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	P.98の問題番号「3.6.4」に対する解答 $\dot{x} = r - x^2$に不完全性を加えることを考える。 i) 不完全性を表す項として$ax$を加えると、 \[\dot{x} = r + ax - x^2 \]これは「演習問題3.6.2」で扱った不完全トランスクリティカル分岐を示す。 ii) 不完全性を表す項として$-bx^3$を加えると、 \[ \dot{x} = r - x^2 -b x^3 \]となる。ここで、 \[ x = \frac{1}{\sqrt{b}} u - \frac{1}{3b}, \ a = \frac{1}{3b}, \ h = \sqrt{b}r - \frac{2}{27a\sqrt{a}} \]とおくと、 \[ \dot{u} = h + au -u^3 \]と変形できる。これは(3.6.1)式と一致する。この式はカタストロフィーなどを起こす。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-27 05:46:49
	P.97の問題番号「3.6.3」に対する解答超臨界ピッチフォーク分岐に対する摂動　$\dot{x} = rx + ax^2 - x^3$ (a) (1-1) $a<0$, $r < -a^2/4$のとき、安定固定点$0$ (1-2) $a<0$, $r = -a^2/4$のとき、安定固定点$0$, 半安定固定点$a/2$ (1-3) $a<0$, $-a^2/4 < r < 0$のとき、安定固定点$0, \frac{a}{2}-\sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$, 不安定固定点$\frac{a}{2}+\sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$ (1-4) $a<0$, $r = 0$のとき、安定固定点$a$, 半安定固定点$0$ (1-5) $a<0$, $r > 0$のとき、安定固定点$\frac{a}{2} \pm \sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$, 不安定固定点$0$ (2-1) $a=0$, $r < 0$のとき、安定固定点$0$ (2-2) $a=0$, $r = 0$のとき、安定固定点$0$ (2-3) $a=0$, $r > 0$のとき、安定固定点$\pm \sqrt{r}$, 不安定固定点$0$ (3-1) $a>0$, $r < -a^2/4$のとき、安定固定点$0$ (3-2) $a>0$, $r = -a^2/4$のとき、安定固定点$0$, 半安定固定点$a/2$ (3-3) $a>0$, $-a^2/4 < r < 0$のとき、安定固定点$0, \frac{a}{2}+\sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$, 不安定固定点$\frac{a}{2}-\sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$ (3-4) $a>0$, $r = 0$のとき、安定固定点$a$, 半安定固定点$0$ (3-5) $a>0$, $r > 0$のとき、安定固定点$\frac{a}{2} \pm \sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$, 不安定固定点$0$ (b) $r<-a^2/4$の領域では、1つの固定点 $r=-a^2/4$かつ$a\neq 0$の境界領域では、2つの固定点 $-a^2/4<r<0$の領域では、3つの固定点 $r=0$かつ$a\neq 0$の境界領域では、2つの固定点 $r>0$かつ$a\neq 0$の領域では、3つの固定点 $r=0$かつ$a=0$の点では、1つの固定点 $r=-a^2/4$かつ$a\neq 0$の境界で、サドルノード分岐 $r=0$かつ$a\neq 0$の境界で、トランスクリティカル分岐 $r=0$かつ$a=0$の点で超臨界ピッチフォーク分岐ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-25 06:51:42
