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	P.212の問題番号「6.8.5」に対する解答系$\dot{x} = xy, \ \ \dot{y} = x+y$ 固定点は$(0,0)$。原点を中心とした単位円を$C$とすると、$C$上のベクトル場は添付の左図のようになる。これらのベクトルを平行移動した図が右図となる。右図より、#1から#9に順番に進むにつれて、ベクトルは#1から#2の間に時計回りに$\arctan(1/2\sqrt{2})$度回転し、次に#2から#6の間に反時計回りに$\pi+2\arctan(1/2\sqrt{2})$度逆回転し、最後に#6から#9の間にまた$\pi+\arctan(1/2\sqrt{2})$度時計回りに回って$C$の周りの1周を完了する。よって$[\phi]_C = -\arctan(1/2\sqrt{2}) + (\pi+2\arctan(1/2\sqrt{2})) -(\pi+\arctan(1/2\sqrt{2})) = 0 $であり、ゆえに$I_C=0$である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-31 10:34:12
	P.212の問題番号「6.8.4」に対する解答系$\dot{x} = y^3, \ \ \dot{y} = x$ 固定点は$(0,0)$。原点を中心とした単位円を$C$とすると、$C$上のベクトル場は添付の左図のようになる。これらのベクトルを平行移動した図が右図となる。右図より、#1から#9に順番に進むにつれて、ベクトルは時計回りに360度回転し、$C$の周りの1周を完了する。よって$[\phi]_C = -2 \pi $であり、ゆえに$I_C=-1$である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-31 09:41:49
	P.212の問題番号「6.8.3」に対する解答系$\dot{x} = y-x, \ \ \dot{y} = x^2$ 固定点は$(0,0)$。原点を中心とした単位円を$C$とすると、$C$上のベクトル場は添付の左図のようになる。これらのベクトルを平行移動した図が右図となる。右図より、#1から#9に順番に進むにつれて、ベクトルは#1から#3の間に時計回りに135度回転し、次に#3から#7の間に反時計回りに180度逆回転し、最後に#7から#9の間にまた45度時計回りに回って$C$の周りの1周を完了する。よって$[\phi]_C = -\frac{3}{4}\pi + \pi - \frac{1}{4}\pi = 0 $であり、ゆえに$I_C=0$である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-31 08:59:05
	P.212の問題番号「6.8.2」に対する解答系$\dot{x} = x^2, \ \ \dot{y} = y$ 固定点は$(0,0)$。原点を中心とした単位円を$C$とすると、$C$上のベクトル場は添付の左図のようになる。これらのベクトルを平行移動した図が右図となる。右図より、#1から#9に順番に進むにつれて、ベクトルは#1から#3の間に反時計回りに90度回転し、次に#3から#7の間に時計回りに180度逆回転し、最後に#7から#9の間にまた90度反時計回りに回って$C$の周りの1周を完了する。よって$[\phi]_C = \frac{\pi}{2} - \pi + \frac{\pi}{2} = 0 $であり、ゆえに$I_C=0$である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-31 07:15:12
	P.212の問題番号「6.8.1」に対する解答へのコメント (a) 安定スパイラル例：$ \dot{x} = -x+y, \ \ \dot{y} = -x - y$ 図より指数は$+1$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-30 08:55:57
	P.212の問題番号「6.8.1」に対する解答へのコメント (a) 安定スパイラル例：$ \dot{x} = -x+y, \ \ \dot{y} = -x - y$ 図より指数は$+1$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-30 08:54:45
	P.212の問題番号「6.8.1」に対する解答へのコメント (a) 安定スパイラル例：$ \dot{x} = -x+y, \ \ \dot{y} = -x - y$ 図より指数は$+1$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-30 08:53:32
	P.212の問題番号「6.8.1」に対する解答へのコメント (a) 安定スパイラル例：$ \dot{x} = -x+y, \ \ \dot{y} = -x - y$ 図より指数は$+1$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-30 08:52:23
	P.212の問題番号「6.8.1」に対する解答 (a) 安定スパイラル例：$ \dot{x} = -x+y, \ \ \dot{y} = -x - y$ 図より指数は$+1$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-30 08:51:19
	P.212の問題番号「6.7.5」に対する解答周期 \[ T(\alpha) = 4 K \left( \sin^2 \frac{\alpha}{2} \right) \]を$0 \leq \alpha < 180$でプロットすると、添付図のようになる。特に、 $\alpha$：$T$は 0°：6.28318531 $= 2 \pi$, 10°：6.29516852, 20°：6.33137122, 30°：6.39256801, 40°：6.4801036 , 50°：6.59598087, 60°：6.74300142, 70°：6.9249807 , 80°：7.14707654, 90°：7.41629871, 100°：7.74232438, 110°：8.13886125, 120°：8.62606259, 130°：9.23514719, 140°：10.01820032, 150°：11.07225258, 160°：12.61354101, 170°：15.326968 となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-28 06:51:56

