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	P.209の問題番号「6.6.4」に対する解答へのコメント (a) $\ddot{x} +(\dot{x})^2 + x = 3$ この系をベクトル化すると、 $\dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -y^2 -x + 3$ となる。この系の固定点は$(3,0)$。ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。この系の相図は添付図のようになる。この系の軌道の種類は$(3.5,0)$を通る軌道で分かれる。 $3.0 < a < 3.5$として、点$(a,0)$を通る軌道は閉じた軌道になっている。一方、$a > 3.5$として、点$(a,0)$を通る軌道は$y$が正から負になる方向に進む軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-29 07:01:30
	P.209の問題番号「6.6.4」に対する解答へのコメント (a) $\ddot{x} +(\dot{x})^2 + x = 3$ この系をベクトル化すると、 $\dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -y^2 -x + 3$ となる。この系の固定点は$(3,0)$。ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。この系の相図は添付図のようになる。この系の軌道の種類は$(3.5,0)$を通る軌道で分かれる。 $3.0 < a < 3.5$として、点$(a,0)$を通る軌道は閉じた軌道になっている。一方、$a > 3.5$として、点$(a,0)$を通る軌道は$y$が正から負になる方向に進む軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-26 06:46:37
	P.209の問題番号「6.6.4」に対する解答 (a) $\ddot{x} +(\dot{x})^2 + x = 3$ この系をベクトル化すると、 $\dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -y^2 -x + 3$ となる。この系の固定点は$(3,0)$。ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。この系の相図は添付図のようになる。この系の軌道の種類は$(3.5,0)$を通る軌道で分かれる。 $3.0 < a < 3.5$として、点$(a,0)$を通る軌道は閉じた軌道になっている。一方、$a > 3.5$として、点$(a,0)$を通る軌道は$y$が正から負になる方向に進む軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-26 05:38:08
	P.209の問題番号「6.6.3」に対する解答系$\dot{x} = \sin y, \ \ \dot{y} = \sin x$ (a) 変数変換$t \to -t, \ \ y \to -y$に対して $ \dot{x} \to -\dot{x}, \ \ \sin y \to - \sin y, \ \ \dot{y} \to \dot{y}, \ \ \sin x \to \sin x$ となるので、この系は可逆である。 (b) この系の固定点は$(2m \pi,2n \pi), \ \ (2m \pi,(2n+1) \pi), \ \ ((2m+1) \pi,2n \pi), \ \ ((2m+1) \pi,(2n+1) \pi)$。ここで、$m, \ \ n$は整数である。この系のヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & \cos y \\ \cos x & 0 \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。 \[ (2m \pi,2n \pi) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -1<0$となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \] \[ (2m \pi,(2n+1) \pi) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。 \[ ((2m+1) \pi,2n \pi) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。 \[ ((2m+1) \pi,(2n+1) \pi) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -1<0$となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] (c) (b)の結果から、任意の整数$m$に対して、$(m \pi,m \pi)$と$((m+1) \pi,(m+1) \pi)$を結ぶ線分は、安定または不安定多様体となる。したがって、$y=x$上から出発した任意の軌道は$y=x$上を動いて、$(m \pi,m \pi)$のいずれかの固定点に近づいていく。つまり、$y=x$上に永久にとどまる。したがって、$y=x$は不変。また、この系は可逆であるので、$y=-x$も不変となることがわかる。 (d) この系の相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-25 07:52:06
	P.209の問題番号「6.6.2」に対する解答系$\dot{x} = y, \ \ \dot{y} = x \cos y$ 変数変換$t \to -t, \ \ y \to -y$に対して $ \dot{x} \to -\dot{x}, \ \ y \to -y, \ \ \dot{y} \to \dot{y}, \ \ x \cos y \to x \cos y$ となるので、この系は可逆である。この系の固定点は$(0,0)$で、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -1<0$となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]この系の相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-24 05:22:14
	P.208の問題番号「6.6.1」に対する解答系$\dot{x} = y(1-x^2), \ \ \dot{y} = 1-y^2$ 変数変換$t \to -t, \ \ y \to -y$に対して $ \dot{x} \to -\dot{x}, \ \ y(1-x^2) \to -y(1-x^2), \ \ \dot{y} \to \dot{y}, \ \ 1-y^2 \to 1-y^2$ となるので、この系は可逆である。この系の固定点は$(1,1), \ \ (1,-1), \ \ (-1,1), \ \ (-1,-1)$。この系のヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} -2xy & 1-x^2 \\ 0 & -2y \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。 \[ (1,1) \ : \ A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \] $\tau = -4<0, \ \ \Delta = 4>0, \tau^2-4 \Delta = 0$となるので、安定なスターノードと予想される。 \[ (1,-1) \ : \ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] $\tau = 4>0, \ \ \Delta = 4>0, \tau^2-4 \Delta = 0$となるので、不安定なスターノードと予想される。 \[ (-1,1) \ : \ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -4<0$となるので、サドル点となる。 \[ (-1,-1) \ : \ A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -4<0$となるので、サドル点となる。この系の相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-24 05:19:14
