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	P.207の問題番号「6.5.13」に対する解答 ※問題の方程式$\ddot{x}+\dot{x}+ \varepsilon x^3 = 0$はダフィン方程式の一種であるが、問題の意図からすると、$\ddot{x}+x+ \varepsilon x^3 = 0$の形のダフィン方程式の方が正しい模様。以下の解答ではダフィン方程式を$\ddot{x}+x+ \varepsilon x^3 = 0$として扱う。 (a) ダフィン方程式の両辺に$\dot{x}$をかけて整理すると、保存量 \[ E= \frac{1}{2} \dot{x}^2 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{\varepsilon}{4} x^4 \]が得られる。ダフィン方程式をベクトル場として表すと、 \[ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -x -\varepsilon x^3 \]となるので、保存量は \[ E= \frac{1}{2} y^2 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{\varepsilon}{4} x^4 \]と表される。 $\varepsilon > 0$の場合、この系の固定点は原点のみで、明らかに孤立した固定点であり、また、保存量$E$は原点で \[ \frac{\partial E}{\partial x} = x + \varepsilon x^3 = 0, \ \ \frac{\partial E}{\partial y} = y =0, \\ \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = 1 + 3 \varepsilon x^2 = 1, \ \ \frac{\partial^2 E}{\partial x \partial y}=0, \ \ \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = 1 \]となるので、原点は$E$の極小点となる。すなわち、原点は非線形なセンターをもつ。 (b) $\varepsilon <0$の場合、固定点は$(0,0), \ \ (\pm 1/\sqrt{\|\varepsilon\|}, 0)$。 $0<\delta<1/\sqrt{\|\varepsilon\|}$となるような$\delta$を選ぶと、$x^2+y^2<\delta^2$の領域において、原点は孤立した固定点となり、また、保存量$E$は原点で極小値をとるので、原点の近くのすべての軌道は閉じている。 $(\pm 1/\sqrt{\|\varepsilon\|}, 0)$でのヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -2<0$となるので、サドル点。 \[ \lambda = \sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -\sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{2} \end{pmatrix} \]したがって、原点から遠くの軌道はサドル点の軌道をとる。この問題の相図は添付図。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-10 04:14:50
	P.207の問題番号「6.5.12」に対する解答系$ \dot{x} = xy, \ \ \dot{y} = - x^2$ (a) 連鎖律より \[ \dot{E} = 2 x \dot{x} + 2 y \dot{y} = 2 x (xy) + 2y (-x^2)= 0 \]したがって、$E=x^2+y^2$は保存される。 (b) この系の固定点は$y$軸上の任意の点となる。したがって、原点は固定点となるが、孤立した固定点ではない。 (c) $y$軸上にない任意の点$(x_0,y_0)$から出発する軌道は$E_0(=x_0^2+y_0^2) = x^2+y^2$を満たす軌道を$y$が負の方向に進み、$t \to \infty$で固定点$(0,-\sqrt{E_0})$に吸引される。即ち、原点は閉軌道に囲まれていないことがわかる。この時の相図は添付図。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-08 06:37:09
	P.207の問題番号「6.5.11」に対する解答系$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -by + x - x^3$ この系の固定点は$(0,0),\ \ (\pm 1,0)$。ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1-3x^2 & -b \end{pmatrix} \] 以下、固定点ごとに分類。 \[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -b \end{pmatrix} \] $\tau = -b, \ \ \Delta = -1<0$となるので、サドル点。 \[ \lambda = \frac{-b + \sqrt{b^2+4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -b + \sqrt{b^2+4} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = \frac{-b - \sqrt{b^2+4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -b - \sqrt{b^2+4} \end{pmatrix} \] \[ (\pm 1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -b \end{pmatrix} \] $\tau =-b, \ \ \Delta = 2 >0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = b^2-8 < 0$となるので、安定なスパイラルになる。相図は添付図のようになる。特に、安定固定点$(x^,y^)=(1,0)$の吸引領域は、水色の領域となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-07 13:38:48
