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	P.128の問題番号「4.3.6」に対する解答 \[ \dot{\theta} = \mu + \sin \theta + \cos 2 \theta = - 2 \sin^2 \theta + \sin \theta + \mu + 1 \]最初、 i) $\mu < -9/8$のとき、固定点はない。 $\mu = -9/8$のとき、$\theta= \sin^{-1}(1/4), \pi - \sin^{-1}(1/4)$でサドルノード分岐を起こし、 ii) $-9/8 < \mu < 0$のとき、4つの固定点が現われる。ここで、$\theta= \sin^{-1}(1/4)$から現れる固定点を$\theta_{s+} (> \sin^{-1}(1/4))$, $\theta_{s-} (< \sin^{-1}(1/4))$と置き、 $\theta= \pi-\sin^{-1}(1/4)$から現れる固定点を$\theta_{l+} (> \pi-\sin^{-1}(1/4))$, $\theta_{l-} (< \pi-\sin^{-1}(1/4))$と置くと、 $\theta_{l+}$と$\theta_{s+}$で安定固定点、$\theta_{l-}$と$\theta_{s-}$で不安定固定点をもつ。次に、$\mu=0$のとき、$\theta=\pi/2$でサドルノード分岐が起こり、$\theta_{l-}$と$\theta_{s+}$が対消滅し、 iii) $0 < \mu < 2 $のとき、$\theta_{l+}$で安定固定点、$\theta_{s-}$で不安定固定点をもつ。最後に、$\mu=2$のとき、 $\theta = - \pi/2$でサドルノード分岐が起こり、$\theta_{l+}$と$\theta_{s-}$が対消滅する。よって、 iv) $\mu > 2$のとき、固定点はなし。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-23 06:20:53
	P.127の問題番号「4.3.5」に対する解答 \[ \dot{\theta} = \mu + \cos \theta + \cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta + \cos \theta + \mu - 1 \]最初、 i) $\mu < -2$のとき、固定点はない。 $\mu = -2$のとき、$\theta=0$でサドルノード分岐を起こし、 ii) $-2< \mu < 0$のとき、2つの固定点が現われ、$\theta_{+}>0$が安定固定点、$\theta_{-}>0$が不安定固定点となる。次に、$\mu=0$のとき、さらに$\theta=\pi,(-\pi)$でサドルノード分岐が起こり、 iii) $0 < \mu < 9/8 $のとき、計4つの固定点が現われ、$\theta_{+}$と新たに$\theta=-\pi$から現れた$\theta_{-\pi}$が安定固定点、$\theta_{-}$と新たに$\theta=\pi$から現れた$\theta_{\pi}$が不安定固定点となる。最後に、$\mu=9/8$のとき、 $\theta = \pm \cos^{-1}(-1/4)$でサドルノード分岐が起こり、$\theta_{+}$と$\theta_{\pi}$が対消滅、$\theta_{-}$と$\theta_{-\pi}$が対消滅する。よって、 iv) $\mu>9/8$のとき、固定点はなし。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-22 05:10:53
	P.127の問題番号「4.3.4」に対する解答 \[ \dot{\theta} = \frac{\sin \theta}{\mu + \cos \theta} \]最初 i) $\mu<-1$では、$\theta=0$に安定固定点、$\theta=\pi,(-\pi)$に不安定固定点をもっている。次に、$\mu=-1$のとき、$\theta=0$で亜臨界ピッチフォーク分岐がおこり、 ii) $-1<\mu<1$のとき、$\theta=\pm \cos^{-1}(-\mu)$に安定固定点、$\theta=0,\pi,(-\pi)$に不安定固定点をもつ。そして、$\mu=1$のとき、$\theta=\pi,(-\pi)$で超臨界ピッチフォーク分岐がおこり、 iii) $\mu > 1$のとき、$\theta=\pi,(-\pi)$に安定固定点、$\theta=0$に不安定固定点をもつようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-22 04:40:25
