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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.205の問題番号「6.5.5」 に対する解答へのコメント

系$\ddot{x} = (x - a)(x^2-a)$
この系をベクトル場として表すと、
$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = (x - a)(x^2-a)$。
この系のポテンシャルは
\[ V(x) = -\frac{1}{4}x^4 + \frac{a}{3} x^3 + \frac{a}{2} x^2 - a^2 x \]となる。また、この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3x^2 - 2ax -a & 0 \end{pmatrix} \]となる。
i) $a<0$のとき、固定点は$(a,0)$。
\[ (a,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a(a-1) & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -a(a-1)<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{a(a-1)} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{a(a-1)} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{a(a-1)} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{a(a-1)} \end{pmatrix} \]

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-31 12:25:34

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.205の問題番号「6.5.5」 に対する解答へのコメント

系$\ddot{x} = (x - a)(x^2-a)$
この系をベクトル場として表すと、
$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = (x - a)(x^2-a)$。
この系のポテンシャルは
\[ V(x) = -\frac{1}{4}x^4 + \frac{a}{3} x^3 + \frac{a}{2} x^2 - a^2 x \]となる。また、この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3x^2 - 2ax -a & 0 \end{pmatrix} \]となる。
i) $a<0$のとき、固定点は$(a,0)$。
\[ (a,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a(a-1) & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -a(a-1)<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{a(a-1)} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{a(a-1)} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{a(a-1)} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{a(a-1)} \end{pmatrix} \]

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-31 12:23:30

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.205の問題番号「6.5.5」 に対する解答へのコメント

系$\ddot{x} = (x - a)(x^2-a)$
この系をベクトル場として表すと、
$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = (x - a)(x^2-a)$。
この系のポテンシャルは
\[ V(x) = -\frac{1}{4}x^4 + \frac{a}{3} x^3 + \frac{a}{2} x^2 - a^2 x \]となる。また、この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3x^2 - 2ax -a & 0 \end{pmatrix} \]となる。
i) $a<0$のとき、固定点は$(a,0)$。
\[ (a,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a(a-1) & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -a(a-1)<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{a(a-1)} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{a(a-1)} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{a(a-1)} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{a(a-1)} \end{pmatrix} \]

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-31 12:21:29

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.205の問題番号「6.5.5」 に対する解答

系$\ddot{x} = (x - a)(x^2-a)$
この系をベクトル場として表すと、
$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = (x - a)(x^2-a)$。
この系のポテンシャルは
\[ V(x) = -\frac{1}{4}x^4 + \frac{a}{3} x^3 + \frac{a}{2} x^2 - a^2 x \]となる。また、この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3x^2 - 2ax -a & 0 \end{pmatrix} \]となる。
i) $a<0$のとき、固定点は$(a,0)$。
\[ (a,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a(a-1) & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -a(a-1)<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{a(a-1)} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{a(a-1)} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{a(a-1)} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{a(a-1)} \end{pmatrix} \]

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-31 12:20:02

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.205の問題番号「6.5.4」 に対する解答

系$\ddot{x} = a x - x^2$
この系をベクトル場として表すと、
$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = a x - x^2$
この系の固定点は$(0,0),\ \ (a,0)$。ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a-2x & 0 \end{pmatrix} \]
i) $a<0$のとき
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -a>0$となるので、センターと予想される。
\[ (a,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -a & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = a<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{-a} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{-a} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{-a} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{-a} \end{pmatrix} \]ii) $a=0$のとき
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 0$となるので、孤立していない固定点と予想される。
iii) $a>0$のとき
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -a<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{a} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{a} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{a} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{a} \end{pmatrix} \]
\[ (a,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -a & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = a>0$となるので、センターと予想される。
これらの相図は添付図のようになる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-28 05:26:21