	P.206の問題番号「6.5.10」に対する解答へのコメントハミルトニアン \[ H(p,r) = \frac{p^2}{2} + \frac{h^2}{2r^2} -\frac{k}{r} \] (a)(b) 実効的なポテンシャル \[ V(r) = \frac{h^2}{2r^2} -\frac{k}{r} \]のグラフを描くと、$r^= h^2/k$で極小値$V(r^)=-k^2/2h^2$をもち、$\lim_{r \to +0} V(r) = \infty, \ \ \lim_{r \to \infty} V(r) = -0$となるような形になる。 i) $E>0$のとき、$V(r)$との交点の$r$座標は \[ r_{\mathrm{min}} = \frac{-k+\sqrt{k^2+2h^2E}}{2E} \]このとき、粒子が$r \to \infty$から原点に運動量$-\sqrt{2E}$で近づき、わずかに加速しながら、点$r^*$で$-\sqrt{2E+k^2/h^2}$（最大値）をとり、その後、減速して$r_{\mathrm{min}}$で運動量はゼロとなる。その後の運動は原点から遠ざかる方向に同じ行程を逆にたどっていく。 ii) $E=0$のとき、粒子の軌道は$r=\infty$をサドル点とするようにしてホモクリニック軌道を描く。 iii) $-k^2/2h^2 < E < 0$のとき、$V(r)$との交点の$r$座標は \[ r_{\mathrm{min}} = \frac{k-\sqrt{k^2-2h^2\|E\|}}{2\|E\|}, \ \ r_{\mathrm{max}} = \frac{k+\sqrt{k^2-2h^2\|E\|}}{2\|E\|} \]の2点となる。このとき、粒子の軌道は$r_{\mathrm{min}}$から$r_{\mathrm{max}}$までの周期軌道を描く。つまり、粒子は力に「捉えられて」いて、軌道が閉じていることがわかる。 iv) $E<-k^2/2h^2$となるような相図は描けない。これらのポテンシャルと相図の例は添付図。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-06 05:13:24
	P.206の問題番号「6.5.10」に対する解答ハミルトニアン \[ H(p,r) = \frac{p^2}{2} + \frac{h^2}{2r^2} -\frac{k}{r} \] (a)(b) 実効的なポテンシャル \[ V(r) = \frac{h^2}{2r^2} -\frac{k}{r} \]のグラフを描くと、$r^= h^2/k$で極小値$V(r^)=-k^2/2h^2$をもち、$\lim_{r \to +0} V(r) = \infty, \ \ \lim_{r \to \infty} V(r) = -0$となるような形になる。 i) $E>0$のとき、$V(r)$との交点の$r$座標は \[ r_{\mathrm{min}} = \frac{-k+\sqrt{k^2+2h^2E}}{2E} \]このとき、粒子が$r \to \infty$から原点に運動量$-\sqrt{2E}$で近づき、わずかに加速しながら、点$r^*$で$-\sqrt{2E+k^2/h^2}$（最大値）をとり、その後、減速して$r_{\mathrm{min}}$で運動量はゼロとなる。その後の運動は原点から遠ざかる方向に同じ行程を逆にたどっていく。 ii) $E=0$のとき、粒子の軌道は$r=\infty$をサドル点とするようにしてホモクリニック軌道を描く。 iii) $-k^2/2h^2 < E < 0$のとき、$V(r)$との交点の$r$座標は \[ r_{\mathrm{min}} = \frac{k-\sqrt{k^2-2h^2\|E\|}}{2\|E\|}, \ \ r_{\mathrm{max}} = \frac{k+\sqrt{k^2-2h^2\|E\|}}{2\|E\|} \]の2点となる。このとき、粒子の軌道は$r_{\mathrm{min}}$から$r_{\mathrm{max}}$までの周期軌道を描く。つまり、粒子は力に「捉えられて」いて、軌道が閉じていることがわかる。 iv) $E<-k^2/2h^2$となるような相図は描けない。これらのポテンシャルと相図の例は添付図。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-06 05:11:39
	P.206の問題番号「6.5.9」に対する解答連鎖律により、 \[ \dot{H} = \frac{\partial H}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial H}{\partial p} \frac{d p}{d t} \]となる。ここで、ハミルトン方程式を利用すると、 \[ \dot{H} = - \dot{p} \dot{x} + \dot{x} \dot{p} = 0 \]となり、$H$は保存量であることがわかる。したがって、軌道は等高線$H(x,p)=C$上にある。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-05 06:03:02