	P.97の問題番号「3.6.2」に対する解答不完全トランスクリティカル分岐 $\dot{x} = h + r x - x^2$ (a) i)$h<0$のとき 1) $r^2 < -4h$のとき、固定点なし 2) $r^2 > -4h$のとき、安定固定点$\frac{r+\sqrt{r^2+4h}}{2}$, 不安定固定点$\frac{r-\sqrt{r^2+4h}}{2}$ ii) $h=0$のとき 1) $r<0$のとき、安定固定点$0$, 不安定固定点$r$ 2) $r>0$のとき、安定固定点$r$, 不安定固定点$0$ iii) $h>0$のとき安定固定点$\frac{r+\sqrt{r^2+4h}}{2}$, 不安定固定点$\frac{r-\sqrt{r^2+4h}}{2}$ (b) i) $h<-r^2/4$の領域では、固定点なし ii) $h=-r^2/4$の領域では、１つの固定点 iii) $h>-r^2/4$の領域では、２つの固定点 (c)ポテンシャルは $V(x) = C(r,h)-hx-\frac{r}{2} x^2 + \frac{1}{3}x^3$ となる。 i) $h<-r^2/4$の領域では、極値はなし、$x=\frac{r}{2}$に変曲点 ii) $h=-r^2/4$の領域では、$x=\frac{r}{2}$が極値かつ変曲点 iii) $h>-r^2/4$の領域では、$x=\frac{r \pm \sqrt{r^2+4h}}{2}$に極値、$x=\frac{r}{2}$に変曲点ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-25 05:55:58
	P.97の問題番号「3.6.1」に対する解答 $h>0$に対応している。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-25 05:21:14
	P.97の問題番号「3.5.8」に対する解答へのコメント $\dot{u} = a u + b u^3 + c u^5$ $u=Ux$, $t=T \tau$を代入すると、 \[ \frac{dx}{d \tau} = aTx + bTU^2 x^3 - c T U^4 x^5 \]となる。ここで$bTU^2=1$, $cTU^4=1$となるように$U,T$を選ぶと、 \[ U = \sqrt{\frac{b}{c}}, \ \ T = \frac{c}{b^2} \]となる。したがって、 \[ r = aT = \frac{ac}{b^2} \]とすると、 \[ \frac{dx}{d \tau} = rx + x^3 - x^5 \] となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-25 05:18:11
	P.97の問題番号「3.5.8」に対する解答 $\dot{u} = a u + b u^3 + c u^5$ $u=Ux$, $t=T \tau$を代入すると、 \[ \frac{dx}{d \tau} = aTx + bTU^2 x^3 - c T U^4 x^5 \]となる。ここで$bTU^2=1$, $cTU^4=1$となるように$U,T$を選ぶと、 \[ U = \sqrt{\frac{b}{c}}, \ \ T = \frac{c}{b^2} \]となる。したがって、 \[ r = aT = \frac{ac}{b^2} \]とすると、 \[ \frac{dx}{d \tau} = rx + x^3 - x^5 \] となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-23 05:10:56
	P.96の問題番号「3.5.7」に対する解答 \[ \dot{N} = r N \left( 1 - \frac{N}{K} \right) ,\ \ N(0) = N_0 \](a)それぞれの次元は$r$:1/時間、$K$:個体数、$N$:個体数 (b)$N(t) = K x(t), \ t= \tau/r$とおくと \[ \frac{dx}{d \tau} = x(1 - x) \]が得られる。このとき、 \[ x(0) = x_0 = \frac{N_0}{K} \] (c)$N(t) = N_0 u(t), \ t= \tau/r$とおくと \[ \frac{du}{d \tau} = u \left( 1 - \frac{u}{k} \right), \ \ u(0) = u_0 = 1 \] が得られる。ここで、$k=K/N_0$とおいた。 (d)一方の無次元化の方法が、他方の無次元化の用法に比べて利点をもっているとはいえない。(b)の無次元化は個体数の特徴的なスケールとして環境収容力$K$を用いたもの。一方、(c)の無次元化は個体数の特徴的なスケールとして初期($t=0$)の個体数$N_0$を用いたもの。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-23 05:02:36
	P.96の問題番号「3.5.6」に対する解答 $ \varepsilon \ddot{x} + \dot{x} + x = 0 \ \ \ \ (x(0)=1, \dot{x} = 0)$ (a) i)$ \varepsilon < 1/4$のとき \[ x(t) = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{1-4 \varepsilon}} \right) e^{\frac{-1+\sqrt{1-4 \varepsilon}}{2 \varepsilon} t} + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{1-4 \varepsilon}} \right) e^{\frac{-1-\sqrt{1-4 \varepsilon}}{2 \varepsilon} t} \] ii)$ \varepsilon = 1/4$のとき \[ x(t) = (2t+1) e^{-2t} \] iii)$ \varepsilon > 1/4$のとき \[ x(t) = \left( \frac{1}{\sqrt{4 \varepsilon - 1}} \sin \frac{\sqrt{4 \varepsilon - 1}}{2 \varepsilon} t + \cos \frac{\sqrt{4 \varepsilon - 1}}{2 \varepsilon} t \right) e^{-\frac{t}{2 \varepsilon}} \](b) $\varepsilon \ll 1$のとき \[ x(t) = (1+\varepsilon) e^{-t} - \varepsilon e^{-\frac{t}{\varepsilon}+t} \]したがって、$\mathcal{O}(\varepsilon)$の時間スケールと$\mathcal{O}(1)$の時間スケールがある。 (c)省略 (d)$\dot{x}+x=0 \ \ (x(0) = 1)$の解は$x(t) = e^{-t}$となる。したがって、時間スケールが$\mathcal{O}(1)$の場合、特異極限で置き換えることは妥当。 (e)力学的な系の例として問題3.5.4で$h=0$とすると \[ m \ddot{x} + b \dot{x} + k(x-L_0) = 0 \]ここで、$x-L_0$を改めて$x$とおくと（物理的にはばねの自然長の位置を$0$とする） \[ m \ddot{x} + b \dot{x} + kx = 0 \]これを無次元化すると、$\varepsilon=mk/b^2$として \[ \varepsilon \ddot{x} + \dot{x} + x = 0 \]に帰着する。次に、電気回路系であれば、電源電圧が一定のRLC回路。コンデンサの電荷を$q(t)$とすると、 \[ L \frac{d^2 q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q(t) = V \]の方程式が得られる。ここで、$q(t)-CV$を$q(t)$とおき、無次元化すると、$\varepsilon = L/R^2C$として、 \[ \varepsilon \ddot{q} + \dot{q} + q = 0 \]に帰着する。これは、コイルのインダクタンス$L$が十分小さいとき、または抵抗器の電気抵抗$R$やコンデンサの静電容量$C$が十分大きいとき、$\varepsilon \ll 1$と見なせる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-23 04:42:38
	P.95の問題番号「3.5.4」に対する解答へのコメント (a)運動方程式は \[ m \ddot{x} = -b \dot{x} -k(\sqrt{h^2+x^2}-L_0 ) \frac{x}{\sqrt{h^2+x^2}} \\ m \ddot{x} + b \dot{x} + kx \left(1-\frac{L_0}{\sqrt{h^2+x^2}} \right) = 0 \]となる。 (b) ありうる釣り合いの位置は \[ x \left(1-\frac{L_0}{\sqrt{h^2+x^2}} \right) = 0 \]を満たす。 i)$h<L_0$のとき、固定点は$0, \pm \sqrt{L_0^2-h^2}$ ii)$h>L_0$のとき、固定点は$0$ (c)$m=0$のとき \[ \dot{x}= -\frac{k}{b} x \left(1-\frac{L_0}{\sqrt{h^2+x^2}} \right) \]となる。 i)$h<L_0$のとき、安定固定点$\pm \sqrt{L_0^2-h^2}$、不安定固定点$0$ ii)$h>L_0$のとき、安定固定点$0$ 従って、$h=L_0$で超臨界ピッチフォーク分岐を示す。 (d)運動方程式を無次元化するために$x \to hx, t \to T \tau$として整理すると、 \[ \frac{m}{kT^2} \ddot{x} + \frac{b}{kT} \dot{x} +1-\frac{L_0}{h}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = 0 \]となる。ここで興味があるのは、左辺第1項が無視できて、第2項、第3項が同程度のオーダーになるとき。 \[ \frac{m}{kT^2} \ll 1,　\ \frac{b}{kT} \approx \mathcal{O}(1) \]したがって、特徴的時間スケールを \[ T = \frac{b}{k} \]とすると、$m$が無視できる条件として、 \[ m \ll \frac{b^2}{k} \]が得られる。これは、減衰が非常に強いか、ばねが非常に弱いときに$m$が無視できることを示す。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-22 06:41:05