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	P.212の問題番号「6.8.5」に対する解答系$\dot{x} = xy, \ \ \dot{y} = x+y$ 固定点は$(0,0)$。原点を中心とした単位円を$C$とすると、$C$上のベクトル場は添付の左図のようになる。これらのベクトルを平行移動した図が右図となる。右図より、#1から#9に順番に進むにつれて、ベクトルは#1から#2の間に時計回りに$\arctan(1/2\sqrt{2})$度回転し、次に#2から#6の間に反時計回りに$\pi+2\arctan(1/2\sqrt{2})$度逆回転し、最後に#6から#9の間にまた$\pi+\arctan(1/2\sqrt{2})$度時計回りに回って$C$の周りの1周を完了する。よって$[\phi]_C = -\arctan(1/2\sqrt{2}) + (\pi+2\arctan(1/2\sqrt{2})) -(\pi+\arctan(1/2\sqrt{2})) = 0 $であり、ゆえに$I_C=0$である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-31 10:34:12
	P.212の問題番号「6.8.4」に対する解答系$\dot{x} = y^3, \ \ \dot{y} = x$ 固定点は$(0,0)$。原点を中心とした単位円を$C$とすると、$C$上のベクトル場は添付の左図のようになる。これらのベクトルを平行移動した図が右図となる。右図より、#1から#9に順番に進むにつれて、ベクトルは時計回りに360度回転し、$C$の周りの1周を完了する。よって$[\phi]_C = -2 \pi $であり、ゆえに$I_C=-1$である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-31 09:41:49
	P.212の問題番号「6.8.3」に対する解答系$\dot{x} = y-x, \ \ \dot{y} = x^2$ 固定点は$(0,0)$。原点を中心とした単位円を$C$とすると、$C$上のベクトル場は添付の左図のようになる。これらのベクトルを平行移動した図が右図となる。右図より、#1から#9に順番に進むにつれて、ベクトルは#1から#3の間に時計回りに135度回転し、次に#3から#7の間に反時計回りに180度逆回転し、最後に#7から#9の間にまた45度時計回りに回って$C$の周りの1周を完了する。よって$[\phi]_C = -\frac{3}{4}\pi + \pi - \frac{1}{4}\pi = 0 $であり、ゆえに$I_C=0$である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-31 08:59:05
	P.212の問題番号「6.8.2」に対する解答系$\dot{x} = x^2, \ \ \dot{y} = y$ 固定点は$(0,0)$。原点を中心とした単位円を$C$とすると、$C$上のベクトル場は添付の左図のようになる。これらのベクトルを平行移動した図が右図となる。右図より、#1から#9に順番に進むにつれて、ベクトルは#1から#3の間に反時計回りに90度回転し、次に#3から#7の間に時計回りに180度逆回転し、最後に#7から#9の間にまた90度反時計回りに回って$C$の周りの1周を完了する。よって$[\phi]_C = \frac{\pi}{2} - \pi + \frac{\pi}{2} = 0 $であり、ゆえに$I_C=0$である。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-31 07:15:12
	P.212の問題番号「6.8.1」に対する解答へのコメント (a) 安定スパイラル例：$ \dot{x} = -x+y, \ \ \dot{y} = -x - y$ 図より指数は$+1$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-30 08:55:57
	P.212の問題番号「6.8.1」に対する解答へのコメント (a) 安定スパイラル例：$ \dot{x} = -x+y, \ \ \dot{y} = -x - y$ 図より指数は$+1$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-30 08:54:45
	P.212の問題番号「6.8.1」に対する解答へのコメント (a) 安定スパイラル例：$ \dot{x} = -x+y, \ \ \dot{y} = -x - y$ 図より指数は$+1$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-30 08:53:32
	P.212の問題番号「6.8.1」に対する解答へのコメント (a) 安定スパイラル例：$ \dot{x} = -x+y, \ \ \dot{y} = -x - y$ 図より指数は$+1$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-30 08:52:23
	P.212の問題番号「6.8.1」に対する解答 (a) 安定スパイラル例：$ \dot{x} = -x+y, \ \ \dot{y} = -x - y$ 図より指数は$+1$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-30 08:51:19
	P.212の問題番号「6.7.5」に対する解答周期 \[ T(\alpha) = 4 K \left( \sin^2 \frac{\alpha}{2} \right) \]を$0 \leq \alpha < 180$でプロットすると、添付図のようになる。特に、 $\alpha$：$T$は 0°：6.28318531 $= 2 \pi$, 10°：6.29516852, 20°：6.33137122, 30°：6.39256801, 40°：6.4801036 , 50°：6.59598087, 60°：6.74300142, 70°：6.9249807 , 80°：7.14707654, 90°：7.41629871, 100°：7.74232438, 110°：8.13886125, 120°：8.62606259, 130°：9.23514719, 140°：10.01820032, 150°：11.07225258, 160°：12.61354101, 170°：15.326968 となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-28 06:51:56