	P.206の問題番号「6.5.8」に対する解答ハミルトニアン \[ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{kx^2}{2} \] ハミルトン方程式は \[ \dot{x} = \frac{ \partial H }{ \partial p} = \frac{p}{m}, \ \ \dot{p} = - \frac{ \partial H }{ \partial x} = -kx \]となる。前者の式から、$p=m\dot{x}$が得られ、これは通常の運動量の定義である。また、 \[ F = ma = m \ddot{x} = \dot{p} \]となるので、後者の式は$F=ma$に等価である。最後に、この系のポテンシャルは、 \[ V(x) = \frac{kx^2}{2} \]となるので、全エネルギーは \[ E = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + \frac{kx^2}{2} = \frac{p^2}{2m} + \frac{kx^2}{2} = H \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-04 05:15:47
	P.205の問題番号「6.5.7」に対する解答 \[ \frac{d^2 u}{d \theta^2} + u = \alpha + \varepsilon u^2 \] (a) $v = du / d \theta$とおくと、 \[ \dot{u} = v, \ \ \dot{v} = \alpha - u + \varepsilon u^2 \]と$(u,v)$相平面上の系として書き換えることができる。 (b) この系の固定点は \[ \left( \frac{1 \pm \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} }{ 2 \varepsilon }, 0 \right) \]の2点。 (c) この系のヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 + 2 \varepsilon u & 0 \end{pmatrix} \]。以下、固定点ごとに分類。 \[ \left( \frac{1 + \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} }{ 2 \varepsilon }, 0 \right) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -\sqrt{1-4 \varepsilon \alpha}<0$となるので、サドル点。 \[ \lambda = (1-4 \varepsilon \alpha)^{\frac{1}{4}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ (1-4 \varepsilon \alpha)^{\frac{1}{4}} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -(1-4 \varepsilon \alpha)^{\frac{1}{4}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -(1-4 \varepsilon \alpha)^{\frac{1}{4}} \end{pmatrix} \] \[ \left( \frac{1 - \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} }{ 2 \varepsilon }, 0 \right) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha}>0$となるので、センターと予想される。この固定点を$(u^,v^)$とする。この系の保存量は \[ E(u,v) = \frac{1}{2} v^2 - \alpha u + \frac{1}{2} u^2 - \frac{\varepsilon}{3} u^3 \]となる。また、 \[ 0 < \varepsilon' < \frac{\sqrt{1-4 \varepsilon \alpha}}{\varepsilon} \]を満足する任意の$\varepsilon'$をとると、固定点$(u^,v^)$を囲む半径$\varepsilon'$の円の中に、他の固定点は存在しないので、$(u^,v^)$は孤立した固定点となる。最後に、 \[ \left. \frac{\partial}{\partial u} E(u,v) \right\|_{(u^,v^)} = 0, \ \ \left. \frac{\partial}{\partial v} E(u,v) \right\|_{(u^,v^)} = 0, \\ \left. \frac{\partial^2}{\partial u^2} E(u,v) \right\|_{(u^,v^)} = \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} > 0, \\ \left. \frac{\partial^2}{\partial u \partial v} E(u,v) \right\|_{(u^,v^)} = 0, \ \ \left. \frac{\partial^2}{\partial v^2} E(u,v) \right\|_{(u^,v^)} = 1 > 0 \]となるので、$(u^,v^)$は$E(u,v)$の極小点となる。従って固定点$(u^,v^)$は非線形なセンターである。 (d) 添付図のように、固定点$(u^,v^)$が惑星の円形軌道に対応することがわかる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-03 10:57:40