	P.96の問題番号「3.5.5」に対する解答 (a)(3.5.3）式（p.74)を$\varepsilon = m^2gr/b^2$で書き直すと、 \[ \varepsilon \left( \frac{b}{mgT} \right)^2 \frac{d^2 \phi}{d \tau^2} = - \left( \frac{b}{mgT} \right) \frac{d \phi}{d \tau} + f(\phi) \tag{1}\]となる。ここで関心があるのは、左辺と右辺が同程度のオーダーで寄与するパラメーター領域であるので、\[ \varepsilon \left( \frac{b}{mgT} \right)^2 \approx \frac{b}{mgT} \ \]という条件が成り立つ。このとき、特徴的な時間スケール$T_{\mathrm{fast}}$は、\[ T_{\mathrm{fast}} = \frac{b}{mg} \varepsilon \tag{2} \]となる。また、(2)式に$\varepsilon = m^2gr/b^2$を代入すると、\[ T_{\mathrm{fast}} = \frac{mr}{b}　\]が得られる。 (b) (1)式を$T_{\mathrm{fast}}$で書き直すと、 \[ \left( \frac{b}{mgT_{\mathrm{fast}}} \right) \frac{d^2 \phi}{d \tau^2} = - \left( \frac{b}{mgT_{\mathrm{fast}}} \right) \frac{d \phi}{d \tau} + f(\phi) \]となる。ここで、$T_{\mathrm{fast}}$が十分小さいとすると、$f(\phi)$が無視可能である。 (c) (2)式より$T_{\mathrm{slow}} = b/mg$とすると、 \[ \varepsilon = \frac{T_{\mathrm{fast}}}{T_{\mathrm{slow}}} \]となる。従って、$\varepsilon \ll 1$ならば、$T_{\mathrm{fast}} \ll T_{\mathrm{slow}}$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-21 06:46:48

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	P.98の問題番号「3.6.4」に対する解答 $\dot{x} = r - x^2$に不完全性を加えることを考える。 i) 不完全性を表す項として$ax$を加えると、 \[\dot{x} = r + ax - x^2 \]これは「演習問題3.6.2」で扱った不完全トランスクリティカル分岐を示す。 ii) 不完全性を表す項として$-bx^3$を加えると、 \[ \dot{x} = r - x^2 -b x^3 \]となる。ここで、 \[ x = \frac{1}{\sqrt{b}} u - \frac{1}{3b}, \ a = \frac{1}{3b}, \ h = \sqrt{b}r - \frac{2}{27a\sqrt{a}} \]とおくと、 \[ \dot{u} = h + au -u^3 \]と変形できる。これは(3.6.1)式と一致する。この式はカタストロフィーなどを起こす。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-27 05:46:49
	P.97の問題番号「3.6.3」に対する解答超臨界ピッチフォーク分岐に対する摂動　$\dot{x} = rx + ax^2 - x^3$ (a) (1-1) $a<0$, $r < -a^2/4$のとき、安定固定点$0$ (1-2) $a<0$, $r = -a^2/4$のとき、安定固定点$0$, 半安定固定点$a/2$ (1-3) $a<0$, $-a^2/4 < r < 0$のとき、安定固定点$0, \frac{a}{2}-\sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$, 不安定固定点$\frac{a}{2}+\sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$ (1-4) $a<0$, $r = 0$のとき、安定固定点$a$, 半安定固定点$0$ (1-5) $a<0$, $r > 0$のとき、安定固定点$\frac{a}{2} \pm \sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$, 不安定固定点$0$ (2-1) $a=0$, $r < 0$のとき、安定固定点$0$ (2-2) $a=0$, $r = 0$のとき、安定固定点$0$ (2-3) $a=0$, $r > 