	P.127の問題番号「4.3.3」に対する解答 \[ \dot{\theta} = \mu \sin \theta - \sin 2 \theta = \sin \theta ( \mu - 2 \cos \theta ) \] $\sin \theta = 0$から固定点として$\theta^=0, \pi, (-\pi)$が現われる。次に、$ \mu - 2 \cos \theta = 0$から得られる固定点について考える。 i) $\mu < -2$のとき、任意の$\theta$について$ \mu - 2 \cos \theta < 0$となり、新たな固定点は出てこない。従って、$\theta^ = 0$に安定固定点、$\theta^* = \pi, (-\pi)$に不安定固定点をもつ。 ii) $-2 < \mu < 2$のとき、$\mu - 2 \cos \theta = 0$は固定点$\theta^* = \pm \cos^{-1}(\mu/2)$をもつ。従って、$\theta^* = 0, \pi, (-\pi)$に安定固定点、$\theta^* = \pm \cos^{-1}(\mu/2)$に不安定固定点をもつ。 iii) $\mu > 2$のとき、任意の$\theta$に対して$ \mu - 2 \cos \theta > 0$となり、新たな固定点は出てこない。従って、$\theta^* = \pi, (-\pi)$に安定固定点、$\theta^* = 0$に不安定固定点をもつ。最後に、分岐についてまとめると、$\mu = -2$のとき、$\theta^* = \pi, (-\pi)$で超臨界ピッチフォーク分岐が起こり、$\mu = 2$のとき、$\theta^* = 0$で亜臨界ピッチフォーク分岐が起こる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-19 04:47:49
	P.127の問題番号「4.3.2」に対する解答非一様な振動子の振動周期 \[ T= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{d \theta}{\omega - a \sin \theta}, \ \omega > a > 0 \](a) 恒等式$\sec^2(\theta/2) = 1 + \tan^2(\theta/2)$を利用すると、 \[ du = \frac{1}{2} \sec^2(\frac{\theta}{2})d \theta = \frac{1}{2} \left( 1 + \tan^2(\frac{\theta}{2}) \right) d \theta = \frac{1+u^2}{2} d \theta \]となるので、\[ d \theta = \frac{2}{1+u^2} d u \]が得られる。 (b) ヒントより \[ \sin(\frac{\theta}{2}) = \frac{u}{\sqrt{1+u^2}}, \ \cos(\frac{\theta}{2}) = \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \]となるので、半角公式を利用すると、 \[ \sin \theta = \frac{2u}{1+u^2} \]が得られる。 (c) $u = \tan(\theta/2)$であるので、$\theta$が$0$に近い方から$\theta \to \pm \pi$になるかぎり、$u \to \pm \infty$となるのは明らか。従って積分の範囲は$(-\pi,\pi)$から$(-\infty,\infty)$となる。 (d) \[ T = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\omega - a \cdot \frac{2u}{1+u^2} } \frac{2}{1+u^2} du = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{\omega (1+u^2) -2au} du \](e) 上式の被積分関数の分母は \[ \omega (1+u^2) -2au = \omega \left( u - \frac{a}{\omega} \right)^2 + \frac{\omega^2 - a^2}{\omega} \]のように平方完成される。ここで、 \[ x = \frac{\omega}{2} \left( u - \frac{a}{\omega} \right), \ r = \frac{\omega^2 - a^2}{4} \]とおくと、 \[ T = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{r+x^2} \]となり、演習問題4.3.1の積分に帰着する。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-18 06:01:04
	P.127の問題番号「4.3.1」に対する解答 \[ T_{\rm{bottleneck}} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{r+x^2} \] $x=\sqrt{r} \tan \theta$とおくと、$dx = \sqrt{r} \sec^2 \theta d \theta$であるので、恒等式$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$を考慮すると、 \[ T_{\rm{bottleneck}} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r+r \tan^2 \theta} \sqrt{r} \sec^2 \theta d \theta = \frac{1}{\sqrt{r}} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta = \frac{\pi}{\sqrt{r}} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-17 05:32:43