	P.205の問題番号「6.5.6」に対する解答系$ \dot{x} = - kxy, \ \ \dot{y} = k x y - l x$ (a) この系の固定点は$x^* \geq 0$となる任意の点$(x^,0)$。このヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -kx^ \\ 0 & kx^-l \end{pmatrix} \] $\tau = kx^-l, \ \ \Delta = 0$となる。 i) $kx^-l < 0$のとき、安定な孤立していない固定点と予想される。 ii) $kx^-l > 0$のとき、不安定な孤立していない固定点と予想される。 iii) $kx^*-l = 0$のとき、センターのような固定点と予想される。 (b) ヌルクラインは$x=0, x=l/k, y=0$の3直線。ヌルクラインとベクトル場は添付図。 (c) \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{kxy-ly}{-kxy} = -1 + \frac{l}{kx} \\ dy = \left( -1 + \frac{l}{kx} \right) dx \\ y = -x +\frac{l}{k} \ln x + E \\ E = y + x - \frac{l}{k} \ln x \] (d) $k=1, \ \ l=2$の場合の相図は添付図のようになる。 $t \to \infty$では罹病した人はいなくなり、健常な人がわずかに残る。 (e) $x_0 > l/k$すなわち$l<kx_0$。これは健常な人が罹病している人と接触して罹病する率が、罹病している人が死亡する率より大きいとき疫病が発生する。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-31 17:49:48
	P.205の問題番号「6.5.5」に対する解答へのコメント系$\ddot{x} = (x - a)(x^2-a)$ この系をベクトル場として表すと、 $ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = (x - a)(x^2-a)$。この系のポテンシャルは \[ V(x) = -\frac{1}{4}x^4 + \frac{a}{3} x^3 + \frac{a}{2} x^2 - a^2 x \]となる。また、この系のヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3x^2 - 2ax -a & 0 \end{pmatrix} \]となる。 i) $a<0$のとき、固定点は$(a,0)$。 \[ (a,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a(a-1) & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -a(a-1)<0$となるので、サドル点。 \[ \lambda = \sqrt{a(a-1)} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{a(a-1)} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -\sqrt{a(a-1)} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{a(a-1)} \end{pmatrix} \] ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-31 12:27:45

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	P.207の問題番号「6.5.13」に対する解答 ※問題の方程式$\ddot{x}+\dot{x}+ \varepsilon x^3 = 0$はダフィン方程式の一種であるが、問題の意図からすると、$\ddot{x}+x+ \varepsilon x^3 = 0$の形のダフィン方程式の方が正しい模様。以下の解答ではダフィン方程式を$\ddot{x}+x+ \varepsilon x^3 = 0$として扱う。 (a) ダフィン方程式の両辺に$\dot{x}$をかけて整理すると、保存量 \[ E= \frac{1}{2} \dot{x}^2 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{\varepsilon}{4} x^4 \]が得られる。ダフィン方程式をベクトル場として表すと、 \[ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -x -\varepsilon x^3 \]となるので、保存量は \[ E= \frac{1}{2} y^2 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{\varepsilon}{4} x^4 \]と表される。 $\varepsilon > 0$の場合、この系の固定点は原点のみで、明らかに孤立した固定点であり、また、保存量$E$は原点で \[ \frac{\partial E}{\partial x} = x + \varepsilon x^3 = 0, \ \ \frac{\partial E}{\partial y} = y =0, \\ \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = 1 + 3 \varepsilon x^2 = 1, \ \ \frac{\partial^2 E}{\partial x \partial y}=0, \ \ \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = 1 \]となるので、原点は$E$の極小点となる。すなわち、原点は非線形なセンターをもつ。 (b) $\varepsilon <0$の場合、固定点は$(0,0), \ \ (\pm 1/\sqrt{\|\varepsilon\|}, 0)$。 $0<\delta<1/\sqrt{\|\varepsilon\|}$となるような$\delta$を選ぶと、$x^2+y^2<\delta^2$の領域において、原点は孤立した固定点となり、また、保存量$E$は原点で極小値をとるので、原点の近くのすべての軌道は閉じている。 $(\pm 1/\sqrt{\|\varepsilon\|}, 0)$でのヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -2<0$となるので、サドル点。 \[ \lambda = \sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -\sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{2} \end{pmatrix} \]したがって、原点から遠くの軌道はサドル点の軌道をとる。この問題の相図は添付図。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-10 04:14:50