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.205の問題番号「6.5.3」 に対する解答

系$\ddot{x} = a - e^x$
この系をベクトル場として表すと、
$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = a - e^x$
この系の保存量は、
\[ E = \frac{1}{2} y^2 - a x + e^x \]となる。

i) $a<0$のとき、固定点はなし。
ii) $a=0$のとき、固定点はなし。
iii) $a>0$のとき、固定点は$(\ln a, 0)$。ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -a & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = a>0$となるので、センターと予想される。
これらの相図は添付図のようになる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-27 05:05:59

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.205の問題番号「6.5.2」 に対する解答

系$\ddot{x} = x - x^2$
(a) この系をベクトル場として表すと、
$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = x - x^2$
この系の固定点は$(0,0), \ \ (1,0)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - 2x & 0 \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -1<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]
\[ (1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。

(b) 相図は添付図のようになる。

(c) この系の保存量は、
\[ E = \frac{1}{2} y^2 - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3 \]となる。ホモクリニック軌道は$(0,0)$を通るので、その軌道の式は
\[ \frac{1}{2} y^2 - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3 = 0 \]となる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-26 04:16:49

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.205の問題番号「6.5.1」 に対する解答

系$\ddot{x} = x^3 -x$
(a) この系をベクトル場として表すと、
$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = x^3 -x$
この系の固定点は$(0,0), \ \ (\pm 1,0)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3x^2-1 & 0 \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。
\[ (\pm 1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -2<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{2} \end{pmatrix} \]

(b) この系の方程式の両辺に$\dot{x}$をかけると、
\[ \dot{x} \ddot{x} = x^3 \dot{x} - x \dot{x} \\
\frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{2} \dot{x}^2 - \frac{1}{4} x^4 + \frac{1}{2} x^2 \right] = 0 \]したがって、保存量は
\[ E = \frac{1}{2} y^2 - \frac{1}{4} x^4 + \frac{1}{2} x^2 \]となる。

(c) 相図は添付図のようになる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-25 08:41:30

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.7」 に対する解答へのコメント

レート方程式
\[ \dot{n}_1 = G_1 N n_1 - k_1 n_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 \alpha_1 n_1^2 - G_1 \alpha_2 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = G_2 N n_2 - k_2 n_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 \alpha_1 n_1 n_2 - G_2 \alpha_2 n_2^2 \]まず、$\alpha_1 n_1 \to n_1, \ \ \alpha_2 n_2 \to n_2$と置き換えてもその性質は変わらない。
\[ \dot{n}_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 n_1^2 - G_1 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 n_1 n_2 - G_2 n_2^2 \]
(a) この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 -2G_1 n_1 - G_1 n_2 & -G_1 n_1 \\ -G_2 n_2 & G_2 N_0 -k_2 - G_2 n_1 -2 G_2 n_2 \end{pmatrix} \]で、固定点$(0,0)$に対するヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 & 0 \\ 0 & G_2 N_0 -k_2 \end{pmatrix} \]となる。したがって、
i) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、不安定ノード。
ii) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、サドル点。
iii) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、サドル点。
iv) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、安定ノード。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-24 10:47:48

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.204の問題番号「6.4.7」 に対する解答へのコメント

レート方程式
\[ \dot{n}_1 = G_1 N n_1 - k_1 n_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 \alpha_1 n_1^2 - G_1 \alpha_2 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = G_2 N n_2 - k_2 n_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 \alpha_1 n_1 n_2 - G_2 \alpha_2 n_2^2 \]まず、$\alpha_1 n_1 \to n_1, \ \ \alpha_2 n_2 \to n_2$と置き換えてもその性質は変わらない。
\[ \dot{n}_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 n_1^2 - G_1 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 n_1 n_2 - G_2 n_2^2 \]
(a) この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 -2G_1 n_1 - G_1 n_2 & -G_1 n_1 \\ -G_2 n_2 & G_2 N_0 -k_2 - G_2 n_1 -2 G_2 n_2 \end{pmatrix} \]で、固定点$(0,0)$に対するヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 & 0 \\ 0 & G_2 N_0 -k_2 \end{pmatrix} \]となる。したがって、
i) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、不安定ノード。
ii) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、サドル点。
iii) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、サドル点。
iv) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、安定ノード。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-24 10:45:29

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