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数学超絶難問(9784534051875)

P.39の問題番号「13」 に対する解答

半径１の半球殻の重心の位置は？
に対するp.40とは別の解法（極座標表示を使う）

この半球殻を北半球（殻）として、
球の中心と北極を結ぶ線がz軸となるように、3次元座標を設定する。
このとき、この半球殻の重心はz軸上にあり、重心を求める式は、
　重心 = ∫z dx dy dz / (2π)
を半球殻上で積分したものとなる。
3次元空間の点（x,y,z）は、極座標表示すると、
　x = r sin(θ) cos(φ)
　y = r sin(θ) sin(φ)
　z = r cos(θ)
と表わすことができる。ここで、
　rは中心からの距離、
　θはz軸との成す角（0≦θ≦π）、
　φはxy平面上でのx軸との成す角（0≦φ≦2π）
である。
また、dx dy dzを極座標で表わすと、
　dx dy dz = r^2 sin(θ) dr dθ dφ
となる。したがって、重心を極座標表示すると、
半球殻の半径は1であることを考慮して
　重心 = ∫cos(θ)sin(θ)dθdφ / (2π)
となる。ここで、積分範囲は0≦θ≦π/2、0≦φ≦2π。
cos^2(θ)の微分が-2cos(θ)sin(θ)となることを考慮すると、
　重心 = 1/2
が求まる。

数学超絶難問(9784534051875)

投稿者：goodbook 投稿日：2016-06-16 06:25:49

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

P.35の問題番号「11」 に対する解答

半径１、中心角２θの扇形の重心の位置は？
p.36とは別の解法）
この扇形を「頂角2θの二等辺三角形の部分」と「扇形から二等辺三角形を引いた部分」
に分けて考える。
このとき、扇形の重心を計算する式の分母は、
x・2x tan(θ) をxについて0からcos(θ）まで積分したもの(二等辺三角形部分)と、
x・2√(1-x^2) をxについてcos(θ）から1まで積分したもの(残り部分)の和となり、
計算すると、
　2sin(θ)/3
となる。一方、中心角２θの扇形の面積はθとなるので、扇形の重心位置は
　2sin(θ)/(3θ)
となる。

なお、p.36の解説で、
『極微の世界では扇形の面積は三角形と同じで、
中心角Δθの扇形の重心は原点から2/3のところにある（27ページ例題１を参照）。』
とある。間違ってないが、27ページの例題１は、直角二等辺三角形の例であり、
頂角Δθの二等辺三角形の重心ではないことに注意。
厳密には、頂角Δθの二等辺三角形の重心は、
　2cos(Δθ/2)/3
となり、Δθが十分小さいとすると、近似的に
　2/3
が得られる。

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

投稿者：goodbook 投稿日：2016-06-15 06:26:22

数学難問BEST100 : 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選!(9784569823560)

P.151の問題番号「Q86」 に対する解答

任意の三角形ABCの各辺に任意の点P,Q,Rがある
(それぞれ辺BC,CA,AB上にあり、AP,BQ,CRは一点で交わる）とき
　(AR/RB)*(BP/PC)*(CQ/QA) = 1

P.152とは別の解法：面積を利用する方法

△ABCの面積を1とする。
このとき、△ABXの面積は
△ABX = (AQ/AC)*(BX/BQ)
と
△ABX = (BP/BC)*(AX/AP)
の2つの表現ができる。この2つの表現から、
　BP/QA = (BC/AC)*(BX/BQ)*(AP/AX) …(1)
が得られる。同様に、
△BCX = (RB/AB)*(XC/RC) = (CQ/AC)*(XB/BQ)
△CAX = (PC/BC)*(AX/PA) = (AR/AB)*(XC/RC)
となり、それぞれ
　CQ/RB = (AC/AB)*(XC/RC)*(BQ/XB)　…(2)
　AR/PC = (AB/BC)*(AC/PA)*(RC/XC)　…(3)
が得られる。最後に
(1)(2)(3)式の両辺を掛け合わせると、
　(BP/QA)*(CQ/RB)*(AR/PC)
　 = (AR/RB)*(BP/PC)*(CQ/QA) = 1
が得られる。

数学難問BEST100 : 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選!(9784569823560)

投稿者：goodbook 投稿日：2015-12-12 07:34:30

数学難問BEST100 : 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選!(9784569823560)

P.119の問題番号「Q64」 に対する解答

この問題の別解答
※でも個人的には、以下の解答よりP.120にある解答の方が直感的で好きです。

1/2 + 2/4 + 3/8 + …
= 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + …
= 1/2 ( 1 + 1/2 + 1/4 + … )
+1/4 ( 1 + 1/2 + 1/4 + … )
+1/8 ( 1 + 1/2 + 1/4 + … ) + …
= 1/2 ( 1 + 1/2 + 1/4 + … )^2　　　(1)
と変形できる。ここで、
f(n) = 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2^n
とおく。f(n)は漸化式
f(n) - f(n-1) = 1/2^n , f(0) = 1
を満たす。さらに、
g(n) = 2^n f(n) + 1
とおくと、上記の漸化式は
g(n) = 2 g(n-1) , g(0) = 1
と変形でき、g(n)は等比数列として
g(n) = 2^{n+1}
となる。結局、
f(n) = 2 - 1/2^n
が得られるので、これを(1)式に代入し、nが十分大きいと考えると、
1/2 + 2/4 + 3/8 + … = 2
が得られる。

数学難問BEST100 : 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選!(9784569823560)

投稿者：goodbook 投稿日：2015-12-04 04:29:07

数学難問BEST100 : 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選!(9784569823560)

