 2つのサイクルの間の領域に固定点はなくてもよい。例えば、 \[ \dot{x} = y \left( \frac{5}{2} -x^2-y^2 \right) + x (1-x^2-y^2) (4-x^2-y^2) , \\ \dot{y} = -x \left( \frac{5}{2} -x^2-y^2 \right) + y (1-x^2-y^2) (4-x^2-y^2) \]この系の固定点は原点のみで、 \[ A = \begin{pmatrix} 4 & \frac{5}{2} \\ -\frac{5}{2} & 4 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 8, \ \ \Delta = \frac{89}{4}, \ \ \tau^2 -4 \Delta = -25 \]となるので、安定スパイラルである。この系の相図は添付図のようになる。図から内側の時計回りの周期軌道と外側の反時計回りの周期軌道の間の領域には固定点がないことがわかる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-03 07:42:29
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	P.212の問題番号「6.8.7」に対する解答系$\dot{x} = x(4-y-x^2), \ \ \dot{y} = y(x-1)$ この系の固定点は$(0, 0), \ \ (1,3)$。以下、固定点ごとに分類。 \[ (0, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \ \ \tau = 3, \ \ \Delta = -4 \]となるので、サドル点となる。 \[ (1, 3) \ : \ A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau = -2 \ \ \Delta = 3, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = -8 \]となるので、安定スパイラルとなる。定理6.8.2より、閉軌道が存在するとすれば、固定点$(1,3)$のみを囲む閉軌道が考えられるが、そのような閉軌道は、スパイラルの軌道と交差することになるので、軌道が交差しないことに矛盾する。したがって、この系は閉軌道を持たない。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-01 08:37:41
	P.212の問題番号「6.8.6」に対する解答 ※この問題において「相平面の閉曲線」は「相平面の閉軌道」の間違いと考えられる。定理6.8.1より、指数$I$は $I=-S+N+F+C$ となる。一方、囲んでいる閉曲線が閉軌道であるとすると、定理6.8.2より $I=1$ となる。したがって、これらの2式より、 $N+F+C=1+S$ が得られる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2021-01-01 07:57:31