0$のとき、安定固定点$\pm \sqrt{r}$, 不安定固定点$0$ (3-1) $a>0$, $r < -a^2/4$のとき、安定固定点$0$ (3-2) $a>0$, $r = -a^2/4$のとき、安定固定点$0$, 半安定固定点$a/2$ (3-3) $a>0$, $-a^2/4 < r < 0$のとき、安定固定点$0, \frac{a}{2}+\sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$, 不安定固定点$\frac{a}{2}-\sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$ (3-4) $a>0$, $r = 0$のとき、安定固定点$a$, 半安定固定点$0$ (3-5) $a>0$, $r > 0$のとき、安定固定点$\frac{a}{2} \pm \sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$, 不安定固定点$0$ (b) $r<-a^2/4$の領域では、1つの固定点 $r=-a^2/4$かつ$a\neq 0$の境界領域では、2つの固定点 $-a^2/4<r<0$の領域では、3つの固定点 $r=0$かつ$a\neq 0$の境界領域では、2つの固定点 $r>0$かつ$a\neq 0$の領域では、3つの固定点 $r=0$かつ$a=0$の点では、1つの固定点 $r=-a^2/4$かつ$a\neq 0$の境界で、サドルノード分岐 $r=0$かつ$a\neq 0$の境界で、トランスクリティカル分岐 $r=0$かつ$a=0$の点で超臨界ピッチフォーク分岐ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-25 06:51:42
	P.97の問題番号「3.6.2」に対する解答不完全トランスクリティカル分岐 $\dot{x} = h + r x - x^2$ (a) i)$h<0$のとき 1) $r^2 < -4h$のとき、固定点なし 2) $r^2 > -4h$のとき、安定固定点$\frac{r+\sqrt{r^2+4h}}{2}$, 不安定固定点$\frac{r-\sqrt{r^2+4h}}{2}$ ii) $h=0$のとき 1) $r<0$のとき、安定固定点$0$, 不安定固定点$r$ 2) $r>0$のとき、安定固定点$r$, 不安定固定点$0$ iii) $h>0$のとき安定固定点$\frac{r+\sqrt{r^2+4h}}{2}$, 不安定固定点$\frac{r-\sqrt{r^2+4h}}{2}$ (b) i) $h<-r^2/4$の領域では、固定点なし ii) $h=-r^2/4$の領域では、１つの固定点 iii) $h>-r^2/4$の領域では、２つの固定点 (c)ポテンシャルは $V(x) = C(r,h)-hx-\frac{r}{2} x^2 + \frac{1}{3}x^3$ となる。 i) $h<-r^2/4$の領域では、極値はなし、$x=\frac{r}{2}$に変曲点 ii) $h=-r^2/4$の領域では、$x=\frac{r}{2}$が極値かつ変曲点 iii) $h>-r^2/4$の領域では、$x=\frac{r \pm \sqrt{r^2+4h}}{2}$に極値、$x=\frac{r}{2}$に変曲点ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-25 05:55:58
	P.97の問題番号「3.6.1」に対する解答 $h>0$に対応している。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-25 05:21:14
	P.97の問題番号「3.5.8」に対する解答へのコメント $\dot{u} = a u + b u^3 + c u^5$ $u=Ux$, $t=T \tau$を代入すると、 \[ \frac{dx}{d \tau} = aTx + bTU^2 x^3 - c T U^4 x^5 \]となる。ここで$bTU^2=1$, $cTU^4=1$となるように$U,T$を選ぶと、 \[ U = \sqrt{\frac{b}{c}}, \ \ T = \frac{c}{b^2} \]となる。したがって、 \[ r = aT = \frac{ac}{b^2} \]とすると、 \[ \frac{dx}{d \tau} = rx + x^3 - x^5 \] となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-25 05:18:11
	P.97の問題番号「3.5.8」に対する解答 $\dot{u} = a u + b u^3 + c u^5$ $u=Ux$, $t=T \tau$を代入すると、 \[ \frac{dx}{d \tau} = aTx + bTU^2 x^3 - c T U^4 x^5 \]となる。ここで$bTU^2=1$, $cTU^4=1$となるように$U,T$を選ぶと、 \[ U = \sqrt{\frac{b}{c}}, \ \ T = \frac{c}{b^2} \]となる。したがって、 \[ r = aT = \frac{ac}{b^2} \]とすると、 \[ \frac{dx}{d \tau} = rx + x^3 - x^5 \] となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-23 05:10:56