	P.208の問題番号「6.5.19」に対する解答モデル$ \dot{R} = a R - bRF, \ \ \dot{F} = -cF + dRF$ (a) $aR$：ウサギの数が多いと、ウサギの数は増える傾向にある。 $-cF$：キツネの数が多いと、キツネの数は減る傾向にある。これは非現実的か。 $-bRF, \ dRF$：ウサギとキツネが出会うと、ウサギが減り、キツネが増える傾向がある。ウサギがキツネに捕食される。 (b) $x = dR/c, \ \ y = bF/a, \ \ \mu = c/a, \ \ \tau = at$とおくと、無次元系 $x' = x(1-y), \ \ y' = \mu y (x-1)$が得られる。 (c) $dy/dx$を考える。 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{\mu y (x-1)}{x(1-y)} \\ \frac{1-y}{y} dy = \mu \frac{x-1}{x} dx \\ \ln y -y = \mu (x - \ln x) +C \]となる。したがって、保存量は$ E(x,y) = y - \ln y + \mu (x - \ln x)$となる。 (d) この系の固定点は$(0,0), \ \ (1,1)$。また、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 1-y & -x \\ \mu y & \mu (x-1) \end{pmatrix} \]以下、固定点ごとに分類。 \[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -\mu \end{pmatrix} \] $\tau = 1- \mu, \ \ \Delta = -\mu <0$となるので、サドル点となる。 \[ (1,1) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ \mu & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = \mu >0$となるので、センターと予測される。ここで、$(1,1)$は明らかに孤立した固定点であり、また、保存量$E(x,y)$は固定点$(1,1)$で \[ \frac{\partial E}{\partial x} = \mu( 1- \frac{1}{x}) = 0, \ \ \frac{\partial E}{\partial y} = 1-\frac{1}{y} =0, \\ \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = \frac{\mu}{x^2} = \mu > 0, \ \ \frac{\partial^2 E}{\partial x \partial y}=0, \ \ \frac{\partial^2 E}{\partial y^2} = \frac{1}{y^2} = 1 >0 \]となるので、$(1,1)$は$E$の極小点となる、すなわち、非線形なセンターをもつ。従って、ほとんどすべての初期条件について、両種の個体数が周期的に変動する。この系の相図は添付図のようになる（$\mu=0.5$とした）。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-23 09:04:26
	P.208の問題番号「6.5.18」に対する解答へのコメント系$mr \ddot{\phi} = -b \dot{\phi} -mg \sin \phi + mr \omega^2 \sin \phi \cos \phi$ 両辺を$mr \omega^2$で割り、$\tau = \omega t, \ \ \gamma = r \omega^2 / g, \ \ \beta = b/mr \omega^2$とおくと、 \[ \phi'' = - \beta \phi' + \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) \]が得られる。さらに、$\phi' = \theta$とおくと、方程式は $ \phi' = \theta, \ \ \theta' = - \beta \theta + \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) $ とベクトル化できる。 i) $\gamma < 1$のとき、固定点は$(0,0), \ \ (\pi, 0 )$となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \cos 2 \phi - \gamma^{-1} \cos \phi & -\beta \end{pmatrix} \]以下、固定点ごとに分類。 \[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - \gamma^{-1} & -\beta \end{pmatrix} \] $\tau = -\beta, \ \ \Delta = \gamma^{-1}-1>0, \ \ \tau^2-4 \Delta = \beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)$となる。したがって、 ① $\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1) > 0$のとき、固定点は安定ノードとなる。 \[ \lambda = \frac{ - \beta + \sqrt{\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta + \sqrt{\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)} \end{pmatrix}, \\ \lambda = \frac{ - \beta - \sqrt{\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta - \sqrt{\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)} \end{pmatrix} \]② $\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1) < 0$のとき、固定点は安定スパイラルとなる。 \[ (\pi,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 + \gamma^{-1} & -\beta \end{pmatrix} \] $\tau = -\beta, \ \ \Delta = -(1+\gamma^{-1})<0$となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = \frac{ - \beta + \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta + \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} \end{pmatrix}, \\ \lambda = \frac{ - \beta - \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta - \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} \end{pmatrix} \]このときの相図は添付図のようになる。 $\gamma < 1$即ち$mr \omega^2 < mg$のとき、輪の回転が遅く、遠心力は重力よりも弱い。その結果、ビーズは鉛直方向の下の位置に落ち着いていく。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-22 08:48:16
	P.208の問題番号「6.5.18」に対する解答系$mr \ddot{\phi} = -b \dot{\phi} -mg \sin \phi + mr \omega^2 \sin \phi \cos \phi$ 両辺を$mr \omega^2$で割り、$\tau = \omega t, \ \ \gamma = r \omega^2 / g, \ \ \beta = b/mr \omega^2$とおくと、 \[ \phi'' = - \beta \phi' + \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) \]が得られる。さらに、$\phi' = \theta$とおくと、方程式は $ \phi' = \theta, \ \ \theta' = - \beta \theta + \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) $ とベクトル化できる。 i) $\gamma < 1$のとき、固定点は$(0,0), \ \ (\pi, 0 )$となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \cos 2 \phi - \gamma^{-1} \cos \phi & -\beta \end{pmatrix} \]以下、固定点ごとに分類。 \[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - \gamma^{-1} & -\beta \end{pmatrix} \] $\tau = -\beta, \ \ \Delta = \gamma^{-1}-1>0, \ \ \tau^2-4 \Delta = \beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)$となる。したがって、 ① $\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1) > 0$のとき、固定点は安定ノードとなる。 \[ \lambda = \frac{ - \beta + \sqrt{\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta + \sqrt{\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)} \end{pmatrix}, \\ \lambda = \frac{ - \beta - \sqrt{\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta - \sqrt{\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)} \end{pmatrix} \]② $\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1) < 0$のとき、固定点は安定スパイラルとなる。 \[ (\pi,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 + \gamma^{-1} & -\beta \end{pmatrix} \] $\tau = -\beta, \ \ \Delta = -(1+\gamma^{-1})<0$となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = \frac{ - \beta + \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta + \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} \end{pmatrix}, \\ \lambda = \frac{ - \beta - \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta - \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} \end{pmatrix} \]このときの相図は添付図のようになる。 $\gamma < 1$即ち$mr \omega^2 < mg$のとき、輪の回転が遅く、遠心力は重力よりも弱い。その結果、ビーズは鉛直方向の下の位置に落ち着いていく。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-22 08:42:39
	P.208の問題番号「6.5.17」に対する解答へのコメント系$mr \ddot{\phi} = -b \dot{\phi} -mg \sin \phi + mr \omega^2 \sin \phi \cos \phi$ $b=0$のとき、方程式の両辺に$\dot{\phi}$をかけて整理すると、 \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} m r \dot{\phi}^2 \right) = \frac{d}{dt} \left( mg \cos \phi - \frac{1}{4} m r \omega^2 \cos 2 \phi \right) \]となるので、保存量は \[ C = \frac{1}{2} m r \dot{\phi}^2 - mg \cos \phi + \frac{1}{4} m r \omega^2 \cos 2 \phi \]となる。この式の両辺に$r$をかけて整理すると、 \[ \begin{align} E &= rC - \frac{1}{4} m r^2 \omega^2 \\ &= \frac{1}{2} m r^2 \dot{\phi}^2 + \frac{1}{2} m r^2 \omega^2 \sin^2 \phi - mgr \cos \phi - m r^2 \omega^2 \cos 2 \phi \end{align} \]となる。この式の最初の2項はビーズの運動エネルギー、第3項は重力によるポテンシャルエネルギーとなる。第4項は、回転している輪が静止して見える座標系を考えたときに遠心力があたかも重力のように常にビーズにかかっている力とみなすことができるので、遠心力によるポテンシャルエネルギーと考えることができる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-21 05:28:21