	P.207の問題番号「6.5.12」に対する解答系$ \dot{x} = xy, \ \ \dot{y} = - x^2$ (a) 連鎖律より \[ \dot{E} = 2 x \dot{x} + 2 y \dot{y} = 2 x (xy) + 2y (-x^2)= 0 \]したがって、$E=x^2+y^2$は保存される。 (b) この系の固定点は$y$軸上の任意の点となる。したがって、原点は固定点となるが、孤立した固定点ではない。 (c) $y$軸上にない任意の点$(x_0,y_0)$から出発する軌道は$E_0(=x_0^2+y_0^2) = x^2+y^2$を満たす軌道を$y$が負の方向に進み、$t \to \infty$で固定点$(0,-\sqrt{E_0})$に吸引される。即ち、原点は閉軌道に囲まれていないことがわかる。この時の相図は添付図。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-08 06:37:09
	P.207の問題番号「6.5.11」に対する解答系$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -by + x - x^3$ この系の固定点は$(0,0),\ \ (\pm 1,0)$。ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1-3x^2 & -b \end{pmatrix} \] 以下、固定点ごとに分類。 \[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -b \end{pmatrix} \] $\tau = -b, \ \ \Delta = -1<0$となるので、サドル点。 \[ \lambda = \frac{-b + \sqrt{b^2+4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -b + \sqrt{b^2+4} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = \frac{-b - \sqrt{b^2+4}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -b - \sqrt{b^2+4} \end{pmatrix} \] \[ (\pm 1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -b \end{pmatrix} \] $\tau =-b, \ \ \Delta = 2 >0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = b^2-8 < 0$となるので、安定なスパイラルになる。相図は添付図のようになる。特に、安定固定点$(x^,y^)=(1,0)$の吸引領域は、水色の領域となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-07 13:38:48
	P.206の問題番号「6.5.10」に対する解答へのコメントハミルトニアン \[ H(p,r) = \frac{p^2}{2} + \frac{h^2}{2r^2} -\frac{k}{r} \] (a)(b) 実効的なポテンシャル \[ V(r) = \frac{h^2}{2r^2} -\frac{k}{r} \]のグラフを描くと、$r^= h^2/k$で極小値$V(r^)=-k^2/2h^2$をもち、$\lim_{r \to +0} V(r) = \infty, \ \ \lim_{r \to \infty} V(r) = -0$となるような形になる。 i) $E>0$のとき、$V(r)$との交点の$r$座標は \[ r_{\mathrm{min}} = \frac{-k+\sqrt{k^2+2h^2E}}{2E} \]このとき、粒子が$r \to \infty$から原点に運動量$-\sqrt{2E}$で近づき、わずかに加速しながら、点$r^*$で$-\sqrt{2E+k^2/h^2}$（最大値）をとり、その後、減速して$r_{\mathrm{min}}$で運動量はゼロとなる。その後の運動は原点から遠ざかる方向に同じ行程を逆にたどっていく。 ii) $E=0$のとき、粒子の軌道は$r=\infty$をサドル点とするようにしてホモクリニック軌道を描く。 iii) $-k^2/2h^2 < E < 0$のとき、$V(r)$との交点の$r$座標は \[ r_{\mathrm{min}} = \frac{k-\sqrt{k^2-2h^2\|E\|}}{2\|E\|}, \ \ r_{\mathrm{max}} = \frac{k+\sqrt{k^2-2h^2\|E\|}}{2\|E\|} \]の2点となる。このとき、粒子の軌道は$r_{\mathrm{min}}$から$r_{\mathrm{max}}$までの周期軌道を描く。つまり、粒子は力に「捉えられて」いて、軌道が閉じていることがわかる。 iv) $E<-k^2/2h^2$となるような相図は描けない。これらのポテンシャルと相図の例は添付図。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-06 05:13:24