	P.96の問題番号「3.5.7」に対する解答 \[ \dot{N} = r N \left( 1 - \frac{N}{K} \right) ,\ \ N(0) = N_0 \](a)それぞれの次元は$r$:1/時間、$K$:個体数、$N$:個体数 (b)$N(t) = K x(t), \ t= \tau/r$とおくと \[ \frac{dx}{d \tau} = x(1 - x) \]が得られる。このとき、 \[ x(0) = x_0 = \frac{N_0}{K} \] (c)$N(t) = N_0 u(t), \ t= \tau/r$とおくと \[ \frac{du}{d \tau} = u \left( 1 - \frac{u}{k} \right), \ \ u(0) = u_0 = 1 \] が得られる。ここで、$k=K/N_0$とおいた。 (d)一方の無次元化の方法が、他方の無次元化の用法に比べて利点をもっているとはいえない。(b)の無次元化は個体数の特徴的なスケールとして環境収容力$K$を用いたもの。一方、(c)の無次元化は個体数の特徴的なスケールとして初期($t=0$)の個体数$N_0$を用いたもの。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-23 05:02:36
	P.96の問題番号「3.5.6」に対する解答 $ \varepsilon \ddot{x} + \dot{x} + x = 0 \ \ \ \ (x(0)=1, \dot{x} = 0)$ (a) i)$ \varepsilon < 1/4$のとき \[ x(t) = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{1-4 \varepsilon}} \right) e^{\frac{-1+\sqrt{1-4 \varepsilon}}{2 \varepsilon} t} + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{1-4 \varepsilon}} \right) e^{\frac{-1-\sqrt{1-4 \varepsilon}}{2 \varepsilon} t} \] ii)$ \varepsilon = 1/4$のとき \[ x(t) = (2t+1) e^{-2t} \] iii)$ \varepsilon > 1/4$のとき \[ x(t) = \left( \frac{1}{\sqrt{4 \varepsilon - 1}} \sin \frac{\sqrt{4 \varepsilon - 1}}{2 \varepsilon} t + \cos \frac{\sqrt{4 \varepsilon - 1}}{2 \varepsilon} t \right) e^{-\frac{t}{2 \varepsilon}} \](b) $\varepsilon \ll 1$のとき \[ x(t) = (1+\varepsilon) e^{-t} - \varepsilon e^{-\frac{t}{\varepsilon}+t} \]したがって、$\mathcal{O}(\varepsilon)$の時間スケールと$\mathcal{O}(1)$の時間スケールがある。 (c)省略 (d)$\dot{x}+x=0 \ \ (x(0) = 1)$の解は$x(t) = e^{-t}$となる。したがって、時間スケールが$\mathcal{O}(1)$の場合、特異極限で置き換えることは妥当。 (e)力学的な系の例として問題3.5.4で$h=0$とすると \[ m \ddot{x} + b \dot{x} + k(x-L_0) = 0 \]ここで、$x-L_0$を改めて$x$とおくと（物理的にはばねの自然長の位置を$0$とする） \[ m \ddot{x} + b \dot{x} + kx = 0 \]これを無次元化すると、$\varepsilon=mk/b^2$として \[ \varepsilon \ddot{x} + \dot{x} + x = 0 \]に帰着する。次に、電気回路系であれば、電源電圧が一定のRLC回路。コンデンサの電荷を$q(t)$とすると、 \[ L \frac{d^2 q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{1}{C} q(t) = V \]の方程式が得られる。ここで、$q(t)-CV$を$q(t)$とおき、無次元化すると、$\varepsilon = L/R^2C$として、 \[ \varepsilon \ddot{q} + \dot{q} + q = 0 \]に帰着する。これは、コイルのインダクタンス$L$が十分小さいとき、または抵抗器の電気抵抗$R$やコンデンサの静電容量$C$が十分大きいとき、$\varepsilon \ll 1$と見なせる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-23 04:42:38