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	P.209の問題番号「6.6.4」に対する解答へのコメント (a) $\ddot{x} +(\dot{x})^2 + x = 3$ この系をベクトル化すると、 $\dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -y^2 -x + 3$ となる。この系の固定点は$(3,0)$。ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。この系の相図は添付図のようになる。この系の軌道の種類は$(3.5,0)$を通る軌道で分かれる。 $3.0 < a < 3.5$として、点$(a,0)$を通る軌道は閉じた軌道になっている。一方、$a > 3.5$として、点$(a,0)$を通る軌道は$y$が正から負になる方向に進む軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-29 07:01:30
	P.209の問題番号「6.6.4」に対する解答へのコメント (a) $\ddot{x} +(\dot{x})^2 + x = 3$ この系をベクトル化すると、 $\dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -y^2 -x + 3$ となる。この系の固定点は$(3,0)$。ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。この系の相図は添付図のようになる。この系の軌道の種類は$(3.5,0)$を通る軌道で分かれる。 $3.0 < a < 3.5$として、点$(a,0)$を通る軌道は閉じた軌道になっている。一方、$a > 3.5$として、点$(a,0)$を通る軌道は$y$が正から負になる方向に進む軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-26 06:46:37
	P.209の問題番号「6.6.4」に対する解答 (a) $\ddot{x} +(\dot{x})^2 + x = 3$ この系をベクトル化すると、 $\dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -y^2 -x + 3$ となる。この系の固定点は$(3,0)$。ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。この系の相図は添付図のようになる。この系の軌道の種類は$(3.5,0)$を通る軌道で分かれる。 $3.0 < a < 3.5$として、点$(a,0)$を通る軌道は閉じた軌道になっている。一方、$a > 3.5$として、点$(a,0)$を通る軌道は$y$が正から負になる方向に進む軌道を描く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-26 05:38:08
	P.209の問題番号「6.6.3」に対する解答系$\dot{x} = \sin y, \ \ \dot{y} = \sin x$ (a) 変数変換$t \to -t, \ \ y \to -y$に対して $ \dot{x} \to -\dot{x}, \ \ \sin y \to - \sin y, \ \ \dot{y} \to \dot{y}, \ \ \sin x \to \sin x$ となるので、この系は可逆である。 (b) この系の固定点は$(2m \pi,2n \pi), \ \ (2m \pi,(2n+1) \pi), \ \ ((2m+1) \pi,2n \pi), \ \ ((2m+1) \pi,(2n+1) \pi)$。ここで、$m, \ \ n$は整数である。この系のヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & \cos y \\ \cos x & 0 \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。 \[ (2m \pi,2n \pi) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -1<0$となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \] \[ (2m \pi,(2n+1) \pi) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。 \[ ((2m+1) \pi,2n \pi) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。 \[ ((2m+1) \pi,(2n+1) \pi) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -1<0$となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] (c) (b)の結果から、任意の整数$m$に対して、$(m \pi,m \pi)$と$((m+1) \pi,(m+1) \pi)$を結ぶ線分は、安定または不安定多様体となる。したがって、$y=x$上から出発した任意の軌道は$y=x$上を動いて、$(m \pi,m \pi)$のいずれかの固定点に近づいていく。つまり、$y=x$上に永久にとどまる。したがって、$y=x$は不変。また、この系は可逆であるので、$y=-x$も不変となることがわかる。 (d) この系の相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-25 07:52:06
	P.209の問題番号「6.6.2」に対する解答系$\dot{x} = y, \ \ \dot{y} = x \cos y$ 変数変換$t \to -t, \ \ y \to -y$に対して $ \dot{x} \to -\dot{x}, \ \ y \to -y, \ \ \dot{y} \to \dot{y}, \ \ x \cos y \to x \cos y$ となるので、この系は可逆である。この系の固定点は$(0,0)$で、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -1<0$となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]この系の相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-24 05:22:14