	P.206の問題番号「6.5.10」に対する解答ハミルトニアン \[ H(p,r) = \frac{p^2}{2} + \frac{h^2}{2r^2} -\frac{k}{r} \] (a)(b) 実効的なポテンシャル \[ V(r) = \frac{h^2}{2r^2} -\frac{k}{r} \]のグラフを描くと、$r^= h^2/k$で極小値$V(r^)=-k^2/2h^2$をもち、$\lim_{r \to +0} V(r) = \infty, \ \ \lim_{r \to \infty} V(r) = -0$となるような形になる。 i) $E>0$のとき、$V(r)$との交点の$r$座標は \[ r_{\mathrm{min}} = \frac{-k+\sqrt{k^2+2h^2E}}{2E} \]このとき、粒子が$r \to \infty$から原点に運動量$-\sqrt{2E}$で近づき、わずかに加速しながら、点$r^*$で$-\sqrt{2E+k^2/h^2}$（最大値）をとり、その後、減速して$r_{\mathrm{min}}$で運動量はゼロとなる。その後の運動は原点から遠ざかる方向に同じ行程を逆にたどっていく。 ii) $E=0$のとき、粒子の軌道は$r=\infty$をサドル点とするようにしてホモクリニック軌道を描く。 iii) $-k^2/2h^2 < E < 0$のとき、$V(r)$との交点の$r$座標は \[ r_{\mathrm{min}} = \frac{k-\sqrt{k^2-2h^2\|E\|}}{2\|E\|}, \ \ r_{\mathrm{max}} = \frac{k+\sqrt{k^2-2h^2\|E\|}}{2\|E\|} \]の2点となる。このとき、粒子の軌道は$r_{\mathrm{min}}$から$r_{\mathrm{max}}$までの周期軌道を描く。つまり、粒子は力に「捉えられて」いて、軌道が閉じていることがわかる。 iv) $E<-k^2/2h^2$となるような相図は描けない。これらのポテンシャルと相図の例は添付図。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-06 05:11:39
	P.206の問題番号「6.5.9」に対する解答連鎖律により、 \[ \dot{H} = \frac{\partial H}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial H}{\partial p} \frac{d p}{d t} \]となる。ここで、ハミルトン方程式を利用すると、 \[ \dot{H} = - \dot{p} \dot{x} + \dot{x} \dot{p} = 0 \]となり、$H$は保存量であることがわかる。したがって、軌道は等高線$H(x,p)=C$上にある。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-05 06:03:02
	P.206の問題番号「6.5.8」に対する解答ハミルトニアン \[ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{kx^2}{2} \] ハミルトン方程式は \[ \dot{x} = \frac{ \partial H }{ \partial p} = \frac{p}{m}, \ \ \dot{p} = - \frac{ \partial H }{ \partial x} = -kx \]となる。前者の式から、$p=m\dot{x}$が得られ、これは通常の運動量の定義である。また、 \[ F = ma = m \ddot{x} = \dot{p} \]となるので、後者の式は$F=ma$に等価である。最後に、この系のポテンシャルは、 \[ V(x) = \frac{kx^2}{2} \]となるので、全エネルギーは \[ E = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 + \frac{kx^2}{2} = \frac{p^2}{2m} + \frac{kx^2}{2} = H \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-04 05:15:47
	P.205の問題番号「6.5.7」に対する解答 \[ \frac{d^2 u}{d \theta^2} + u = \alpha + \varepsilon u^2 \] (a) $v = du / d \theta$とおくと、 \[ \dot{u} = v, \ \ \dot{v} = \alpha - u + \varepsilon u^2 \]と$(u,v)$相平面上の系として書き換えることができる。 (b) この系の固定点は \[ \left( \frac{1 \pm \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} }{ 2 \varepsilon }, 0 \right) \]の2点。 (c) この系のヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 + 2 \varepsilon u & 0 \end{pmatrix} \]。以下、固定点ごとに分類。 \[ \left( \frac{1 + \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} }{ 2 \varepsilon }, 0 \right) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -\sqrt{1-4 \varepsilon \alpha}<0$となるので、サドル点。 \[ \lambda = (1-4 \varepsilon \alpha)^{\frac{1}{4}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ (1-4 \varepsilon \alpha)^{\frac{1}{4}} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -(1-4 \varepsilon \alpha)^{\frac{1}{4}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -(1-4 \varepsilon \alpha)^{\frac{1}{4}} \end{pmatrix} \] \[ \left( \frac{1 - \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} }{ 2 \varepsilon }, 0 \right) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha}>0$となるので、センターと予想される。