P.204の問題番号「6.4.5」 に対する解答

$ \dot{N_1} = r_1 N_1(1-N_1/K_1) -b_1 N_1 N_2, \ \ \dot{N_2} = r_2 N_2 -b_2 N_1 N_2 $
$N_1, \ N_2, \ t$を
\[ N_1 = \frac{r_1}{b_2} x, \ \ N_2 = \frac{r_1}{b_1} y, \ \ t = \frac{1}{r_1} \tau \]とリスケールすると、
\[ x' = x (1-x/k_1-y), \ \ y' = y ( \rho - x ) \]となる。ここで、$\rho = r_2/r_1, \ \ k_1 = b_2 K_1/r_1$とおいた。

i) $k_1 > \rho$のとき
この系の固定点は$(0,0), \ \ (\rho,1-\rho/k_1), \ \ (k_1,0)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 1-2x/k_1 - y & -x \\ -y & \rho - x \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1+\rho > 0, \ \ \Delta = \rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (1-\rho)^2 \geq 0$となるので、不安定ノードまたは不安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (\rho,1-\rho/k_1) \ : \ A = \begin{pmatrix} -\rho/k_1 & -\rho \\ -1+\rho/k_1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = -\rho/k_1, \ \ \Delta = -(k_1-\rho) \rho /k_1 < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \frac{-\rho+\sqrt{\rho^2+4 \rho k_1 (k_1-\rho)}}{2k_1} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} -2 k_1 \rho \\ \rho+\sqrt{\rho^2+4 \rho k_1 (k_1-\rho)} \end{pmatrix}, \\
\lambda = \frac{-\rho-\sqrt{\rho^2+4 \rho k_1 (k_1-\rho)}}{2k_1} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} \rho+\sqrt{\rho^2+4 \rho k_1 (k_1-\rho)} \\ 2(k_1 - \rho) \end{pmatrix} \]
\[ (k_1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & -k_1 \\ 0 & \rho - k_1 \end{pmatrix} \] $\tau = -(k_1-\rho)-1 < 0, \ \ \Delta = k_1-\rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (k_1-\rho-1)^2 \geq 0$となるので、安定ノードまたは安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -(k_1-\rho) \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} k_1 \\ k_1-\rho-1 \end{pmatrix} \]この系の相図は添付図のようになる。この場合、長時間経過すると、$(k_1,0)$の吸引領域では、種1は環境収容力$K_1$に近づき、種2はゼロに近づく。吸引領域以外では種2が増え続け、種1は減少していく。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-17 05:41:36

P.203の問題番号「6.4.3」 に対する解答

$\dot{x} = x ( 3-2x-2y ), \ \ \dot{y} = y ( 2-x-y )$
この系の固定点は$(0,0), \ \ (0,2), \ \ (3/2,0)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 3-4x-2y & -2x \\ -y & 2 - x - 2y \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] $\tau = 5, \ \ \Delta = 6, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 1 > 0$となるので、不安定ノード。
\[ \lambda = 3 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = 2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (0,2) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \] $\tau = -3, \ \ \Delta = 2, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 1 > 0$となるので、安定ノード。
\[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (3/2,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix} \] $\tau = -5/2, \ \ \Delta = -3/2$となるので、サドル点。
\[ \lambda = -3 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = 1/2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 6 \\ -7 \end{pmatrix} \]
この系では、$(0,2)$の吸引領域は第１象限全体となる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-13 06:23:24

P.203の問題番号「6.4.1」 に対する解答

$\dot{x} = x ( 3-x-y ), \ \ \dot{y} = y ( 2-x-y )$
この系の固定点は$(0,0), \ \ (0,2), \ \ (3,0)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 3-2x-y & -x \\ -y & 2 - x - 2y \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] $\tau = 5, \ \ \Delta = 6, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 1 > 0$となるので、不安定ノード。\[ \lambda = 3 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = 2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (0,2) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \] $\tau = -1, \ \ \Delta = -2$となるので、サドル点。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (3,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \] $\tau = -4, \ \ \Delta = 3, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 4 > 0$となるので、安定ノード。
\[ \lambda = -3 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \]
この系では、$(3,0)$の吸引領域は第１象限全体となる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-11 11:20:54

P.203の問題番号「6.3.16」 に対する解答へのコメント

$ \dot{x} = a + x^2 - xy, \ \ \dot{y} = y^2 -x^2-1$
(a) $a=0$のとき、固定点は$(0,1), \ \ (0,-1)$。
固定点$(0,1)$の近傍で、$x=u, \ \ y = 1+v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 1, \ \ \Delta = -2$となるので、サドル点である。
このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\
\lambda = 2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。
一方、固定点$(0,-1)$の近傍では、$x=u, \ \ y = -1+ v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = -1, \ \ \Delta = -2$となるので、サドル点である。
このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\
\lambda = -2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。
$a=0$のときの相図は添付図であり、サドルコネクションが存在することがわかる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-08 06:54:54

P.203の問題番号「6.3.15」 に対する解答

系$\dot{r} = r(1-r^2), \ \ \dot{\theta} = 1 - \cos \theta $
この系の相図は添付図のようになる。
この相図から、例えば、十分小さい$\varepsilon > 0$に対して、$(1,\varepsilon)$から出発する軌道を考えると、
まず、$x^2+y^2=1$上を反時計回りに進み、その後$(1,0)$に$y$軸負の方向から近づいていく。
したがって、固定点$r^*=1, \ \ \theta^*=0$は吸引的ではあるが、リアプノフ安定ではない。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-10-05 05:19:30