	P.127の問題番号「4.2.3」に対する解答時計の問題　別のアプローチ時計の長針は1時間で$2\pi$、短針は1時間で$2 \pi/12$だけ進む。 12時の後、次に時計の針がそろうのは、1時を過ぎたあたり。したがって、1時から$x$時間進んだときに時計の針がそろうとすると、 \[ \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} x = 2\pi x \]が成り立つので、この方程式を解くと、$x = 1/11$が得られる。つまり、$1 + 1/11 = 12/11$時間後に時計の針がそろう。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-16 05:30:10
	P.126の問題番号「4.2.2」に対する解答線形の重ね合せによって生じるうなり $x(t) = \sin 8t + \sin 9t$ (a) $x(t)$の変調の周期は$4\pi$。 (b) $x(t)$は \[ x(t) = 2 \sin \frac{17}{2}t \cos \frac{1}{2}t \]と変形できる。従って、振幅の変調の周期は \[T = \frac{2 \pi}{1/2}=4\pi \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-16 05:20:57
	P.126の問題番号「4.2.1」に対する解答教会の鐘・直観に基づく議論周期3秒と周期4秒の鐘なので、その最小公倍数である12秒後が次に一緒に鐘が鳴るタイミングとなる。・例題4.2.1の手法鐘がなるタイミングの位相を$\theta_1, theta_2$とおくと、それぞれ \[\dot{\theta_1} = \omega_1 = \frac{2\pi}{3}, \ \dot{\theta_2} = \omega_2 = \frac{2\pi}{4} \]このとき、位相差$\phi = \theta_1 - \theta_2$を定義すると、次に鐘が同時になるタイミングは$\phi$が$2\pi$だけ増えるときである。従って、$\dot{\phi} = \dot{\theta_1} - \dot{\theta_2} = \omega_1 - \omega_2$より \[ T = \frac{2 \pi}{\omega_1 - \omega_2} = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right)^{-1} = 12 [\rm{秒}] \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-15 05:45:44
	P.126の問題番号「4.1.9」に対する解答そもそも一価のポテンシャルが存在しない場合があるから。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-14 07:57:41

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	P.128の問題番号「4.3.6」に対する解答 \[ \dot{\theta} = \mu + \sin \theta + \cos 2 \theta = - 2 \sin^2 \theta + \sin \theta + \mu + 1 \]最初、 i) $\mu < -9/8$のとき、固定点はない。 $\mu = -9/8$のとき、$\theta= \sin^{-1}(1/4), \pi - \sin^{-1}(1/4)$でサドルノード分岐を起こし、 ii) $-9/8 < \mu < 0$のとき、4つの固定点が現われる。ここで、$\theta= \sin^{-1}(1/4)$から現れる固定点を$\theta_{s+} (> \sin^{-1}(1/4))$, $\theta_{s-} (< \sin^{-1}(1/4))$と置き、 $\theta= \pi-\sin^{-1}(1/4)$から現れる固定点を$\theta_{l+} (> \pi-\sin^{-1}(1/4))$, $\theta_{l-} (< \pi-\sin^{-1}(1/4))$と置くと、 $\theta_{l+}$と$\theta_{s+}$で安定固定点、$\theta_{l-}$と$\theta_{s-}$で不安定固定点をもつ。次に、$\mu=0$のとき、$\theta=\pi/2$でサドルノード分岐が起こり、$\theta_{l-}$と$\theta_{s+}$が対消滅し、 iii) $0 < \mu < 2 $のとき、$\theta_{l+}$で安定固定点、$\theta_{s-}$で不安定固定点をもつ。最後に、$\mu=2$のとき、 $\theta = - \pi/2$でサドルノード分岐が起こり、$\theta_{l+}$と$\theta_{s-}$が対消滅する。よって、 iv) $\mu > 2$のとき、固定点はなし。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-23 06:20:53