この固定点を$(u^,v^)$とする。この系の保存量は \[ E(u,v) = \frac{1}{2} v^2 - \alpha u + \frac{1}{2} u^2 - \frac{\varepsilon}{3} u^3 \]となる。また、 \[ 0 < \varepsilon' < \frac{\sqrt{1-4 \varepsilon \alpha}}{\varepsilon} \]を満足する任意の$\varepsilon'$をとると、固定点$(u^,v^)$を囲む半径$\varepsilon'$の円の中に、他の固定点は存在しないので、$(u^,v^)$は孤立した固定点となる。最後に、 \[ \left. \frac{\partial}{\partial u} E(u,v) \right\|_{(u^,v^)} = 0, \ \ \left. \frac{\partial}{\partial v} E(u,v) \right\|_{(u^,v^)} = 0, \\ \left. \frac{\partial^2}{\partial u^2} E(u,v) \right\|_{(u^,v^)} = \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} > 0, \\ \left. \frac{\partial^2}{\partial u \partial v} E(u,v) \right\|_{(u^,v^)} = 0, \ \ \left. \frac{\partial^2}{\partial v^2} E(u,v) \right\|_{(u^,v^)} = 1 > 0 \]となるので、$(u^,v^)$は$E(u,v)$の極小点となる。従って固定点$(u^,v^)$は非線形なセンターである。 (d) 添付図のように、固定点$(u^,v^)$が惑星の円形軌道に対応することがわかる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-03 10:57:40
	P.205の問題番号「6.5.6」に対する解答系$ \dot{x} = - kxy, \ \ \dot{y} = k x y - l x$ (a) この系の固定点は$x^* \geq 0$となる任意の点$(x^,0)$。このヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -kx^ \\ 0 & kx^-l \end{pmatrix} \] $\tau = kx^-l, \ \ \Delta = 0$となる。 i) $kx^-l < 0$のとき、安定な孤立していない固定点と予想される。 ii) $kx^-l > 0$のとき、不安定な孤立していない固定点と予想される。 iii) $kx^*-l = 0$のとき、センターのような固定点と予想される。 (b) ヌルクラインは$x=0, x=l/k, y=0$の3直線。ヌルクラインとベクトル場は添付図。 (c) \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{kxy-ly}{-kxy} = -1 + \frac{l}{kx} \\ dy = \left( -1 + \frac{l}{kx} \right) dx \\ y = -x +\frac{l}{k} \ln x + E \\ E = y + x - \frac{l}{k} \ln x \] (d) $k=1, \ \ l=2$の場合の相図は添付図のようになる。 $t \to \infty$では罹病した人はいなくなり、健常な人がわずかに残る。 (e) $x_0 > l/k$すなわち$l<kx_0$。これは健常な人が罹病している人と接触して罹病する率が、罹病している人が死亡する率より大きいとき疫病が発生する。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-31 17:49:48
	P.205の問題番号「6.5.5」に対する解答へのコメント系$\ddot{x} = (x - a)(x^2-a)$ この系をベクトル場として表すと、 $ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = (x - a)(x^2-a)$。この系のポテンシャルは \[ V(x) = -\frac{1}{4}x^4 + \frac{a}{3} x^3 + \frac{a}{2} x^2 - a^2 x \]となる。また、この系のヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3x^2 - 2ax -a & 0 \end{pmatrix} \]となる。 i) $a<0$のとき、固定点は$(a,0)$。 \[ (a,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a(a-1) & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -a(a-1)<0$となるので、サドル点。 \[ \lambda = \sqrt{a(a-1)} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{a(a-1)} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -\sqrt{a(a-1)} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{a(a-1)} \end{pmatrix} \] ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-31 12:27:45