	P.208の問題番号「6.6.1」に対する解答系$\dot{x} = y(1-x^2), \ \ \dot{y} = 1-y^2$ 変数変換$t \to -t, \ \ y \to -y$に対して $ \dot{x} \to -\dot{x}, \ \ y(1-x^2) \to -y(1-x^2), \ \ \dot{y} \to \dot{y}, \ \ 1-y^2 \to 1-y^2$ となるので、この系は可逆である。この系の固定点は$(1,1), \ \ (1,-1), \ \ (-1,1), \ \ (-1,-1)$。この系のヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} -2xy & 1-x^2 \\ 0 & -2y \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。 \[ (1,1) \ : \ A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \] $\tau = -4<0, \ \ \Delta = 4>0, \tau^2-4 \Delta = 0$となるので、安定なスターノードと予想される。 \[ (1,-1) \ : \ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] $\tau = 4>0, \ \ \Delta = 4>0, \tau^2-4 \Delta = 0$となるので、不安定なスターノードと予想される。 \[ (-1,1) \ : \ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -4<0$となるので、サドル点となる。 \[ (-1,-1) \ : \ A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -4<0$となるので、サドル点となる。この系の相図は添付図のようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-24 05:19:14
	P.208の問題番号「6.5.19」に対する解答モデル$ \dot{R} = a R - bRF, \ \ \dot{F} = -cF + dRF$ (a) $aR$：ウサギの数が多いと、ウサギの数は増える傾向にある。 $-cF$：キツネの数が多いと、キツネの数は減る傾向にある。これは非現実的か。 $-bRF, \ dRF$：ウサギとキツネが出会うと、ウサギが減り、キツネが増える傾向がある。ウサギがキツネに捕食される。 (b) $x = dR/c, \ \ y = bF/a, \ \ \mu = c/a, \ \ \tau = at$とおくと、無次元系 $x' = x(1-y), \ \ y' = \mu y (x-1)$が得られる。 (c) $dy/dx$を考える。 \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{\mu y (x-1)}{x(1-y)} \\ \frac{1-y}{y} dy = \mu \frac{x-1}{x} dx \\ \ln y -y = \mu (x - \ln x) +C \]となる。したがって、保存量は$ E(x,y) = y - \ln y + \mu (x - \ln x)$となる。 (d) この系の固定点は$(0,0), \ \ (1,1)$。また、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 1-y & -x \\ \mu y & \mu (x-1) \end{pmatrix} \]以下、固定点ごとに分類。 \[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -\mu \end{pmatrix} \] $\tau = 1- \mu, \ \ \Delta = -\mu <0$となるので、サドル点となる。 \[ (1,1) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ \mu & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = \mu >0$となるので、センターと予測される。ここで、$(1,1)$は明らかに孤立した固定点であり、また、保存量$E(x,y)$は固定点$(1,1)$で \[ \frac{\partial E}{\partial x} = \mu( 1- \frac{1}{x}) = 0, \ \ \frac{\partial E}{\partial y} = 1-\frac{1}{y} =0, \\ \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = \frac{\mu}{x^2} = \mu > 0, \ \ \frac{\partial^2 E}{\partial x \partial y}=0, \ \ \frac{\partial^2 E}{\partial y^2} = \frac{1}{y^2} = 1 >0 \]となるので、$(1,1)$は$E$の極小点となる、すなわち、非線形なセンターをもつ。従って、ほとんどすべての初期条件について、両種の個体数が周期的に変動する。この系の相図は添付図のようになる（$\mu=0.5$とした）。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-23 09:04:26
	P.208の問題番号「6.5.18」に対する解答へのコメント系$mr \ddot{\phi} = -b \dot{\phi} -mg \sin \phi + mr \omega^2 \sin \phi \cos \phi$ 両辺を$mr \omega^2$で割り、$\tau = \omega t, \ \ \gamma = r \omega^2 / g, \ \ \beta = b/mr \omega^2$とおくと、 \[ \phi'' = - \beta \phi' + \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) \]が得られる。さらに、$\phi' = \theta$とおくと、方程式は $ \phi' = \theta, \ \ \theta' = - \beta \theta + \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) $ とベクトル化できる。 i) $\gamma < 1$のとき、固定点は$(0,0), \ \ (\pi, 0 )$となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \cos 2 \phi - \gamma^{-1} \cos \phi & -\beta \end{pmatrix} \]以下、固定点ごとに分類。 \[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - \gamma^{-1} & -\beta \end{pmatrix} \] $\tau = -\beta, \ \ \Delta = \gamma^{-1}-1>0, \ \ \tau^2-4 \Delta = \beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)$となる。したがって、 ① $\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1) > 0$のとき、固定点は安定ノードとなる。 \[ \lambda = \frac{ - \beta + \sqrt{\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta + \sqrt{\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)} \end{pmatrix}, \\ \lambda = \frac{ - \beta - \sqrt{\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta - \sqrt{\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)} \end{pmatrix} \]② $\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1) < 0$のとき、固定点は安定スパイラルとなる。 \[ (\pi,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 + \gamma^{-1} & -\beta \end{pmatrix} \] $\tau = -\beta, \ \ \Delta = -(1+\gamma^{-1})<0$となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = \frac{ - \beta + \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta + \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} \end{pmatrix}, \\ \lambda = \frac{ - \beta - \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta - \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} \end{pmatrix} \]このときの相図は添付図のようになる。 $\gamma < 1$即ち$mr \omega^2 < mg$のとき、輪の回転が遅く、遠心力は重力よりも弱い。その結果、ビーズは鉛直方向の下の位置に落ち着いていく。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-22 08:48:16
	P.208の問題番号「6.5.18」に対する解答系$mr \ddot{\phi} = -b \dot{\phi} -mg \sin \phi + mr \omega^2 \sin \phi \cos \phi$ 両辺を$mr \omega^2$で割り、$\tau = \omega t, \ \ \gamma = r \omega^2 / g, \ \ \beta = b/mr \omega^2$とおくと、 \[ \phi'' = - \beta \phi' + \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) \]が得られる。さらに、$\phi' = \theta$とおくと、方程式は $ \phi' = \theta, \ \ \theta' = - \beta \theta + \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) $ とベクトル化できる。 i) $\gamma < 1$のとき、固定点は$(0,0), \ \ (\pi, 0 )$となる。このとき、ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \cos 2 \phi - \gamma^{-1} \cos \phi & -\beta \end{pmatrix} \]以下、固定点ごとに分類。 \[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - \gamma^{-1} & -\beta \end{pmatrix} \] $\tau = -\beta, \ \ \Delta = \gamma^{-1}-1>0, \ \ \tau^2-4 \Delta = \beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)$となる。したがって、 ① $\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1) > 0$のとき、固定点は安定ノードとなる。 \[ \lambda = \frac{ - \beta + \sqrt{\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta + \sqrt{\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)} \end{pmatrix}, \\ \lambda = \frac{ - \beta - \sqrt{\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta - \sqrt{\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1)} \end{pmatrix} \]② $\beta^2 - 4(\gamma^{-1}-1) < 0$のとき、固定点は安定スパイラルとなる。 \[ (\pi,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 + \gamma^{-1} & -\beta \end{pmatrix} \] $\tau = -\beta, \ \ \Delta = -(1+\gamma^{-1})<0$となるので、サドル点となる。 \[ \lambda = \frac{ - \beta + \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta + \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} \end{pmatrix}, \\ \lambda = \frac{ - \beta - \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta - \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} \end{pmatrix} \]このときの相図は添付図のようになる。 $\gamma < 1$即ち$mr \omega^2 < mg$のとき、輪の回転が遅く、遠心力は重力よりも弱い。その結果、ビーズは鉛直方向の下の位置に落ち着いていく。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-22 08:42:39
	P.208の問題番号「6.5.17」に対する解答へのコメント系$mr \ddot{\phi} = -b \dot{\phi} -mg \sin \phi + mr \omega^2 \sin \phi \cos \phi$ $b=0$のとき、方程式の両辺に$\dot{\phi}$をかけて整理すると、 \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} m r \dot{\phi}^2 \right) = \frac{d}{dt} \left( mg \cos \phi - \frac{1}{4} m r \omega^2 \cos 2 \phi \right) \]となるので、保存量は \[ C = \frac{1}{2} m r \dot{\phi}^2 - mg \cos \phi + \frac{1}{4} m r \omega^2 \cos 2 \phi \]となる。この式の両辺に$r$をかけて整理すると、 \[ \begin{align} E &= rC - \frac{1}{4} m r^2 \omega^2 \\ &= \frac{1}{2} m r^2 \dot{\phi}^2 + \frac{1}{2} m r^2 \omega^2 \sin^2 \phi - mgr \cos \phi - m r^2 \omega^2 \cos 2 \phi \end{align} \]となる。この式の最初の2項はビーズの運動エネルギー、第3項は重力によるポテンシャルエネルギーとなる。第4項は、回転している輪が静止して見える座標系を考えたときに遠心力があたかも重力のように常にビーズにかかっている力とみなすことができるので、遠心力によるポテンシャルエネルギーと考えることができる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-21 05:28:21