	P.127の問題番号「4.3.5」に対する解答 \[ \dot{\theta} = \mu + \cos \theta + \cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta + \cos \theta + \mu - 1 \]最初、 i) $\mu < -2$のとき、固定点はない。 $\mu = -2$のとき、$\theta=0$でサドルノード分岐を起こし、 ii) $-2< \mu < 0$のとき、2つの固定点が現われ、$\theta_{+}>0$が安定固定点、$\theta_{-}>0$が不安定固定点となる。次に、$\mu=0$のとき、さらに$\theta=\pi,(-\pi)$でサドルノード分岐が起こり、 iii) $0 < \mu < 9/8 $のとき、計4つの固定点が現われ、$\theta_{+}$と新たに$\theta=-\pi$から現れた$\theta_{-\pi}$が安定固定点、$\theta_{-}$と新たに$\theta=\pi$から現れた$\theta_{\pi}$が不安定固定点となる。最後に、$\mu=9/8$のとき、 $\theta = \pm \cos^{-1}(-1/4)$でサドルノード分岐が起こり、$\theta_{+}$と$\theta_{\pi}$が対消滅、$\theta_{-}$と$\theta_{-\pi}$が対消滅する。よって、 iv) $\mu>9/8$のとき、固定点はなし。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-22 05:10:53
	P.127の問題番号「4.3.4」に対する解答 \[ \dot{\theta} = \frac{\sin \theta}{\mu + \cos \theta} \]最初 i) $\mu<-1$では、$\theta=0$に安定固定点、$\theta=\pi,(-\pi)$に不安定固定点をもっている。次に、$\mu=-1$のとき、$\theta=0$で亜臨界ピッチフォーク分岐がおこり、 ii) $-1<\mu<1$のとき、$\theta=\pm \cos^{-1}(-\mu)$に安定固定点、$\theta=0,\pi,(-\pi)$に不安定固定点をもつ。そして、$\mu=1$のとき、$\theta=\pi,(-\pi)$で超臨界ピッチフォーク分岐がおこり、 iii) $\mu > 1$のとき、$\theta=\pi,(-\pi)$に安定固定点、$\theta=0$に不安定固定点をもつようになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-22 04:40:25
	P.127の問題番号「4.3.3」に対する解答 \[ \dot{\theta} = \mu \sin \theta - \sin 2 \theta = \sin \theta ( \mu - 2 \cos \theta ) \] $\sin \theta = 0$から固定点として$\theta^=0, \pi, (-\pi)$が現われる。次に、$ \mu - 2 \cos \theta = 0$から得られる固定点について考える。 i) $\mu < -2$のとき、任意の$\theta$について$ \mu - 2 \cos \theta < 0$となり、新たな固定点は出てこない。従って、$\theta^ = 0$に安定固定点、$\theta^* = \pi, (-\pi)$に不安定固定点をもつ。 ii) $-2 < \mu < 2$のとき、$\mu - 2 \cos \theta = 0$は固定点$\theta^* = \pm \cos^{-1}(\mu/2)$をもつ。従って、$\theta^* = 0, \pi, (-\pi)$に安定固定点、$\theta^* = \pm \cos^{-1}(\mu/2)$に不安定固定点をもつ。 iii) $\mu > 2$のとき、任意の$\theta$に対して$ \mu - 2 \cos \theta > 0$となり、新たな固定点は出てこない。従って、$\theta^* = \pi, (-\pi)$に安定固定点、$\theta^* = 0$に不安定固定点をもつ。最後に、分岐についてまとめると、$\mu = -2$のとき、$\theta^* = \pi, (-\pi)$で超臨界ピッチフォーク分岐が起こり、$\mu = 2$のとき、$\theta^* = 0$で亜臨界ピッチフォーク分岐が起こる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-19 04:47:49
	P.127の問題番号「4.3.2」に対する解答非一様な振動子の振動周期 \[ T= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{d \theta}{\omega - a \sin \theta}, \ \omega > a > 0 \](a) 恒等式$\sec^2(\theta/2) = 1 + \tan^2(\theta/2)$を利用すると、 \[ du = \frac{1}{2} \sec^2(\frac{\theta}{2})d \theta = \frac{1}{2} \left( 1 + \tan^2(\frac{\theta}{2}) \right) d \theta = \frac{1+u^2}{2} d \theta \]となるので、\[ d \theta = \frac{2}{1+u^2} d u \]が得られる。 (b) ヒントより \[ \sin(\frac{\theta}{2}) = \frac{u}{\sqrt{1+u^2}}, \ \cos(\frac{\theta}{2}) = \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \]となるので、半角公式を利用すると、 \[ \sin \theta = \frac{2u}{1+u^2} \]が得られる。 (c) $u = \tan(\theta/2)$であるので、$\theta$が$0$に近い方から$\theta \to \pm \pi$になるかぎり、$u \to \pm \infty$となるのは明らか。従って積分の範囲は$(-\pi,\pi)$から$(-\infty,\infty)$となる。 (d) \[ T = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\omega - a \cdot \frac{2u}{1+u^2} } \frac{2}{1+u^2} du = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{\omega (1+u^2) -2au} du \](e) 上式の被積分関数の分母は \[ \omega (1+u^2) -2au = \omega \left( u - \frac{a}{\omega} \right)^2 + \frac{\omega^2 - a^2}{\omega} \]のように平方完成される。ここで、 \[ x = \frac{\omega}{2} \left( u - \frac{a}{\omega} \right), \ r = \frac{\omega^2 - a^2}{4} \]とおくと、 \[ T = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{r+x^2} \]となり、演習問題4.3.1の積分に帰着する。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-18 06:01:04
	P.127の問題番号「4.3.1」に対する解答 \[ T_{\rm{bottleneck}} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{r+x^2} \] $x=\sqrt{r} \tan \theta$とおくと、$dx = \sqrt{r} \sec^2 \theta d \theta$であるので、恒等式$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$を考慮すると、 \[ T_{\rm{bottleneck}} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r+r \tan^2 \theta} \sqrt{r} \sec^2 \theta d \theta = \frac{1}{\sqrt{r}} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta = \frac{\pi}{\sqrt{r}} \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-17 05:32:43
	P.127の問題番号「4.2.3」に対する解答時計の問題　別のアプローチ時計の長針は1時間で$2\pi$、短針は1時間で$2 \pi/12$だけ進む。 12時の後、次に時計の針がそろうのは、1時を過ぎたあたり。したがって、1時から$x$時間進んだときに時計の針がそろうとすると、 \[ \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} x = 2\pi x \]が成り立つので、この方程式を解くと、$x = 1/11$が得られる。つまり、$1 + 1/11 = 12/11$時間後に時計の針がそろう。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-16 05:30:10
	P.126の問題番号「4.2.2」に対する解答線形の重ね合せによって生じるうなり $x(t) = \sin 8t + \sin 9t$ (a) $x(t)$の変調の周期は$4\pi$。 (b) $x(t)$は \[ x(t) = 2 \sin \frac{17}{2}t \cos \frac{1}{2}t \]と変形できる。従って、振幅の変調の周期は \[T = \frac{2 \pi}{1/2}=4\pi \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-16 05:20:57
	P.126の問題番号「4.2.1」に対する解答教会の鐘・直観に基づく議論周期3秒と周期4秒の鐘なので、その最小公倍数である12秒後が次に一緒に鐘が鳴るタイミングとなる。・例題4.2.1の手法鐘がなるタイミングの位相を$\theta_1, theta_2$とおくと、それぞれ \[\dot{\theta_1} = \omega_1 = \frac{2\pi}{3}, \ \dot{\theta_2} = \omega_2 = \frac{2\pi}{4} \]このとき、位相差$\phi = \theta_1 - \theta_2$を定義すると、次に鐘が同時になるタイミングは$\phi$が$2\pi$だけ増えるときである。従って、$\dot{\phi} = \dot{\theta_1} - \dot{\theta_2} = \omega_1 - \omega_2$より \[ T = \frac{2 \pi}{\omega_1 - \omega_2} = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right)^{-1} = 12 [\rm{秒}] \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-15 05:45:44
	P.126の問題番号「4.1.9」に対する解答そもそも一価のポテンシャルが存在しない場合があるから。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-14 07:57:41