P.314の問題番号「8.2.3」 に対する解答

系$\dot{x}=-y+ \mu x + x y^2, \ \ \dot{y}=x+ \mu y - x^2$
この系の相図をコンピュータ上でプロットすると、添付図のようになる。
$\mu<0$のとき、原点付近に不安定なリミットサイクルが見つかる。$\mu$が次第に大きくなっていくと、不安定なリミットサイクルは原点周りに縮まっていき、$\mu=0$で亜臨界ホップ分岐が起こる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-04-17 08:38:09

P.314の問題番号「8.2.1」 に対する解答

バイアスのかかったファン・デル・ポール振動子$\ddot{x} + \mu (x^2-1) \dot{x} + x = a$
解）$\dot{x}=y$とおくと、方程式は
\[ \dot{x}=y, \ \ \dot{y} = -x - \mu (x^2-1)y+a \]と表すことができる。この系の固定点は$(a,0)$となる。ヤコビ行列は
\[ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -\mu(a^2-1) \end{pmatrix}, \ \ \tau=-\mu (a^2-1), \ \ \Delta =1>0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = \mu^2(a^2-1)^2-4 \]となり、固有値は
\[ \lambda = \frac{-\mu(a^2-1) \pm \sqrt{\mu^2 (a^2-1)^2-4} }{2} \]となる。したがって、$(a,\mu)$平面において、安定性ダイアグラムを描くと添付図のようになり、赤い線がホップ分岐が起こる曲線となる。
i) $a,\mu$が$|a|>1, \ \ \mu>0$の領域から$|a|<1, \ \ \mu>0$の領域に移動するとき、超臨界ホップ分岐が起こる。
ii) $a,\mu$が$|a|<1, \ \ \mu<0$の領域から$|a|>1, \ \ \mu<0$の領域に移動するとき、亜臨界ホップ分岐が起こる。
iii) $a,\mu$が$|a|>1, \ \ \mu>0$の領域から$|a|>1, \ \ \mu<0$の領域に移動するとき、退化したホップ分岐が起こる。
iv) $a,\mu$が$|a|<1, \ \ \mu<0$の領域から$|a|<1, \ \ \mu>0$の領域に移動するとき、退化したホップ分岐が起こる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-04-13 06:39:26

P.313の問題番号「8.1.12」 に対する解答

系$\dot{\theta}_1 = K \sin (\theta_1 - \theta_2) - \sin \theta_1, \ \ \dot{\theta}_2 = K \sin (\theta_2 - \theta_1) - \sin \theta_2$
(a) この系は$(m \pi, n \pi)$と、$K>\frac{1}{2}$のとき、$(2m \pi \pm \alpha, 2n\pi \mp \alpha)$に固定点をもつ。ここで、$m, \ n$は任意の整数、$\alpha$は$\cos \alpha =1/2K, \ \ \sin \alpha = \sqrt{1-4K^2}/2K$を満たす。以下、固定点ごとに分類。
\[ (2m\pi,2n\pi) \ : \ J = \begin{pmatrix} K-1 & -K \\ -K & K-1 \end{pmatrix}, \ \ \tau=2(K-1), \ \ \Delta=1-2K, \ \ \tau^2-4 \Delta=4K^2 \]となるので、$0<K<1/2$で安定ノード、$K>1/2$でサドルとなる。
\[ ((2m+1)\pi,2n\pi) \ : \ J = \begin{pmatrix} -K+1 & K \\ K & -K-1 \end{pmatrix}, \ \ \tau=-2K, \ \ \Delta=-1 \]となるので、サドルとなる。
\[ (2m\pi,(2n+1)\pi) \ : \ J = \begin{pmatrix} -K-1 & K \\ K & -K+1 \end{pmatrix}, \ \ \tau=-2K, \ \ \Delta=-1 \]となるので、サドルとなる。
\[ ((2m+1)\pi,(2n+1)\pi) \ : \ J = \begin{pmatrix} K+1 & -K \\ -K & K+1 \end{pmatrix}, \\ \tau=2(K+1), \ \ \Delta=1+2K, \ \ \tau^2-4 \Delta=4K^2 \]となるので、不安定ノードとなる。
\[ (2m\pi \pm \alpha,2n\pi \mp \alpha) \ : \ J = \begin{pmatrix} -K & K-\frac{1}{2K} \\ K-\frac{1}{2K} & -K \end{pmatrix}, \\ \tau=-2K, \ \ \Delta=1-\frac{1}{4K^2}, \ \ \tau^2-4 \Delta=(2K-\frac{1}{K})^2 \]となるので、安定ノードとなる。

(b) (a)の結果より、$K=\frac{1}{2}$のとき$(2m\pi,2n\pi)$で超臨界ピッチフォーク分岐を起こすことがわかる。
(c) この系のポテンシャルは
\[ V(\theta_1,\theta_2) = -K \cos(\theta_1-\theta_2) + \cos \theta_1 + \cos \theta_2 \]と表すことできるので、この系は勾配系であることがわかる。
(d) (c)の結果と定理7.2.1により、周期軌道はもたないことがわかる。
(e) 相図は添付図参照。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2021-04-11 09:02:25