P.116の問題番号「Q62」 に対する解答

A62の補足：なぜ、φ、ψが出てきたのか？
Q61でフィボナッチ数列の漸化式は
　F_n = F_{n-1} + F_{n-2}　…（１）
であることが分かっている。この式をある定数a,bを使って、
　F_n - a F_{n-1} = b ( F_{n-1} - a F_{n-2} )　…（２）
の形に変形することができたとすると、等比数列の一般項の形で
　F_n - a F_{n-1} = ( F_1 - a F_0 ) b^{n-1}　…（３）
が得られる。そこで、（２）式を展開し、（１）式と比較すると、a,bは
　a + b = 1
a * b = -1
を満たせば良いことが分かる。これは2次方程式
　x^2 - x - 1 = 0
の解である。そのため、φ、ψがここで出てきている。

ちなみに、（３）式から
　F_n - φ F_{n-1} = ( F_1 - φ F_0 ) ψ^{n-1}
　F_n - ψ F_{n-1} = ( F_1 - ψ F_0 ) φ^{n-1}
の関係式が得られるので、両辺を引いて、F_0 = 0, F_1 = 1を使うと
フィボナッチ数列の一般項が得られる。

数学難問BEST100 : 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選!(9784569823560)

投稿者：goodbook 投稿日：2015-11-20 06:14:32

数学難問BEST100 : 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選!(9784569823560)

P.76の問題番号「Q40」 に対する解答

レギオモンタヌスの問題2の解答

N = 10x + 3 = 13y + 11 = 17z + 15
とおく。3と4式を変形すると、
10x + 3 = 13(y + 1) - 2 = 17(z + 1) - 2
となり、3つの式それぞれに2を加えると、
5(2x + 1) = 13(y + 1) = 17(z + 1)
したがって、
2x + 1 = 13*17t
y + 1 = 5*17t
z + 1 = 5*13t
となる。ここで、2x + 1は奇数となることを考慮して、t = 2k + 1とすると、
x = 221k + 110
y = 170k + 84
z = 130k + 64
となる。結局、
N = 2210k + 1103
となる。

数学難問BEST100 : 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選!(9784569823560)

投稿者：goodbook 投稿日：2015-10-30 05:13:58

数学難問BEST100 : 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選!(9784569823560)

P.76の問題番号「Q39」 に対する解答

レギオモンタヌスの問題1
連立方程式
x + y + z = 240
97x + 56 + 3z = 16047
の正の整数解を求める問題の解法

まず、2つの式からzを消去すると、
94x + 53y = 15327
次に、x' = 2x とおき、47 = 50 - 3、53 = 50 + 3であることを利用すると、
50(x' + y) - 3(x' - y) = 15327
と書きかえることができ、さらに15327 = 306×50 + 3×9とできることから、
50(x' + y - 306) = 3(x' - y + 9)
とできる。したがって、
x' + y - 306 = 3t
x' - y + 9 = 50t
すなわち、
4x = 53t + 297 = 53(t + 5) + 32
2y = -47t + 315 = 47(7 - t) - 14
が得られる。ここで、x,yは整数であることを考慮すると、
t + 5は4の倍数でなくてはならないので、t + 5 = 4sとおくと、
x = 53s + 8
y = 94(3 - s) - 7
となる。もとの式から、zは
z = 41s - 43
x,y,zが正の整数であることを考えると、結局s = 2のみがその条件を満たす。
結果、
(x,y,z) = (114,87,39)
が得られる。

数学難問BEST100 : 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選!(9784569823560)

投稿者：goodbook 投稿日：2015-10-30 04:49:44

数学難問BEST100 : 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選!(9784569823560)

P.61の問題番号「Q27」 に対する解答

アリスタルコスの不等式
1/20 < x < 1/18 （※ x = sin( 3°）)
のp.62とは違う証明

斜辺の長さが1、鋭角の１つが3°の直角三角形を考える(p.61の図)。
まず、xは、半径が1で中心角が3°の扇形の円弧の長さより小さいので
　x < π/60
となる。ここで、π < 10/3　であることを考えると、
　x < 1/18
となる。一方、
上記、直角三角形の面積は、半径√(1-x^2)で中心角が3°の扇形
（つまり、直角三角形に内接する扇形）の面積より大きいので
　π(1-x^2)/120 < x √(1-x^2) / 2
すなわち、
　x > 1 / √(1 + (60/π)^2)
が得られるが、この右辺は1/20より大きいので、
　x > 1/20
となる。
これらの結果により、アリスタルコスの不等式が証明される。

数学難問BEST100 : 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選!(9784569823560)

投稿者：goodbook 投稿日：2015-10-27 05:33:07

数学難問BEST100 : 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選!(9784569823560)

P.42の問題番号「Q20」 に対する解答

解答ではなく、コメント（というよりメモ）。
なぜ、「(-1,0)を通る傾きuの直線」を考えるのか？
それは、uが有理数のときに
中心(0,0)、半径1の円とこの直線との交点を有理数で表現できるから。

数学難問BEST100 : 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選!(9784569823560)

投稿者：goodbook 投稿日：2015-10-24 06:04:02

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

P.43の問題番号「2.2.12」 に対する解答

I_R = g( V ) より V = g^{-1}( I_R ) となる。
これを利用すると、回路の方程式は、
　-V_0 + g^{-1}( I_R ) + Q/C = 0
または、
　I_R = dQ/dt = g( V_0 - Q/C )
となる。
また、関数g(V)の形状から、
　Q = C * V_0
で安定な固定点が得られ、さらにこの点は大域的に安定でもある。
例題2.2.2での抵抗が線形の場合との違いは、
線形時よりも安定な固定点への近づき方が緩やか（速度が遅く）になっていることである。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2015-07-30 05:50:26

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