	P.95の問題番号「3.5.4」に対する解答へのコメント (a)運動方程式は \[ m \ddot{x} = -b \dot{x} -k(\sqrt{h^2+x^2}-L_0 ) \frac{x}{\sqrt{h^2+x^2}} \\ m \ddot{x} + b \dot{x} + kx \left(1-\frac{L_0}{\sqrt{h^2+x^2}} \right) = 0 \]となる。 (b) ありうる釣り合いの位置は \[ x \left(1-\frac{L_0}{\sqrt{h^2+x^2}} \right) = 0 \]を満たす。 i)$h<L_0$のとき、固定点は$0, \pm \sqrt{L_0^2-h^2}$ ii)$h>L_0$のとき、固定点は$0$ (c)$m=0$のとき \[ \dot{x}= -\frac{k}{b} x \left(1-\frac{L_0}{\sqrt{h^2+x^2}} \right) \]となる。 i)$h<L_0$のとき、安定固定点$\pm \sqrt{L_0^2-h^2}$、不安定固定点$0$ ii)$h>L_0$のとき、安定固定点$0$ 従って、$h=L_0$で超臨界ピッチフォーク分岐を示す。 (d)運動方程式を無次元化するために$x \to hx, t \to T \tau$として整理すると、 \[ \frac{m}{kT^2} \ddot{x} + \frac{b}{kT} \dot{x} +1-\frac{L_0}{h}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = 0 \]となる。ここで興味があるのは、左辺第1項が無視できて、第2項、第3項が同程度のオーダーになるとき。 \[ \frac{m}{kT^2} \ll 1,　\ \frac{b}{kT} \approx \mathcal{O}(1) \]したがって、特徴的時間スケールを \[ T = \frac{b}{k} \]とすると、$m$が無視できる条件として、 \[ m \ll \frac{b^2}{k} \]が得られる。これは、減衰が非常に強いか、ばねが非常に弱いときに$m$が無視できることを示す。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-22 06:41:05
	P.96の問題番号「3.5.5」に対する解答 (a)(3.5.3）式（p.74)を$\varepsilon = m^2gr/b^2$で書き直すと、 \[ \varepsilon \left( \frac{b}{mgT} \right)^2 \frac{d^2 \phi}{d \tau^2} = - \left( \frac{b}{mgT} \right) \frac{d \phi}{d \tau} + f(\phi) \tag{1}\]となる。ここで関心があるのは、左辺と右辺が同程度のオーダーで寄与するパラメーター領域であるので、\[ \varepsilon \left( \frac{b}{mgT} \right)^2 \approx \frac{b}{mgT} \ \]という条件が成り立つ。このとき、特徴的な時間スケール$T_{\mathrm{fast}}$は、\[ T_{\mathrm{fast}} = \frac{b}{mg} \varepsilon \tag{2} \]となる。また、(2)式に$\varepsilon = m^2gr/b^2$を代入すると、\[ T_{\mathrm{fast}} = \frac{mr}{b}　\]が得られる。 (b) (1)式を$T_{\mathrm{fast}}$で書き直すと、 \[ \left( \frac{b}{mgT_{\mathrm{fast}}} \right) \frac{d^2 \phi}{d \tau^2} = - \left( \frac{b}{mgT_{\mathrm{fast}}} \right) \frac{d \phi}{d \tau} + f(\phi) \]となる。ここで、$T_{\mathrm{fast}}$が十分小さいとすると、$f(\phi)$が無視可能である。 (c) (2)式より$T_{\mathrm{slow}} = b/mg$とすると、 \[ \varepsilon = \frac{T_{\mathrm{fast}}}{T_{\mathrm{slow}}} \]となる。従って、$\varepsilon \ll 1$ならば、$T_{\mathrm{fast}} \ll T_{\mathrm{slow}}$となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-05-21 06:46:48