P.312の問題番号「8.1.10」 に対する解答

\[ \dot{S} = r_S S \left( 1 - \frac{S}{K_S} \frac{K_E}{E} \right), \ \ \dot{E} = r_E E \left( 1 - \frac{E}{K_E} \right) - P \frac{B}{S} \](a) $-PB/S$は幼虫の個体数がエネルギー貯蔵$E$に与える影響を表し、幼虫が増えると、エネルギー貯蔵が減ることを示している。この幼虫の個体数の影響を無視できる場合、木の平均サイズ$S$とエネルギー貯蔵$E$はロジスティック的に増加することがわかる。ただし、木の平均サイズ$S$の環境収容力は$K_S E/K_E$でエネルギー貯蔵$E$に比例している。

(b) $x=S/K_S, \ \ y = E/K_E, \ \ t'=r_E t, \ \ r = r_S/r_E, \ \ b=PB/K_S K_E r_E$とおくと、方程式は
\[ x' = r x \left( 1 - \frac{x}{y} \right), \ \ y' = y(1-y) - \frac{b}{x} \]となる。ただし、プライムは$t'$での微分を表す。

(c) ヌルクラインは添付図の青いラインとなる。
この系は$b > 4/27$のとき固定点を持たず、$b<4/27$のとき２つの固定点$(a_1, a_1), \ \ (a_2, a_2)$をもつ。ここで、
\[ a_1 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cos \frac{\alpha}{3}, \ \ a_2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cos \left( \frac{\alpha}{3} - \frac{2}{3} \pi \right), \\
\cos \alpha = 1 - \frac{27}{2} b, \ \ \sin \alpha = \sqrt{ 27b - \frac{27^2}{4} b^2 } \]となる。各固定点でのヤコビ行列を求めると、次のようになる。
\[ (a_1, a_1) \ : \ J = \begin{pmatrix} -r & r \\ 1-a_1 & 1-2a_1 \end{pmatrix}, \ \
\tau=-r + 1 - 2a_1, \ \ \Delta = r( 3a_1 -2 ) \]となり、$2/3 < a_1 <1$を考慮すると$-r-1 < \tau < -r -1/3, \ \ 0 < \Delta < r$となるので、$(a_1,a_1)$は安定な固定点となる。一方、
\[ (a_2, a_2) \ : \ J = \begin{pmatrix} -r & r \\ 1-a_2 & 1-2a_2 \end{pmatrix}, \ \
\tau=-r + 1 - 2a_2, \ \ \Delta = r( 3a_2 -2 ) \]となり、$0 < a_2 <2/3$を考慮すると$-2r < \Delta < 0$となるので、$(a_2,a_2)$はサドルとなる。
したがって、$b=4/27$において、サドルノード分岐を起こすことがわかる。

(d) 相図は添付図のようになる。

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投稿者：goodbook 投稿日：2021-04-07 08:29:40

P.312の問題番号「8.1.8」 に対する解答へのコメント

方程式
\[ \varepsilon \frac{d^2 \phi}{d \tau^2} = - \frac{d \phi}{d \tau} - \sin \phi + \gamma \sin \phi \cos \phi
\] (a) $\tau$での微分をプライムで表し、$\phi' = \theta$とおくと、
\[ \phi' = \theta, \ \ \varepsilon \theta' = - \theta - \sin \phi + \gamma \sin \phi \cos \phi \]が得られる。この系では、$n$を整数とすると、
$0<\gamma \leq 1$のとき、固定点$(2n\pi, 0), \ \ ((2n+1)\pi, 0)$をもち、
$\gamma > 1$のとき、固定点$(2n\pi, 0), \ \ ((2n+1)\pi, 0), \ \ (2n\pi \pm \alpha, 0)$をもつ。
ここで、$\alpha$は$\cos \alpha = \gamma^{-1}, \ \ 0 \leq \alpha < \pi/2$を満たす。
一方、各固定点でのヤコビ行列を求めて分類すると、それぞれ次のようになる。
\[ (2n\pi, 0) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\varepsilon^{-1}(1-\gamma) & -\varepsilon^{-1} \end{pmatrix}, \\
\tau=-\varepsilon^{-1}, \ \ \Delta = \varepsilon^{-1}(1-\gamma), \ \ \tau^2 - 4 \Delta = \varepsilon^{-2}(1-4 \varepsilon + 4 \varepsilon \gamma) \]となり、$0<\gamma \leq 1$では安定な固定点、$\gamma > 1$ではサドルとなる。
\[ ((2n+1)\pi, 0) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \varepsilon^{-1}(1+\gamma) & -\varepsilon^{-1} \end{pmatrix}, \\
\tau=-\varepsilon^{-1}, \ \ \Delta = -\varepsilon^{-1}(1+\gamma) <0 , \ \ \tau^2 - 4 \Delta = \varepsilon^{-2}(1+4 \varepsilon + 4 \varepsilon \gamma) \]となり、常にサドルとなる。
\[ (2n\pi \pm \alpha, 0) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\varepsilon^{-1}(\gamma-\gamma^{-1}) & -\varepsilon^{-1} \end{pmatrix}, \\
\tau=-\varepsilon^{-1}, \ \ \Delta = \varepsilon^{-1} (\gamma - \gamma^{-1}), \ \ \tau^2 - 4 \Delta = \varepsilon^{-2}(1-4 \varepsilon \gamma + 4 \varepsilon \gamma^{-1}) \]となり、$\gamma > 1$では安定な固定点となる。したがって、この系は固定点$(2n\pi, 0)$において、$\gamma=1$で超臨界ピッチフォーク分岐を起こすことがわかる。

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投稿者：goodbook 投稿日：2021-04-01 04:58:31