P.126の問題番号「4.1.8」 に対する解答

(a) $\dot{\theta} = \cos \theta$のポテンシャルは$V(\theta) = - \sin \theta$。
$V(\theta + 2 \pi k) = - \sin ( \theta + 2 \pi k ) = - \sin \theta = V(\theta)$となるので、矛盾なく定義された$V$の値が存在する。
(b) $\dot{\theta} = 1$のポテンシャルは$V(\theta) = - \theta$。
$V(\theta + 2 \pi k) = - \theta - 2 \pi k \neq - \theta = V(\theta)$となるので、矛盾なく定義された$V$の値が存在しない。
(c) $\dot{\theta} = f(\theta)$のポテンシャルを$V(\theta) = - \int^{\theta} f(\theta') d \theta'$とおく。この$V(\theta)$が一価のポテンシャルをもつには、
$V(\theta + 2 \pi k) = V(\theta)$
が成り立つ必要がある。即ち、
$V(\theta + 2 \pi k) - V(\theta) = - \int_0^{2\pi k} f(\theta) d \theta = 0$
が、任意の整数$k$に対して成り立てばよい。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-14 07:54:44

P.126の問題番号「4.1.6」 に対する解答

$\dot{\theta} = 3 + \cos 2\theta$
$f(\theta) = 3 + \cos 2\theta$とおくと、$f(\theta)$は常に正の値をもつ。
したがって、固定点はなく、常に反時計回りに回り続ける。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-14 07:31:14

P.126の問題番号「4.1.4」 に対する解答

$\dot{\theta} = \sin^3 \theta$
$f(\theta) = \sin^3 \theta$とおくと、
$f(\theta) = 0$より$\theta^* = 0, \pi$。
ここで、$\delta \theta$を十分小さな正の値とすると、
$f(0+\delta \theta)>0$, $f(0-\delta \theta)<0$, $f(\pi+\delta \theta)<0$, $f(\pi-\delta \theta)>0$が成り立つので、
$\theta^* = \pi$で安定固定点、$\theta^* = 0$で不安定固定点をとる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-14 07:22:49

P.126の問題番号「4.1.2」 に対する解答

$\dot{\theta} = 1 + 2 \cos \theta$
$f(\theta) = 1 + 2 \cos \theta$とおくと、
$f(\theta) = 0$より$\theta^* = \pm 2 \pi /3$。
$f'(\theta) = -2 \sin \theta$であるので、$f'(2\pi/3) = - \sqrt{3} < 0$、$f'(ー2\pi/3) = \sqrt{3} > 0$より、
$\theta^* = 2 \pi /3$で安定固定点、$\theta^* = -2 \pi /3$で不安定固定点をとる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-14 07:09:30

P.102の問題番号「3.7.6」 に対する解答

疫病のモデル
\[ \dot{x} = -kxy, \ \dot{y} = kxy - ly, \ \dot{z} = ly \](a) 上記式を足し合わせると$\dot{x} + \dot{y} + \dot{z} = 0$となるので、$x + y + z = N$となる。
(b) $\dot{x} = -kxy$と$\dot{z} = ly$より、
\[ \dot{x} = -kx \frac{\dot{z}}{l} \to \frac{\dot{x}}{x} + \frac{k}{l} \dot{z} =0 \to \frac{d}{dt} \left( \ln x + \frac{k}{l} z \right) = 0 \]となる。従って、$x(0) = x_0, \ z(0) = 0$とすると、
\[ x = x_0 \exp (-kz/l) \tag{1} \]となる。
(c) $x+y+z=N$と(1)式を$\dot{z}=ly$に代入すると、
\[ \dot{z} = l( N-z-x_0 \exp (-kz/l) ) \]が得られる。
(d) $z=lu/k$, $t=T \tau$とおくと、
\[ \frac{du}{d \tau} = kTN - lTu - kTx_0 \exp (-u) \]となり、さらに$T = 1/kx_0, \ a = N/x_0, b = l/kx_0$とおくと、
\[ \frac{du}{d \tau} = a - bu - \exp (-u) \]となる。
(e) $x_0 \leq N$であるので、$a = N/x_0 \geq 1$。また、$k, \ l$は正の定数であるので、$b=l/kx_0 > 0$となる。
(f) i) $a=1, \ b > 1$のとき、安定固定点$u^*=0$、不安定固定点$u^*<0$をもつ。
ii) $a=1, \ b < 1$のとき、安定固定点$u^*>0$、不安定固定点$u^*=0$をもつ。
iii) $a>1$のとき、安定固定点$u^*>0$、不安定固定点$u^*<0$をもつ。
(g) $\dot{u}(t)$が最大になるのは、
\[ \frac{d}{d u} [ a - bu - \exp (-u) ] = 0 \]のとき、すなわち$u = - \ln b$のとき。また、
\[ \dot{z} = \frac{l}{k} \dot{u}, \ y = \frac{1}{l} \dot{z} = \frac{1}{k}\dot{u} \]であるので、$\dot{u}(t)$が最大になるとき、$\dot{z}, y$も最大となる。
(h) $b<1$のとき、$\dot{u}(t)$は安定固定点$u^*>0$をもつ。また、$\dot{u}(t)$は$a - bu - \exp (-u)$に従って変化するので、$0<u<u^*$では$\dot{u}(t) > 0$で、$t_{\rm{peak}}$で最大値$a-b(1-\ln b)$をとる。従って、$\dot{u}(t)$は$t=0$で増加しており、ある時点$t_{\rm{peak}}$で最大、その後$\dot{u}(t)$は減少し、$u=u^*$となったところで、$\dot{u}=0$となる。
(i) $b>1$のとき、$\dot{u}(t)$が最大になるのは、$u = - \ln b < 0$のときとなるが、$u \geq 0$であり、また、$\dot{u}(t)$は$0<u<u^*$で単調減少するので、$u=0$のとき最大、すなわち$t_{\rm{peak}}=0$となる。
(j) $b=1$のとき、$l=kx_0$が成り立つ。このとき、$y(0)=y_0$とおくと、
\[ \dot{x}(0) = -kx_0 y_0, \ \dot{y}(0) = (kx_0 - l)y_0 = 0, \ \dot{z}(0) = l y_0 \]となる。この場合、罹病する率と死亡する率は同程度となり、罹病した人の数はほとんど変わらず、一定の数$y_0$にほぼ保たれる。
(k) エイズの伝染は、性行為による感染、血液を介した感染、母子感染などがある。この疫病モデルをエイズの伝染に適用するためには、性行為による感染や母子感染のような人と人が接触するだけでなく、血液を介する感染のような人以外の感染経路も考慮する必要がある。従って、血液を介する感染により罹病する率を$m$とすると、モデルの改善として、
\[ \dot{x} = -kxy -mx, \ \dot{y} = kxy +mx - ly, \ \dot{z} = ly \]が考えられる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-06-11 05:02:09